sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành An SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành An SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CÁM ƠN Luận văn thạc sĩ toán hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Trọng Hòa TS Nguyễn Hà Thanh Trong trình viết luận văn, hai thầy hướng dẫn, góp ý kiến bổ sung kiến thức liên quan tới đề tài luận văn Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc kính trọng đến hai thầy, cám ơn hai thầy tất làm cho tôi, để trưởng thành biết nghiên cứu toán, môn khoa học bản, khó khăn đầy thú vị hấp dẫn Tôi xin gởi lời cám ơn tới • Sở Giáo Dục & Đào Tạo Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu Trường THPT Hòa Bình hỗ trợ kinh phí tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập viết luận văn • Quí thầy cô giảng viên giảng dạy năm học thạc sĩ toán Trường Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh • Gia đình nội ngoại, đặc biệt vợ Trần Thị Minh Trang trai Nguyễn Văn Minh Khang sát cánh bên động viên trình học • Bạn bè lớp K22 Hình học & Tôpô hiểu chia sẻ kiến thức suốt trình làm đề tài NGUYỄN THÀNH AN MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nội dung phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học luận văn Cấu trúc luận văn 5 Ký hiệu luận văn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sự hội tụ không gian tôpô 1.1.1 Sự hội tụ theo lưới (Moore – Smith) .7 1.1.2 Sự hội tụ theo lọc (Cartan) 1.2 Không gian Riesz khối địa phương 1.2.1 Cấu trúc dàn không gian Riesz 1.2.2 Tôpô khối địa phương 16 1.2.3 Giới hạn quy nạp 19 1.3 Không gian hội tụ .19 CHƯƠNG 2: SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ 24 2.1 Dàn véctơ hội tụ khối địa phương .24 2.2 Một số tính chất bất biến 29 2.3 Đối ngẫu dàn véctơ hội tụ khối địa phương 32 2.4 Tính đầy đủ làm đầy 37 CHƯƠNG 3: MỘT VÀI ỨNG DỤNG 41 3.1 Định lý đồ thị đóng .41 3.2 Đối ngẫu không gian Riesz khối địa phương 42 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 DANH MỤC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN x Lân cận điểm x không gian tôpô X x Cơ sở lân cận x không gian tôpô X s ( A) Bao khối tập A τ ( x ) τ - lân cận lọc x co (  ) Bao lồi lọc  (X ) Không gian hàm thực liên tục không gian tôpô X o (  ) Không gian hàm giá trị thực liên tục  L+ Nón dương dàn véctơ L  ( X ,Y ) Không gian ánh xạ tuyến tính từ X vào Y L' Đối ngẫu tôpô L gồm tất hàm tuyến tính liên tục L L Đối ngẫu thứ tự L gồm tất hàm tuyến tính bị chặn thứ tự L MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học – Tôpô chuyên ngành quan trọng lý thuyết Toán học đại Nó có mối liên hệ chặt chẽ với chuyên ngành khác Giải tích, Đại số,… có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học đời sống Trong Tôpô, toán hội có nhiều ứng dụng lý thuyết đại Toán học, nên xem vấn đề thời nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn, tôpô Hausdorff - Kuratowski - Bourbaki (HKB) ta xét hai hội tụ sau • Cho X không gian tôpô compact Dãy ( f n ) C ( X ) hội tụ f ∈ C ( X ) tôpô ∀ > 0, ∃N ∈  : ∀x ∈ X , n ∈ , n ≥ N , f ( x) − f n ( x) <  Điều kiện tương đương với điều kiện hội tụ tương đối dàn véctơ ∃u ∈ C ( X ), u ≥ : ∀ > 0, ∃N ∈ , n ≥ N , −u ≤ f − f n ≤ u Điều cho phép ta tổng quát hóa khái niệm hội tụ C ( X ) đến dàn véctơ L Hơn nữa, hội tụ tương đối dàn véctơ tùy ý nói chung không cảm sinh tôpô Điều dễ thấy, không gian Co () hội tụ tương đối không thỏa mãn tính chất Diagonal • Cho (Ω, M , m) không gian độ đo σ -hữu hạn ≤ p ≤ ∞ Dãy ( f n ) Lp (Ω) hội tụ chặn hầu khắp nơi đến f ∈ Lp (Ω) ∃u ∈ Lp (Ω), E ⊂ Ω, m( E ) = : ∀x ∈ Ω  E , f n ( x) ≤ u ( x), n ∈ , f n ( x) → f ( x) ∈  Điều kiện tương đương với điều kiện hội tụ thứ tự dàn véctơ Lp (Ω) ∃(un ) ⊂ Lp (Ω) : − un ≤ f − f n ≤ un , n ∈  , un +1 ≤ un , n ∈  , inf {un : n ∈ } = Điều cho phép ta tổng quát hóa khái niệm hội tụ chặn hầu khắp nơi đến dàn véctơ L Đồng thời, L không tồn tôpô cảm sinh dãy Cụ thể, L1 (Ω) không tồn tôpô cảm sinh hội tụ thứ tự hội tụ thứ tự không gian lại thỏa mãn tính chất Diagonal không thỏa mãn tính chất Urysohn Hai hội tụ cho thấy mô hình hội tụ không tôpô dàn véctơ, điều dẫn đến số nguyên tắc tôpô dàn véctơ không mô tả thành phần tôpô HKB khái niệm tổng quát tôpô mô tả hội tụ lại không thỏa mãn tiên đề Moore - Smith, cấu trúc hội tụ không gian hội tụ Hơn nữa, hội tụ tương đối hội tụ thứ tự xem tổng quát hóa cách tự nhiên hội tụ đóng vai trò lý thuyết dàn véctơ Tuy nhiên, hội tụ tương đối hội tụ thứ tự mô tả cách đầy đủ tôpô HKB Vì vậy, khái niệm tổng quát tôpô cần thiết để mô tả hội tụ tôpô HKB mô hình hội tụ không tôpô khác lý thuyết dàn véctơ Đó số khái niệm dàn véctơ hội tụ khối địa phương, xem tổng quát hóa không gian Riesz khối địa phương Các khái niệm biết đến để phù hợp với hội tụ tương đối hội tụ thứ tự Đặc biệt, ứng dụng khái niệm việc trình bày định lí đồ thị đóng toán tử tuyến tính lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương kết đối ngẫu không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương Đó lý chọn đề tài Sự hội tụ lý thuyết dàn véctơ” Nội dung phương pháp nghiên cứu Luận văn nghiên cứu hai vấn đề Sự hội tụ lý thuyết dàn véctơ vài ứng dụng Phương pháp nghiên cứu chủ yếu luận văn sử dụng công cụ mạnh tôpô, tổng hợp hoàn thiện kết từ báo có, tài liệu khoa học có liên quan tới vấn đề cần nghiên cứu Đưa số ví dụ ứng dụng cụ thể đề tài Ý nghĩa khoa học luận văn Ta biết rằng, số nguyên tắc tôpô dàn véctơ không mô tả thành phần tôpô Hausdorff - Kuratowski - Bourbaki (HKB) khái niệm tổng quát tôpô mô tả hội tụ lại không thỏa mãn tiên đề Moore - Smith Vì vậy, khái niệm tổng quát tôpô cần thiết để mô tả hội tụ tôpô HKB hội tụ mô hình không tôpô khác lý thuyết dàn véctơ Đó số khái niệm dàn véctơ hội tụ khối địa phương Đồng thời, hiểu rõ nắm bắt nhiều cách tiếp cận khác hội tụ nhiều chuyên ngành Toán học ứng dụng Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày sau MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài, nội dung luận văn, phạm vi nghiên cứu phương pháp nghiên cứu Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị cho luận văn Chương Sự hội tụ lý thuyết dàn véctơ Chương Một vài ứng dụng hội tụ lý thuyết dàn véctơ KẾT LUẬN Tóm tắt kết đạt nêu vấn đề mở đề tài Tài liệu tham khảo Một số tài liệu liên quan tới luận văn Ký hiệu luận văn Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thông dụng giải thích dùng lần đầu (xem Danh mục ký hiệu) Để trích dẫn kết quả, dùng ký hiệu quen thuộc Chẳng hạn, ghi 1.6.3 có nghĩa xem mục 1.6.3 chương 1; ghi 2.2.5 có nghĩa xem mục 2.2.5 chương 2; ghi [10, Định lí 2.1 ] có nghĩa xem định lí 2.1 tài liệu tham khảo số 10 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chủ yếu chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cho đề tài luận văn cách bản, ngắn Sự hội tụ không gian tôpô; Không gian Riesz khối địa phương; Không gian hội tụ chứng minh chi tiết tham khảo [1], [2], [3], [5], [6], [12], [13], [15], [16], [17], [18], [23] 1.1 Sự hội tụ không gian tôpô 1.1.1 Sự hội tụ theo lưới (Moore – Smith) Định nghĩa 1.1.1 Tập I gọi tập có hướng I có quan hệ ≤ thỏa mãn điều kiện sau i) ∀i ∈ I i ≤ i ii) ∀i, j , k ∈ I cho i ≤ j j ≤ k i ≤ k iii) ∀i, j ∈ I ∃k ∈ I cho i ≤ k j ≤ k xi gọi lưới Cho tập có hướng I tập X Khi đó, ánh xạ x : I → X , i  x ( i ) := X , ký hiệu { xi } i∈I Nếu J tập có hướng ánh xạ a : J → I thỏa mãn ∀io ∈ I , ∃jo ∈ J : ∀j ∈ J , j ≥ jo ⇒ a ( j ) ≥ io lưới { xa ( j ) }i∈J gọi lưới lưới { xi }i∈I Định nghĩa 1.1.2 Lưới { xi }i∈I không gian tôpô X hội tụ đến x ∈ X , ký hiệu xi → x ∀V ∈ U x , ∃i ∈ I , ∀j ≥ i : x j ∈ V Ví dụ 1.1.1 Cho X = { x1 , x2 , x3 } với tôpô {∅, X , { x1 , x3 } , { x2 , x3 } , { x3 }} Khi đó, lưới { x3 } hội tụ đến x1 , x2 x3 , lưới { x1 , x2 } hội tụ x2 Mệnh đề 1.1.1 Lưới có không điểm giới hạn X không gian Hausdorff Mệnh đề 1.1.2 Cho lưới { xi } hội tụ x { xa ( j ) }i∈J lưới { xi } Khi lưới {x } a ( j ) i∈J hội tụ x Mệnh đề 1.1.3 Cho ánh xạ f : X → Y với X Y hai không gian tôpô Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) f liên tục xo ii) Nếu lưới { xi } X hội tụ xo f ( xi ) → f ( xo ) Lưới hội tụ không gian tôpô đặc trưng Tiên đề Moore - Smith sau Cho X tập tùy ý gọi S tập dãy X P( X ) tập tất tập X Xét ánh xạ σ : S → P ( X ) , s  σ ( s ) σ ( s ) tập tất giới hạn s Đặc biệt, σ ( s ) = ∅ s không hội tụ đến phần tử X Còn tồn tôpô τ X cho σ ( s ) tập tất τ -giới hạn s ∈ S điều kiện sau thỏa mãn • Nếu s dãy mà tất số hạng x x ∈ σ ( x) • Nếu x ∈ σ ( s ) x ∈ σ ( s′) với s' dãy tùy ý s • Nếu dãy s' lại chứa dãy s'' mà x ∈ σ ( s′′) x ∈ σ ( s ) • Giả sử s n = ( xmn ) với xn ∈ σ ( s n ), ∀n ∈  x ∈ σ ( s ) với s = ( xn ) tồn ánh xạ tăng nghiêm ngặt δ :  →  cho x ∈ s′ với s′ = ( xδn( n ) ) Các điều kiện từ MS1) đến MS4) gọi tiên đề Moore - Smith, điều kiện MS3) gọi tính chất Urysohn MS4) gọi tính chất Diagonal 1.1.2 Sự hội tụ theo lọc (Cartan) Định nghĩa 1.1.3 Một lọc tập X tập F P( X ) cho i) Với A ∈ F A ≠ ∅ ii) Với A, B ∈ F A ∩ B ∈ F iii) Với A ∈ F mà A ⊂ B ⊂ X B ∈ F \end{dn} Từ iii) định nghĩa 1.1.3 dễ thấy X ∈ F cách chọn X = B Định nghĩa 1.1.4 Họ E ≠ ∅ với E ⊂ P( X ) sở lọc X E thỏa mãn điều kiện sau i) Với A ∈ E A ≠ ∅ ii) Với A1 , A2 ∈ E tồn A ∈ E cho A ⊂ A1 ∩ A2 Khi lọc F= { A ∈ P( X ) : ∃B ∈ E , B ⊂ A} gọi lọc sinh cở sở lọc E , ký hiệu F = [ E ] F = [ E ] X Cho F G hai lọc X Ta nói lọc F mịn lọc G G ⊆ F Một lọc F X gọi siêu lọ ∀G ⊂ X : F ⊂ G ⇒ F = G Như vậy, hai cấu trúc đối ngẫu chúng có mối liên hệ không? Nếu có mối liên hệ gì? Mệnh đề 2.3.1 Cho L dàn véctơ hội tụ khối địa phương cấu trúc hội tụ λ Khi đó, đối ngẫu tôpô L ' L ideal đối ngẫu thứ tự L L 33 34 Ta biết rằng, cách thiết lập không gian véctơ hội tụ, tính đối ngẫu cấu trúc hội tụ tự nhiên không gian véctơ hội tụ cấu trúc hội tụ liên tục Định nghĩa 2.3.1 Cho L không gian véctơ (thực) hội tụ ánh xạ ước lượng ω : L′ × L →  (ϕ , f )  ω (ϕ , f ) := ϕ ( f ) Lọc F L ' hội tụ đến ϕ ∈ L′ cấu trúc hội tụ liên tục với f ∈ L , G hội tụ đến f L cho ω ( F × G ) hội tụ đến ϕ ( f )  Điều đáng ý cấu trúc hội tụ liên tục tác động đến ánh xạ ước lượng liên tục Thực tế, cấu trúc hội tụ lớn L ' Lưu ý rằng, $L'$là không gian phủ địa phương Hausdorff không tồn tôpô L ' tác động đến ω liên tục, trừ L không gian định chuẩn Ta ký hiệu Lc′ đối ngẫu tôpô L ' L trang bị cấu trúc hội tụ liên tục Vì đối ngẫu L ' dàn véctơ hội tụ khối địa phương L ideal đối ngẫu thứ tự \l L Trong trường hợp đặc biệt, thứ tự L ' định nghĩa sau ϕ ≤ ψ ⇔ ∀f ∈ L+ : ϕ ( f ) ≤ ψ ( f ) Định lí 2.3.1 Cho L dàn véctơ hội tụ khối địa phương cấu trúc λ Khi đó, Lc′ dàn véctơ hội tụ khối địa phương Chứng minh 35 Định lí có ý nghĩa quan trọng dàn véctơ hội tụ khối địa phương không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương trường hợp đặc biệt Do cấu trúc hội tụ liên tục 36 khối địa phương L ' nên không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ đẳng cấu, hai xem không gian véctơ hội tụ dàn véctơ, điều dẫn đến đối ngẫu thứ hai 2.4 Tính đầy đủ làm đầy Bây thảo luận tính đầy đủ làm đầy dàn véctơ hội tụ khối địa phương Đặc biệt, thảo luận làm đầy L dàn véctơ hội tụ khối địa phương Hausdorff L Sự làm đầy không gian véctơ hội tụ L hiểu không gian véctơ hội tụ đầy đủ chứa L xem không trù mật với tính chất ánh xạ liên tục T : L → K với K không gian véctơ hội tụ Hausdorff, đầy đủ mở rộng thành ánh xạ liên tục Tˆ : Lˆ → K Cần lưu ý rằng, không gian véctơ hội tụ Hausdorff đầy đủ Trong trường hợp đặc biệt, làm đầy L L tồn lọc Cauchy L chứa tập bị chặn Chúng ta xét trường hợp L đầy đủ Như vậy, liệu L có phải dàn véctơ hay không? Định lí 2.4.1 Cho L dàn véctơ hội tụ khối địa phương Hausdorff có mở rộng L + + bao đóng aL ( L+ ) L+ L ký hiệu L Khi đó, L nón dương L  + Hơn nữa, L dàn véctơ  dàn véctơ quan hệ thứ tự cảm sinh L L L Chứng minh Theo tính chất nón dương a), b) suy từ phép cộng phép nhân vô hướng L Ta chứng minh tính chất c), xét f ∈ L+ cho − f ∈ L+ tồn lọc Cauchy F G L với sở tương 37 38 Ngoài việc, L dàn véctơ L khối địa phương hay không? Câu trả lời không? Điều minh họa ví dụ sau 39 40 CHƯƠNG 3: MỘT VÀI ỨNG DỤNG Thông qua chương 2, nắm số khái niệm kết liên quan tới dàn véctơ hội tụ khối địa phương Vấn đề đặt liệu có ứng dụng liên quan tới kết hay không? Câu trả lời có, hai ứng dụng sau • Định lý đồ thị đóng toán tử tuyến tính lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương • Một số kết đối ngẫu không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương 3.1 Định lý đồ thị đóng Theo [3] ta trình bày định lí đồ thị đóng sau Định lí 3.1.1 Cho E giới hạn quy nạp không gian Fréchet F không gian véctơ hội tụ có cấu trúc hội tụ không gian véctơ mịn nhất, siêu đầy đủ Khi đó, ánh xạ tuyến tính đóng T : E → F liên tục Như vậy, định lý đồ thị đóng không gian véctơ hội tụ có cấu trúc hội tụ không gian véctơ mịn nhất, siêu đầy đủ Bây giờ, ta thay lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương thêm số điều kiện liệu định lý đồ thị đóng hay không? Câu trả lời hoàn toàn Định lí 3.1.2 Cho L K hai dàn véctơ Archimedes hội tụ khối địa phương toán tử tuyến tính đóng T : K → L Giả sử có tập đếm B ⊆ L cho ideal sinh B L toàn không gian L Nếu K giới hạn quy nạp không gian Fréchet L đầy đủ tương đối T liên tục Chứng minh Do mệnh đề 2.1.1 λr mịn cấu trúc hội tụ L Vì L hợp ideal tắc đếm nên λr siêu đầy đủ Áp dụng định lí 3.1.1 T liên tục Kết sau trường hợp đặc biệt định lí 3.1.2 Hệ qua3 3.1.1 Cho L K hai dàn véctơ Archimedes hội tụ khối địa phương toán tử tuyến tính đóng, bất khả quy T : K → L Giả sử K có đơn vị thứ tự e Nếu K giới hạn quy nạp không gian Fréchet L đầy đủ tương đối T liên tục Chứng minh Vì T bất khả quy nên ta xem T T= S − P với S P toán tử tuyến tính dương Vì S P toán tử tuyến tính dương S ( K ) chứa ideal sinh 41 S (e) L , P ( K ) chứa ideal sinh P(e) L Do đó, theo tính chất phân hoạch trội T ( K ) chứa ideal sinh sup {S (e), P(e)} K Vì L đầy đủ tương đối nên ideal I đầy đủ tương đối Do vậy, áp dụng định lí 3.1.2 T liên tục Sau trình bày hệ định lí 3.1.2 Hệ 3.1.2 Cho K L hai dàn véctơ Archimedes đầy đủ tương đối ánh xạ tuyến tính T : K → L có tính chất với f ∈ K cho ( f n ) hội tụ tương đối đến f (Tf n ) hội tụ tương đối đến g Tf = g Khi đó, có tập đếm B ⊂ L cho L ideal sinh B T bị chặn thứ tự 3.2 Đối ngẫu không gian Riesz khối địa phương Cho E không gian véctơ hội tụ Ta ký hiệu Ec′ đối ngẫu tôpô E trang bị cấu trúc hội tụ liên tục Ec′′ đối ngẫu tôpô Ec′ trang bị cấu trúc hội tụ liên tục Khi đó, ánh xạ jE : E → Ec′′ với x ∈ E jE ( x) : Ec′  ϕ  ϕ ( x) ∈  xác định, tuyến tính liên tục Ánh xạ jE đơn ánh Ec′ tách điểm E Nếu E không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff ta có số kết sau Định lí 3.2.1 Cho E không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Khi đó, Ec′′ không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ jE đẳng cấu lên không gian trù mật Ec′′ Đặc biệt, E đầy đủ jE ( E ) = Ec′′ Tiếp theo trình bày ứng dụng định lí 3.2.1, mệnh đề 2.3.1 định lí 2.3.1 Định lí 3.2.2 Cho L không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ Khi đó, Lc′ không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương, đầy đủ ánh xạ jL : L → Lc′′ đẳng cấu không gian hội tụ đẳng cấu Riesz lên ( Lc′ ) ~ ⊇ Lc′′ Chứng minh Áp dụng định lí 2.3.1, mệnh đề 2.3.1 Lc′′ dàn véctơ hội tụ khối địa phương Theo định lí 3.2.1 Lc′′ đầy đủ, phủ địa phương jL đẳng cấu không gian hội tụ Vì Lc′ ideal L nên Lc′ tách điểm L nên jL đẳng cấu không gian Riesz Định lí 3.2.2 so sánh với ý sau 42 Chú ý 3.2.1 Nếu L dàn Banach phản xạ ánh xạ tự nhiên jL : L → L′′ đẳng cấu Riesz lên ( Lc′ ) ~ ⊇ Lc′′ Tổng quát nữa, L không gian lồi địa phương, khối địa phương mà phản xạ tôpô L’ L’’ ánh xạ jL : L → L′′ đẳng cấu Riesz lên ( L′) ~ ⊇ L′′ Để ý rằng, với L không gian lồi địa phương, khối địa phương ánh xạ jL : L → L′′ đẳng cấu dàn đẳng cấu không gian tôpô đặc trưng cho không gian 43 KẾT LUẬN Với mục đích đặt luận văn tìm hiểu “Sự hội tụ lý thuyết dàn véctơ”, trình bày số kiến thức chuẩn bị; khái niệm kết dàn véctơ hội tụ khối địa phương Đặc biệt hai ứng dụng dàn véctơ hội tụ khối địa phương Cụ thể chương sau • Chương Trình bày kiến thức chuẩn bị Sự hội tụ không gian tôpô; Không gian Riesz khối địa phương; Không gian hội tụ • Chương Trình bày số khái niệm kết dàn véctơ hội tụ khối địa phương, đuợc xem tổng quát hóa không gian Riesz khối địa phương khái niệm kết dàn véctơ hội tụ khối địa phương; số tính chất không đổi, cấu trúc hội tụ đầu cuối không đảm bảo tính khối địa phương có thêm họ đồng cấu Riesz cấu trúc hội tụ đầu họ ánh xạ lại khối địa phương; cấu trúc đối ngẫu, hai cấu trúc đối ngẫu có mối liên hệ với theo nghĩa ideal Hơn nữa, ta trang bị cấu trúc hội tụ liên tục đối ngẫu tôpô Lc′ lại dàn véctơ hội tụ khối địa phương; tính đầy đủ làm đầy, làm đầy L dàn véctơ không khối địa phương} • Chương Trình bày hai ứng dụng quan trọng dàn véctơ hội tụ khối địa phương định lí đồ thị đóng tóan tử tuyến tính lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương; kết đối ngẫu không gian Riesz khối địa phương, phủ địa phương Từ kết đạt luận văn, ta thấy lý thuyết hội tụ tôpô vấn đề thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu E T Ordman (1966), M Moore - H Smith (1922), R W May - C W McArthur (1977), R Anguelov (2005), đặc biệt J H van der Walt (2013) Trong trình thực luận văn viết thư trao đổi với GS van der Walt đề tài mà nghiên cứu GS góp ý, chia tài liệu quí liên quan tới nội dung luận văn Đặc biệt kết nghiên cứu GS lý thuyết dàn véctơ hội tụ khối địa phương năm 2013 đăng tạp chí TOPOLOGY PROCEEDINGS 44 Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng GS van der Walt Chúc GS sức khỏe có nhiều cống hiến cho toán học Hy vọng rằng, tương lai không xa có hội tiếp tục nghiên cứu mở rộng nhiều kết quả, ứng dụng hội tụ lý thuyết dàn véctơ Do nhiều hạn chế khách quan chủ quan, luận văn dừng lại khuôn khổ định Sau cùng, có nhiều cố gắng việc soạn thảo sai sót tránh khỏi, xin chân thành lắng nghe chia ý kiến quý thầy hội đồng đề tài luận văn Xin chân thành cám ơn! 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO C D Aliprantis and O Burkinshaw, Locally solid Riesz spaces, Academic Press, New York, San Francisco, London, 1978 R Anguelov and J H van der Walt, Order convergence structure on C(X), Quaestiones Mathematicae 28 no (2005), 425–457 R Beattie and H.-P Butzmann, Convergence structures and applications to functional analysis, Kluwer Academic Plublishers, 2002 S Gähler W Gähler and G Kneis, Completion of pseudo-topological vector spaces, Math Nachr 75 (1976), 185–206 J Kelley, General topology, Van Nostrand, Princeton, 1955 W A J Luxemburg and A C Zaanen, Riesz spaces I, North Holland, Amsterdam, 1971 R W May and C W McArthur, Comparison of two types of convergence with topological convergence in an ordered topological vector space, Proceedings of the AMS 63 (1977), 49–55 M Moore and H Smith, A general theory of limits, American Journal of Mathematics 44, (1922) 102–121 10 E T Ordman, Convergence almost everywhere is not topological, Am Math Mon 73, (1966) 182–183 11 J H van der Walt, The completion of uniform convergence spaces and an application to nonlinear PDEs, Quaestiones Mathematicae 32 (2009), 371–395 12 J H van der Walt, The order convergence structure, Indagationes Mathematicae 21 (2011), 138–155 13 J H van der Walt, A closed graph theorem for order bounded operators, Technical Report UPWT2009/12, University of Pretoria, 2009 14 A C Zaanen, Riesz spaces II, North Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1983 15 Beattie, R., Butzmann, H -P., Herrlich, , Filter convergence via sequential convergence, Comm Math Univ Carol 27 (1986), 69-81 16 K Kuratowski, Topology vol 1, 1966 17 K Kuratowski, Topology vol 2, 1966 18 N Bourbaki, General Topology chapter 1-4, Springger, 1966 46 19 N Bourbaki, General Topology chapter 5-10, Springger, 1966 20 S Shirali and H L Vasudeva, Metric spaces, Springger, 2006 21 H H Schaefer, Topological vector spaces, Springger, 1999 22 A P Robertson - W J Robertson, Topological vector spaces, Cambridge university, 1973 23 H Tụy, Real function and equation analystiC, Nhà xuất ĐHQGHN, 2003 24 H Q Vu, Lecture notes on Topology and Geometry, 2003 25 N B Huy, Lecture notes equation analystic, 2011 47 [...]... được gọi là lồi địa phương nếu mỗi lọc F hội tụ về 0 trong X thì bao lồi cũng hội tụ về 0 Trong không gian véctơ hội tụ X Ta nói rằng 23 CHƯƠNG 2: SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ Sự hội tụ đều tương đối và hội tụ thứ tự là sự tổng quát hóa của sự hội tụ và đóng vai trò cơ bản trong lý thuyết dàn véctơ được định nghĩa như sau • Dãy ( f n ) trên dàn véctơ L hội tụ thứ tự về f ∈ L nếu tồn tại dãy ( µn... hình của sự hội tụ không tôpô khác nhau trong lý thuyết dàn véctơ, đó là dàn véctơ hội tụ khối địa phương, đây được xem là sự tổng quát hóa của không gian Riesz khối địa phương Sự tổng quát hóa ở đây là gì? Đó chính là một số khái niệm; các tính chất bất biến; tính đối ngẫu; đầy đủ và sự làm đầy của dàn véctơ hội tụ khối địa phương 2.1 Dàn véctơ hội tụ khối địa phương Định nghĩa 2.1 Cho L là dàn véctơ. .. được gọi là không gian véctơ hội tụ Hơn nữa, các tích X × X và  × X được trang bị cấu trúc hội tụ tích theo ví dụ 1.3.2 Trong không gian véctơ hội tụ X , tập con B của X bị chặn nếu lọc NB hội tụ về 0 Lọc F trên X bị chặn nếu lọc hội tụ về 0 Không gian X được gọi là bị chặn địa phương nếu mọi lọc hội tụ trong X đều chứa một tập bị chặn 22 Định nghĩa 1.3.7 Không gian véctơ hội tụ X được gọi là lồi địa... biến Trong mục này chúng ta sẽ xét một số tính chất bất biến của lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương Tính bất biến ở đây chính là cấu trúc hội tụ không gian véctơ đầu và cuối bởi khi chúng ta hình thành cấu trúc hội tụ khối địa phương mịn nhất và thô nhất trên dàn véctơ hội tụ khối địa phương thì hai cấu trúc này sẽ trùng với cấu trúc hội tụ đầu hoặc cuối Vấn đề đặt ra là cấu trúc hội tụ không gian véctơ. .. của các dàn véctơ hội tụ khối địa phương, L là dàn véctơ và họ đồng cấu Riesz {Ti : L → Li } Khi đó, cấu trúc hội tụ đầu trên L đối với họ ánh xạ {Ti : L → Li } là khối địa phương Chứng minh Cho F hội tụ đến 0 trong L đối với cấu trúc hội tụ đầu Cố định i ∈ I Vì Ti ( F ) hội tụ đến 0 trong Li và Li là khối địa phương nên tồn tại lọc Gi với cơ sở gồm các tập hợp khối sao cho Gi hội tụ đến 0 trong Li... trúc hội tụ khối địa phương mịn nhất và thô nhất trên lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương Đồng thời, cấu trúc này sẽ trùng với cấu trúc hội tụ không gian véctơ đầu và cuối Định lí 2.2.1 Cho {Li : i ∈ I } là họ của các dàn véctơ hội tụ khối địa phương, L là dàn véctơ và họ các ánh xạ tuyến tính {Ti : Li → L} Khi đó, tồn tại cấu trúc hội tụ khối địa phương mịn nhất trên L tác động đến các Ti liên tục... trúc hội tụ cuối là cấu trúc hội tụ mịn nhất trên X tác động đến các fi liên tục Ví dụ 1.3.3 Cho X là không gian hội tụ và ánh xạ q : X → Y toàn ánh với Y là tập tùy ý Cấu trúc hội tụ thương là cấu trúc hội tụ cuối trên Y đối với q Một lọc F hội tụ đến y nếu và chỉ nếu tồn tại x1 , , xk ∈ X và với mỗi k lọc Fk hội tụ đến xk sao cho q( xk ) = y và q ( F1 ) ∩  ∩ q ( Fn ) ⊆ F Khi đó, không gian hội tụ. .. Nếu L là dàn véctơ Archimedes và theo ví dụ 2.1.2 thì λr là cấu trúc hội tụ khối địa phương mịn nhất trên L 25 Như đã nói, dàn véctơ hội tụ khối địa phương được xem là tổng quát hóa của không gian Riesz khối địa phương, sự tổng quát hóa đó được thể hiện qua một số kết quả sau Mệnh đề 2.1.2 Cho λ là cấu trúc hội tụ không gian véctơ trên dàn véctơ L Ta xét các mệnh đề sau i) λ là cấu trúc hội tụ khối... a( K ) cũng là ideal trong L Mệnh đề 2.1.4 Cho L là dàn véctơ hội tụ khối địa phương Hausdorff với cấu trúc hội tụ λ Khi đó, ta có các kết quả sau i) L là Archimedes ii) Nón L+ của L là đóng iii) Nếu lưới tăng ( fα ) hội tụ đến f trong L thì ( fα ) tăng đến f trong L Tương tự, nếu iv) lưới giảm ( fα ) hội tụ đến f trong L thì ( fα ) giảm đến f trong L v) Mỗi bó của L là đóng trong L Chứng minh... trên dàn véctơ L hội tụ đều tương đối về u ∈ L nếu tồn tại µ ∈ L+ sao cho với mọi  > 0 , tồn tại N ∈  thì u − f n < µ với mọi n ≥ N Hội tụ đều tương đối suy ra hội tụ thứ tự nhưng chiều ngược lại thì không đúng, xem phản ví dụ ở [11] Đặc biệt, hai sự hội tụ này không thể mô tả một cách đầy đủ trong tôpô HKB Điều này dẫn đến cần một khái niệm tổng quát hơn của tôpô để mô tả được sự hội tụ trong ... Không gian véctơ hội tụ X gọi lồi địa phương lọc F hội tụ X bao lồi hội tụ Trong không gian véctơ hội tụ X Ta nói 23 CHƯƠNG 2: SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ Sự hội tụ tương đối hội tụ thứ... Smith, cấu trúc hội tụ không gian hội tụ Hơn nữa, hội tụ tương đối hội tụ thứ tự xem tổng quát hóa cách tự nhiên hội tụ đóng vai trò lý thuyết dàn véctơ Tuy nhiên, hội tụ tương đối hội tụ thứ tự mô... địa phương, lồi địa phương Đó lý chọn đề tài Sự hội tụ lý thuyết dàn véctơ Nội dung phương pháp nghiên cứu Luận văn nghiên cứu hai vấn đề Sự hội tụ lý thuyết dàn véctơ vài ứng dụng Phương pháp