Nền tảng của lý thuyết thông tin lượng tử

Những phát triển gần đây của lý thuyết thông tin lượng tử đã đem lại rất nhiều sự tiến bộ trong sự hiểu biết cơ học lượng tử và khả năng ứng dụng rộng rãi vào công nghệ tương lai.Những ý

LỜI CẢM ƠN

Lần đầu tiên được làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em không tránh khỏi sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên dưới sự giúp

đỡ, động viên nhiệt tình của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa

em đã hoàn thành được luận văn của mình

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo hướng dẫn

Th.S Nguyễn Minh Vương người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo em hoàn

thành bản luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Vật lý đã giúp đỡ

em rất nhiều trong quá trình làm việc và nghiên cứu khoa học

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu nên luận văn không tránh khỏi những sai sót, hạn chế Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo và bạn đọc để luận văn của em được hoàn thiện hơn

Sinh viên thực hiện

NGUYỄN THỊ NHUNG

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Nền tảng của lý thuyết thông tin lƣợng tử”

được hoàn thành hoàn toàn dưới sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận

tình của Th.S Nguyễn Minh Vương

Em xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của em

Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Em cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Nhung

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc luận văn 2

NỘI DUNG 3

Chương 1: Khái quát về thông tin lượng tử 3

1.1 Giới thiệu 3

1.2 Các khái niệm cơ bản 4

1.2.1 Bit lượng tử 4

1.2.2 Rối lượng tử 10

Chương 2: Trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục 13

2.1 Giới thiệu 13

2.2 Hệ thống lượng tử hữu hạn chiều 14

2.2.1 Trạng thái lượng tử 14

2.2.2 Hoạt động lượng tử 16

2.3 Các biến số liên tục 17

2.3.1 Giai đoạn không gian 17

2.3.2 Trạng thái Gaussian 20

2.3.3 Gaussian unitaries 21

2.3.4 Kênh Gaussian 24

2.3.5 Các phép đo Gaussian 26

2.3.6 Hoạt động không Gaussian 28

Chương 3: Ước lượng tử Cloning 29

3.1 Giới thiệu 29

3.2 Định lý không nhân bản 30

3.3 Trạng thái phụ thuộc Clnoing 31

3.4 Giai đoạn hiệp biến Cloning 42

3.5 Phổ Cloning 45

3.5.1 Trường hợp của Bit lượng tử 45

3.5.2 Kích thước cao hơn 50

3.5.3 Cấu trúc rối 51

3.6 Không đối xứng Cloning 52

3.7 Xác suất Cloning 53

3.8 Thí nghiệm lượng tử Cloning 53

3.9 Tóm tắt và cách nhìn 55

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành một trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản

Claude Shannon đặt nền móng về lý thuyết thông tin năm 1948 Cuốn

sách của ông “A Maththemathical Theroy of Communication ” (Một lý thuyết toán học của sự truyền thông tin) được xuất bản trong Tạp chí Bell System Technical là cơ sở cho sự phát triển toàn bộ viễn thông đã diễn ra trong suốt

năm thập kỷ qua Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanon phát minh ra cách đây hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh sai quả và đẹp nhất của ngành toán học Hiện nay, nó thật sự là một lý thuyết không thể thiếu trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà thông tin được lưu trữ và xử lý Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc Kể từ năm

1990, Khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát ra từ các vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích những kết quả thực nghiệm về bức xạ nhiệt của vật đen thì vật lý học lượng tử đã ra đời Sự xuất hiện của vật lý lượng tử và thuyết tương đối là cuộc cách mạng của ngành vật

lý học vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của nhiều ngành

Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc

xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc

Vì thế, việc tìm hiểu và nghiên cứu về khoa học thông tin lượng tử là

một việc làm rất hợp thời đại Đó cũng là lý do để tôi chọn đề tài “Nền tảng của lý thuyết thông tin lượng tử” Nó sẽ giúp bản thân em có cái nhìn sâu

sắc hơn về vật lý lượng tử

2 Mục đích nghiên cứu

Nền tảng của lý thuyết thông tin lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cơ sở của lý thuyết thông tin lượng tử

4 Đối tượng nghiên cứu

Cơ sở của lý thuyết thông tin lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và nghiên cứu tài liệu

Các phương pháp của vật lý lý thuyết

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1 Khái quát về thông tin lượng tử

Chương 2 Trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục

Chương 3 Ước lượng tử Cloning

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THÔNG TIN

LƯỢNG TỬ

1.1 Giới thiệu

Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã

và đang hướng đến một lĩnh vực mới Khoa học thông tin lượng tử Việc áp dụng vật lý lượng tử và công nghệ thông tin có thể làm thay đổi hẳn cách chúng ta giao tiếp và xử lý thông tin Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này

là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bản đối ứng lượng tử kém trực giác của nó Thông tin cổ điển có thể bị đọc và sao chép lại y nguyên mà không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao chép đó Trong khi đó, thông tin lượng tử không thể nào sao chép được nguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện Đây là một đặc điểm rất quan trọng của cơ học lượng tử mà có thể được tận dụng để trao đổi thông tin một cách hoàn toàn tuyệt mật Các trạng thái rối lượng tử còn có thể tạo ra một mức độ song song trong tính toán cao hơn hẳn một máy tính có kích thước bằng cả vũ trụ Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàn toàn mới, gọi là tính toán lượng tử

Năm 1985, David Deutsch đã giới thiệu về máy tính lượng tử và cho thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực hiện công việc nhanh hơn rất nhiều Trong khi các máy tính số ngày nay xử lý thông tin cổ điển được mã hoá theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử lý thông tin lượng

tử theo các qubit Máy tính lượng tử có thể được sử dụng để thực thi những nhiệm vụ rất khó thực hiện đối với máy tính số thông thường Ví dụ, các siêu máy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ của vũ trụ để

có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên lớn có khoảng

vài trăm chữ số, trong khí đó các máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụ này trong khoảng chưa đầy một giây

Những phát triển gần đây của lý thuyết thông tin lượng tử đã đem lại rất nhiều sự tiến bộ trong sự hiểu biết cơ học lượng tử và khả năng ứng dụng rộng rãi vào công nghệ tương lai.Những ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát

từ việc cho rằng các máy tính thực chất là các hệ vật lý và các quá trình tính toán là các quá trình vật lý Đến một thời điểm nào đó thì việc áp dụng các quy luật cơ học lượng tử để xử lý thông tin trong tính toán là không thể tránh khỏi

1.2 Các khái niệm cơ bản

1.2.1 Bit lượng tử

Đơn vị cơ bản của thông tin cổ điển là bit Một bit có thể nhận hai giá trị hoặc là 0 hoặc 1 và chứa lượng thông tin nhỏ nhất Một bit có thể được hiện thực hoá trong một hệ vật lý đơn giản ví dụ như một tín hiệu điện “tắt’ hoặc “mở” Quá trình sử lý thông tin cổ điển liên quan đến việc làm thế nào

để lập mã, giải mã, lưu trữ, truyền và bảo mật thông tin cổ điển mà trong đó

nó được mô tả bởi các bit theo những cách có hiệu quả Shannon, trong công trình đầu tiên của mình, đã giải quyết vấn đề làm sao để giải nén và truyền một cách đáng tin cậy thông tin cổ điển Về nguyên tắc, thông tin mã hoá bởi các bit có thể đọc trộm mà không ai biết hoặc sao chép ra bao nhiêu bản cũng được mà không hề để lại dấu vết gì trên nguyên bản

Cơ học lượng tử sử dụng hai công cụ chủ yếu để mô tả tự nhiên: các đại lượng vật lý quan sát được và các véctơ trạng thái Mỗi đại lượng vật lý ứng với một toán tử Hermitic Giá trị đo được của đại lượng vật lý tuỳ thuộc vào việc nó được đo trong véctơ trạng thái nào Khác với vật lý cổ điển, vật lý lượng tử cho phép một sự chồng chập tuyến tính (hay tổ hợp tuyến tính) của nhiều trạng thái khả dĩ khác nhau Chúng ta hãy xét một hạt lượng tử A và giả

sử rằng x biểu diễn trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x1 1, x2 biểu diễn trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x2 Ví dụ, chúng ta có thể giả sử hai giếng thế hệ riêng biệt như hình được vẽ ở hình 1.1 Trong đó, các trạng thái

1

x và x2 có thể được xem là các bó sóng Gauss

Trong khi một hạt cổ điển chỉ có thể ở trong giếng thế này hoặc giếng thế kia thì một hạt lượng tử có thể ở trong trạng thái chồng chập của hai trạng thái cho đến lúc một phép đo được thực hiện để tìm ra vị trí của nó Một trong các trạng thái chồng chập tuyến tính nơi mà hạt A có thể ở đó là

Hình 1.1: Sơ đồ về sự chồng chập tuyến tính của hai bó sóng Gauss trong

một giếng thế kép Một hạt cổ điển phải ở một trong hai giếng thế vào một thời điểm nào đó nhưng một hạt lượng tử thì có thể ở trong một sự chồng chập của hai trạng thái khác nhau giống như (c)

Một trong những điểm đáng chú ý của trạng thái chồng chập (1.2) là sự giao thoa giữa các trạng thái x và 1 x2 có thể ảnh hưởng đến sự phân bố xác suất của phép đo toạ độ lên trạng thái (1.2) Mức độ giao thoa thay đổi tuỳ theo giá trị của  Biểu thức (1.2) không có nghĩa rằng hạt A hoặc là ở xung quanh x1 hoặc là ở xung quanh x2 và xác suất của chúng là bằng nhau như một trường hợp của hỗn hợp thống kê: Một trạng thái tương ứng với một trạng thái trộn của x và 1 x2 với các xác suất bằng nhau được mô tả bởi một toán tử mật độ 1/2 x1 x1  x2 x2 , hạt A cũng không ở một nơi nào

đó giữa x1 và x2 Cũng thật nguy hiểm khi nói rằng hạt A đồng thời ở cả xung quanh x1 và x2 tại cùng một thời điểm Nó thật rộng bởi vì chẳng ai có thể xác minh được nó nếu không tiến hành một phép đo trực tiếp Đã có một số ví dụ nghịch lý để minh hoạ tính chất kỳ lạ này Nghịch lý con mèo của Schrödinger cho thấy sự mô tả của cơ học lượng tử về tự nhiên kỳ lạ như thế nào khi nó được áp dụng vào các hệ vât lý vĩ mô Thí nghiệm hai khe hẹp giải thích hiệu ứng giao thoa của một hạt lượng tử đơn trong một trạng thái chồng chập Nghịch lý của Hardy minh hoạ cách mà một sự chồng chập lượng tử tạo

ra một kết quả vô nghĩa khi kể đến sự tương tác giữa vật chất và phản vật chất Những ví dụ này đều cho thấy làm thế nào mà một sự chồng chập lượng

tử của hai trạng thái A và B có thể dẫn đến một kết quả thực nghiệm thứ

ba do sự giao thoa lượng tử mà không bao giờ thu được từ A , B giống như

từ hỗn hợp cổ điển của A và B Những hiệu ứng này (ví dụ như vân giao thoa trong thí nghiệm hai khe hẹp) biến mất khi bất kỳ một phép đo nào được thực hiện để theo dõi tiến trình của một hiện tượng lượng tử Vẫn còn rất nhiều tranh luận về nguồn gốc của sự kỳ lạ này bao gồm cả những nỗ lực thực nghiệm để chấm dứt những tranh luận này

Nguyên tắc chủ yếu của vật lý lượng tử gợi mở việc đưa ra một khái niệm mới về đơn vị của thông tin lượng tử, gọi là bit lượng tử (tức “quantum bit” hay viết tắt là qubit) Một qubit được định nghĩa như là một chồng chập của hai trạng thái giá trị, một cho giá trị 0 và một cho giá trị 1 Nó không phải

là một trường hợp của một hỗn hợp thống kê của 0 và 1, cũng không phải là một giá trị trung gian của cả hai trạng thái này Qubit được định nghĩa trong một không gian Hilbert hai chiều H có véctơ cơ sở trực chuẩn:

0 , 1 ,  i j  ij (1.3) Một trạng thái qubit được biểu diễn như sau

a 0 b 1

là sự chồng chập tuyến tính của hai trạng thái cơ bản với các số phức a và b bất kỳ

Hình 1.2: Sơ đồ về các bit và bit lượng tử Trong khi một bit chỉ chiếm

một trong hai cực tương ứng với 0 hoặc 1 thì một bit lượng tử lại có thể ở bất

kỳ điểm nào trên bề mặt quả cầu Bloch vì nó có thể ở trong trạng thái chồng chập khác nhau Nói chung, một bit lượng tử có thể được đặt bất cứ một điểm nào ở bên trong quả cầu nếu như nó ở trong một trạng thái hỗn hợp

Thoả mãn điều kiện chuẩn hoá, a2  b2 1, trong đóa2( b )2 tương ứng với xác suất mà qubit đo được có giá trị “0” (“1”) Chú ý rằng các trạng thái cơ sở

có thể được chọn một cách tuỳ ý Ví dụ như 0  1 / 2 và 0 1 / 2 cũng

có thể là một hệ cơ sở trực chuẩn khác Dạng tổng quát của một ma trận mật độ của một qubit là

qubit

1(I r )2

Một qubit có thể được biểu diễn bởi r

trong một quả cầu tưởng tượng

với bán kính đơn vị (xem hình 1.2), gọi là quả cầu Bloch Nếu một qubit ở trong một trạng thái sạch thì điểm tương ứng của nó luôn luôn nằm trên mặt cầu

Người ta có thể nghĩ rằng người này hay người kia nhận được nhiều thông tin từ một bit lượng tử hơn là một bit bởi vì một qubit có thể tồn tại như

là một số vô hạn trong các trạng thái chồng chập khác nhau Nhưng thật ra, không có nhiều thông tin hơn có thể thu được từ một qubit bởi vì kết quả đọc

ra của một qubit là một quá trình đo cơ học lượng tử Nói chung, cơ học lượng tử không cho phép người ta đo một trạng thái lượng tử mà không phá huỷ nó Vì vậy, nói chung, một qubit không thể bị đọc mà không biến mất trong khi một bit thì lại có thể Một quá trình đọc ra của một qubit  sẽ làm cho trạng thái qubit xẹp xuống là 0 hoặc 1 tuỳ thuộc vào kết quả đo Cùng

lý do đó mà một qubit bất kỳ không thể được nhân bản một cách hoàn hảo, đó

là nội dung của định lý “không nhân bản” được tìm ra năm 1982 và là một định lý đóng vai trò quan trọng trong xử lý thông tin lượng tử

Đã có một số đề xuất hiện thực hoá các qubit đối với quá trình xử lý thông tin lượng tử trong các hệ vật lý như nguyên tử, các hệ vật chất ngưng tụ

và quang học Theo nguyên tắc, bất kỳ một hệ lượng tử hai chiều nào đều có thể được xem như là một hệ qubit Một hạt Spin -1/2, một nguyên tử hai mức, một trạng thái photon phân cực… là những ví dụ quen thuộc Tuy nhiên, để tìm ra một hệ qubit thích hợp cho quá trình xử lý thông tin lượng tử lại là một chuyện khác, hệ qubit đó phải có thể nhập vào, kiểm soát, đo đạt và có thể đọc được trước khi nó bị phá vỡ bởi tương tác với môi trường xung quanh Có hai loại qubit đó là: qubit quang học (không có khối lượng) rất tốt cho truyền tin và qubit vật thật (có khối lượng) rất tốt cho tính toán lượng tử Việc chuyển hoá thông tin lượng tử từ các qubit quang học sang các qubit vật chất

và ngược lại là cần thiết và đã được nghiên cứu khá kỹ

Gần đây, các nghịch lý đã được thảo luận trong chương trước lại xuất hiện và đóng góp vào rối của các hệ vật lý hơn là giải thích cũ dựa trên nguyên lý bất định Heisenberg Như đã được giải thích bởi Shrödinger, các trạng thái rối có thể sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khi hai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xung lượng phải được bảo toàn Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối do tương tác với môi trường Rối đóng vai trò không thể thay thế như là nguồn tài nguyên trong các quá tình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễn chuyển lượng tử, mật mã lượng tử và tính toán lượng tử Giả sử một trạng thái hai hệ

1 và 2 được định nghĩa trong một không gian Hilbert H1 H2 như sau:

là một trạng thái rối Khi a  b ta có trạng thái rối một phần Trạng thái rối cực đại ứng với trường hợp a  b Bốn trạng thái rối cực đại trong không gian H1 H2 tạo thành một hệ đủ trực chuẩn là

1( 0 0 1 1 ),2



   (1.7)

1( 0 1 1 0 )2

  là vectơ trạng thái của hệ 1 (2)

Sự rối không phải chỉ xảy ra giữa hai hệ lượng tử mà cũng có thể xảy ra giữa nhiều hệ lượng tử khác nhau Khi đó ta có rối đa hệ Rối đa hệ rất quan trọng đối với các giao thức lượng tử đa nhân trong một mạng lưới lượng tử Các trạng thái rối cực đại là những kênh lượng tử rất tốt trong xử lý thông tin lượng tử Ví dụ, trong viễn chuyển nếu một kênh lượng tử sử dụng không phải là rối cực đại thì xác suất thành công sẽ luôn bé hơn xác suất thành công của việc sử dụng rối cực đại Để tạo được một trạng thái lượng tử rối cực đại

là một việc làm không dễ Tuy nhiên, các giao thức cũng đã phát triển để chắt lọc ra một số ít các trạng thái rối cực đại từ một số lớn các trạng thải rối không cực đại bằng cách sử dụng các tác dụng định xứ và các giao tiếp cổ điển Những sơ đồ này được gọi là chiết hay sự chắt lọc rối

Hình 1.3: (a) hai hệ vật lý tách riêng A và B không rối với nhau; (b) A và

B tương tác với nhau; (c) A và B trở nên rối; (d) A và B tương tác với môi trường C và giảm độ rối hoặc mất rối hoàn toàn

CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ RỜI RẠC

VÀ CÁC BIẾN SỐ LIÊN TỤC

2.1 Giới Thiệu

Phần lớn các lý thuyết của khoa học thông tin lượng tử ban đầu đã được phát triển trong lĩnh vực của các bit lượng tử và trits, như vậy cho hệ thống lượng tử hữu hạn chiều Tín hiệu tương tự gần nhất với các bít cổ điển là trạng thái của hai hệ lượng tử, và thực tế, khá nhiều trực giác của lý thuyết thông tin cổ điển tiến hành trên lĩnh vực lượng tử [1], [2] Tuy nhiên, cần phải nói, rất nhiều hệ lượng tử không thuộc thể loại này là hữu hạn chiều, quen thuộc đơn giản, cơ học lượng tử dao động điều hòa là một ví dụ Dao động có thể được nhận thấy như một lĩnh vực chế độ của ánh sáng hoặc như mức độ rung động tự do của một ion trong một cái bẫy Ngoài ra, spin chung của mẫu nguyên tử có thể để một phép tính xấp xỉ thỏa đáng được mô tả như một hệ thống lượng tử dạng này Trước đây không phải rất lâu hệ thống lượng tử vô hạn chiều trở nên rõ ràng là như vậy cũng rất hấp dẫn để xử lý thông tin lượng

tử, cả hai từ một lý thuyết và từ một quan điểm thực nghiệm [3], [6]

Chương này sớm là chủ yếu hướng tới "thiết lập tọa độ", giới thiệu khái niệm cơ bản về trạng thái và hoạt động Một thời gian ngắn chúng ta sẽ có một cái nhìn cụ thể trong trường hợp hữu hạn chiều Sau đó chúng ta sẽ chuyển sang một mô tả về trạng thái và hoạt động trong trường hợp hệ thống lượng tử vô hạn chiều Các câu hỏi về sự rối hoặc các giao thức như phân bố khóa lượng tử được cố tình để lại và sẽ được đề cập cụ thể trong chương sau

Như vậy hệ thống lượng tử vô hạn chiều (boson) có tọa độ kinh điển tương ứng với vị trí và xung lượng Những quan sát không có giá trị riêng, nhưng là một phổ liên tục; do đó thuật ngữ " hệ thống biến đổi liên tục " đã được đặt ra để mô tả các tình trạng Lúc đầu, ta có thể dẫn đến suy nghĩ rằng các cuộc thảo luận về các trạng thái, các hoạt động học lượng tử và xử lý

thông tin lượng tử như vậy là quá tải với các kỹ thuật của không gian Hilbert

vô hạn chiều Thật vậy, một số điểm tinh tế xa lạ với các thiết lập hữu hạn chiều xuất hiện: ví dụ, không có thêm một ràng buộc, entropy và mức độ về

sự rối cho rằng vấn đề thông thường hầu hết ở khắp mọi nơi vô hạn Hầu hết các thuật ngữ chuyên môn có thể được thuần hóa, với sự giúp đỡ của các ràng buộc tự nhiên với năng lượng trung bình hoặc hạn chế tuyến tính khác [7], [8]

Một số lượng lớn các giao thức và các thuộc tính về trạng thái lượng tử

và thao tác của họ, tuy nhiên, có thể được nắm bắt trong điều kiện tránh những vấn đề chuyên môn ngay lập tức: điều này là do thực tế rằng có nhiều trạng thái xảy ra trong bối cảnh của khoa học thông tin lượng tử có thể được

mô tả một cách đơn giản về các thời điểm của họ Những trạng thái tự do hoặc bán Gaussian sẽ hoàn toàn ở trung tâm của sự chú ý trong phần phụ sau của chương này Cuối cùng, chúng ta sẽ thấy rằng ngay cả khi ngôn ngữ đã có điều gì đó để nói khi chúng không xử lý với trạng thái Gaussian nhưng với một lớp của trạng thái không Gaussian đóng một vai trò trung tâm trong hệ thống quang học lượng tử

2.2 Hệ thống lƣợng tử hữu hạn chiều

2.2.1 Trạng thái lượng tử

Trạng thái thể hiện tất cả các thông tin về quá trình chuẩn bị của một hệ

lượng tử có tiềm năng cho các phép đo sau thống kê Trạng thái tương ứng

với mật độ ρ nhà khai thác thỏa mãn [2], [3]:

Các thiết lập của tất cả các nhà khai thác mật độ thường được gọi là không

gian trạng thái

Không gian trạng thái của một qubit duy nhất đặc biệt là trong suốt: nó

có thể được biểu diễn là các quả cầu đơn vị trong R3, gọi là quả cầu Bloch

Các không gian Hilbert của qubit được kéo dài bởi | 0 , |1 Trong điều kiện của cơ sở này, một trạng thái có thể được viết là:

Vì vậy, trạng thái của qubit duy nhất được đặc trưng bởi véctơ

Nói chung, không gian trạng thái của một hệ lượng tử d-chiều ( d2 -1) chiều lồi thiết lập: nếu ρ1 và ρ2 là trạng thái lượng tử có thực, sau đó sự kết hợp mặt lồi  1  1   2 với bước sóng   0, 1 cũng là một trạng thái lượng tử Một quy trình như vậy phản ánh sự pha trộn của hai trạng thái lượng

tử Các điểm đặc biệt của không gian trạng thái là trạng thái lượng tử tinh

khiết

Hãy để chúng tôi kết thúc phần này với một nhận xét về thành phần của

hệ thống lượng tử, mà có liên quan quan trọng khi nói về sự rối Các thành phần của hệ thống lượng tử được kết hợp trong các khái niệm trạng thái thông

qua các sản phẩm tensor: không gian Hilbert của một hỗn hợp hệ thống bao

gồm các bộ phận với không gian Hilbert H1 và H2 được xác định

|i  | j :i 1, , 1;d j 1, , d2 ,

trong đó |1 , , | 1d và |1 , , | 2d  là cơ sở của H1 và H2, tương ứng

2.2.2 Hoạt động lượng tử

Một hoạt động học lượng tử hoặc một kênh lượng tử phản ánh bất kỳ

xử lý của thông tin lượng tử, hoặc bất kỳ cách nào một trạng thái có thể được

thao tác bằng một thiết bị vật lý thực tế Khi nắm bắt khái niệm của một hoạt động học lượng tử, hai cách tiếp cận xuất hiện để được đặc biệt tự nhiên: trên một mặt, có thể liệt kê các hoạt động cơ bản mà được biết đến từ bất kỳ cuốn

sách giáo trình về cơ học lượng tử, và tưởng tượng được một hoạt động học lượng tử nói chung như một chuỗi nối tiếp của những thành phần này Mặt khác, trong một cách tiếp cận tiên đề có thể xây dựng các yêu cầu tối thiểu hoạt động học lượng tử có ý nghĩa để thực hiện phù hợp với khung thống kê giải thích của cơ học lượng tử Để bắt đầu với cách tiếp cận trước đây, bất kỳ hoạt động học lượng tử:

 

T

  

có thể được coi là một hệ quả của việc áp dụng các hoạt động cơ bản sau đây:

 Unita động lực học: Thời gian tiến hóa theo Schodinger động lực

 Một phần dấu vết: Điều này để

 

E

tr

  trong một hệ thống lượng tử tổng hợp

 Đo Von-Neumann: Đây là một phép đo liên quan với một tập hợp

các trực giao dự đoán, π1, , Πk

Bây giờ, để đề cập đến cách tiếp cận thứ hai bất kỳ hoạt động học lượng tử T phù hợp với việc giải thích thống kê cơ học lượng tử phải chắc

chắn tuyến tính và dương: mật độ toán tử phải được ánh xạ vào các toán tử mật độ Giữ gìn dấu vết của bản đồ kết hợp các dấu vết của các nhà điều hành mật độ vẫn được đưa ra bởi sự thống nhất

2.3 Các biến số liên tục

Vì vậy, nhiều hệ thống lượng tử hữu hạn chiều Những gì chúng tôi có thể nói bây giờ nếu hệ thống là hệ thống lượng tử vô hạn chiều [4-6], chẳng hạn như một hệ thống bao gồm các lĩnh vực chế độ của ánh sáng [9-12] hoặc tập quay bậc tự do [13, 14]? Như đã đề cập trước đây, thuật ngữ " Hệ thống lượng tử vô hạn chiều " đề cập đến một thực tế mà cơ bản không gian Hilbert

H vô hạn chiều Ví dụ nguyên mẫu của hệ thống như vậy là một chế độ duy

nhất, vì vậy gọi là một lượng tử dao động điều hòa duy nhất Tọa độ kinh

Không cần phải nói, các sóng mang của một trạng thái không phải là hữu hạn Ví dụ, trạng thái kết hợp quen thuộc quan trọng trong quang học lượng tử có trạng thái vector:

2.3.1 Giai đoạn không gian

Vật lý của N kinh điển (boson) bậc tự do ─ hoặc các phương thức cho

rằng vấn đề ─ N dao động điều hòa Như một hệ lượng tử được mô tả trong

một không gian pha Các không gian pha của một hệ thống N mức độ tự do là

R2N, được trang bị với một hình thức kháng đối xứng song tuyến tính [3, 6,15, 16] Sau đó bắt nguồn từ các mạch đảo kinh điển mối quan hệ giữa các tọa độ kinh điển Viết tọa độ kinh điển là R1, , R N2   X1, 1, ,P XN PN, ,

mối quan hệ mạch đảo kinh điển có thể được thể hiện:

   

Ma trận này là block chéo, như quan sát các mức độ khác nhau của tự

do chắc chắn đi lại với nhau Ở đây, đơn vị đã được chọn sao cho bằng 1

Một công cụ thuận tiện cho một mô tả của các trạng thái giai đoạn

trong không gian là các nhà điều hành dịch chuyển ─ hoặc, tùy thuộc vào giới khoa học, nhà điều hành Weyl Định nghĩa là: T

Tương đương với đề cập đến một trạng thái, là một toán tử mật độ người

ta có thể xác định trạng thái của một hệ thống với các tọa độ kinh điển bằng phương tiện của một chức năng thích hợp trong không gian pha Trong các tài liệu tìm thấy rất nhiều các chức năng không gian pha, mỗi trong số đó được

trang bị với một giải thích vật lý nhất định Một trong số đó là hàm đặc trưng

[6, 17, 18] Nó được định nghĩa là giá trị kỳ vọng của các nhà điều hành

Weyl, do đó:     tr W  .

Điều này nói chung là một hàm phức, có giá trị trong không gian pha

Nó duy nhất xác định các trạng thái lượng tử, mà có thể thu được thông qua

      Các hàm đặc trưng là biến đổi Fourier của hàm

Wigner, quen thuộc trong quang học lượng tử:

Một trong những tính chất hữu ích được gọi là thuộc tính chồng chéo

[17, 18]

Nếu chúng ta định nghĩa hàm Wigner của các nhà điều hành A1 và A2 như Fourier biến đổi của  tr A W 1  và  tr A W 2 , tương ứng, và ký hiệu với WA1 và WA2, chúng ta có:

của họ [3, 6] Những khoảnh khắc đầu tiên là giá trị kỳ vọng của các tọa độ

kinh điển, để d k  R k tr R k. Những khoảnh khắc thứ hai, lần lượt, có thể

được thể hiện trong thực tế đối xứng 2N × 2N - ma trận γ Các mục trong đó được cho bởi:

Bây giờ trạng thái Gaussian có ý nghĩa như thế nào? Trạng thái kết hợp

với véctơ trạng thái như trong Eq (2.1) tạo thành ví dụ quan trọng của trạng thái Gaussian, có một ma trận hiệp biến γ = I2: trạng thái kết hợp là gì nhưng trạng thái chân không, di dời trong không gian pha Ma trận hiệp biến của một

trạng thái chân không ép được cho bởi   diag d , 1/d cho d  0 (và quay chúng ), − log d là tham số nén của nó Trạng thái nhiệt hoặc Gibbs cũng là trạng thái Gaussian, có thể trong cơ sở thể hiện như:

Nơi ¯ = (eβ − 1) −1 là số photon trung bình của trạng thái nhiệt của nhiệt độ nghịch đảo β> 0 Các trạng thái là hỗn hợp, với ma trận hiệp biến

H là thực và đối xứng, tương ứng với một boson Hamilton bậc hai

Unitaries này tương ứng với một đại diện của các Symplectic nhóm

2 , 

Sp N R Nó được hình thành bởi những ma trận thực sự mà: S S T 

Trong đó, kết nối từ S Hamilton được xác định bởi S  eH Đó là thuận lợi để theo dõi các hành động của unitaries Gaussian mức độ của những khoảnh khắc thứ hai [5, 6, 15, 16], tức là, ma trận hiệp biến, như:  S S T.

Những unitaries Gaussian được năng lượng bảo toàn thường được gọi

là thụ động Trong bối cảnh quang học, unitaries như bảo vệ tổng số photon

Chúng tương ứng trong quy ước được chọn trong chương này:

Cho dù chuyển đổi là thụ động hoặc không có thể dễ dàng được đọc từ các ma trận S: các ma trận S tương ứng với hoạt động thụ động là chính xác những trực giao, S SO N . Những biến đổi này một lần nữa tạo thành một nhóm, Sp2 ,N R O 2N . Nhóm này là một đại diện của U (N), đây là một thuộc tính mà thuận tiện có thể được khai thác khi đánh giá nhiệm vụ thông tin lượng tử có thể truy cập sử dụng quang học thụ động (xem, ví dụ.,Tài liệu tham khảo [33])

Chuyển đổi hoạt động, ngược lại, không bảo toàn tổng số photon Hoạt

động gây ép trong các hệ thống quang học chuyển đổi như vậy đang hoạt động Ví dụ nổi bật nhất là một unita ép các trạng thái lượng tử của một chế

độ duy nhất, expx  2  † 2 ,

U  a  a số lượng x > 0 mô tả cường độ của sự đè

ép

Chúng ta thấy rằng: S  diag e x, e x;

ma trận này sẽ xác định chuyển đổi vào mức độ của các ma trận hiệp biến

Bất kỳ thực sự đối xứng 2N × 2N-ma trận là một ma trận hiệp biến hợp lệ? Câu trả lời chỉ có thể là "không"; nguyên lý bất định Heisenberg hạn chế những khoảnh khắc thứ hai của bất kỳ trạng thái lượng tử Các nguyên tắc Heisenberg bất định có thể được diễn tả như hạn chế:

0.

i

    (2 2) Đổi lại, đối với bất kỳ ma trận đối xứng thực sự có tồn tại một trạng thái ρ có những khoảnh khắc thứ hai [3,6]

Đó thực sự là gì, nhưng nguyên lý bất định Heisenberg quen thuộc có thể được nhìn thấy như sau: Đối với bất kỳ ma trận hiệp biến γ của một hệ thống với mức độ tự do N, có tồn tại một S Sp2 ,N R như vậy mà:

2 1

Các con số S1, ., SN có thể xác định được phần dương cực của quang phổ

i Đây là phân rã của chế độ bình thường, kết quả từ các quá trình quen

thuộc của phép tách một hệ thống kết hợp của dao động điều hòa Ma trận hiệp biến của Eq (2.3) sau đó là các ma trận hiệp biến của một hệ thống N chế độ đồng đều, mỗi trong số đó là ở trong trạng thái nhiệt của "số photon"

có nghĩa là i S1  1 / 2 15,16    Bây giờ, có điều này trong ghi nhớ, chúng

ta có thể giảm (2.2) đến một vấn đề duy nhất chế độ, cho một ma trận hiệp biến của mẫu   diag s s , Đối với ma trận hiệp biến của một trong các chế

độ đồng đều, lần lượt nguyên lý bất định Heisenberg trở thành:   X P 1/ 2,

mà: X  X X 2  và  P PP 2 

Phân rã chế độ bình thường là một công cụ rất hữu ích khi đánh giá bất

kỳ số lượng phụ thuộc vào trạng thái lượng tử unitarily bất biến Ví dụ, để

tính toán (Von Neu- Mann) entropy S   tr log  của một trạng thái Gaussian trở thành một doanh nghiệp đơn giản, một khi vấn đề được giảm đến một vấn đề duy nhất chế độ bằng cách sử dụng mẫu đơn này Williamson bình thường

Cuối cùng, trong phần phụ này, chúng không phải là trạng thái Gaussian có thể được đặc trưng bởi các biểu thức entropy: Cụ thể, Gaussian là những trạng thái lượng tử cố định thứ nhất và thứ hai những khoảnh khắc có

nhất Von-Neumann Điều này có thể được coi là một biểu hiện của nguyên

tắc thông tin tối thiểu Jaynes

2.3.4 Kênh Gaussian

Một lớp chung của các hoạt động Gaussian được đưa ra bởi các kênh

Gaussian [20-22] Như vậy kênh Gaussian đóng một vai trò khá trung tâm

trong thông tin lượng tử với các biến liên tục

Nổi bật nhất, chúng là mô hình cho các sợi quang học như các đường truyền ồn ào hoặc mất dữ liệu Một kênh Gaussian một lần nữa là hình thức:

tự do lần lượt điều chỉnh bởi một số bậc hai boson Hamilton

Làm thế nào để mô tả được ngắn gọn kênh như vậy? Kể từ khi họ bản

đồ Gaussian thành trạng thái Gaussian, chúng được chuyển vị hoàn toàn đặc trưng bởi hành động của họ trên những khoảnh khắc thứ hai Hành động này

Một ví dụ quan trọng của các kênh Gaussian trong thực tế là các kênh

mất dữ liệu Kênh này làm những gì tên cho thấy: nó mất photon Nó có thể

được mô phỏng bởi một bộ tách chùm chuyển đổi t 0, 1 với một cổng trống rỗng trong chân không được kết hợp Trong ngôn ngữ ở trên, điều này trở thành:

  2 2

tI

Sau đó, kênh gây ra tạp âm Gaussian cổ điển là một kênh Gaussian

lượng tử [23, 24] Kênh này có thể được hình thành như là kết quả từ chuyển

vị ngẫu nhiên trong không gian pha với trọng lượng Gaussian:

1 1

4 det 1/ 2

T e d

với một ma trận dương G Kênh tạp âm cổ điển này cũng có thể được thực hiện như là một kênh mất dữ liệu, sau đó bằng cách khuếch đại, mà là giống hệt nhau để các kênh mất dữ liệu, nhưng với t > 1

Trong ngôn ngữ này, người ta cũng có thể thuận tiện đọc tốt như thế nào một hoạt động bất khả thi có thể xấp xỉ một cách gây ra tiếng ồn nhỏ

nhất Ví dụ, pha liên hợp quang học là một hoạt động bất khả thi, trong đó

không có thiết bị mà hoàn toàn thực hiện hoạt động này với hoàn hảo âm thanh có độ trung thực Điều này sẽ tương ứng với một kênh của các hình thức trên với: F  diag1,  1 

Tuy nhiên, nếu chúng ta cho phépG 2, 2 , sau đó bản đồ T

   

tương ứng với một kênh,vì vậy hoàn toàn dương hợp lệ bản đồ Ta có thể nói

đó cũng có thể được thực hiện chính xác hơn về một con số merit trạng thái Gaussian cách xa từ bất định tối thiểu, điều này Y bổ sung bù lại hầu như không quan trọng

Sau đó, làm thế nào đây Gaussian lượng tử nhân bản có thể thực hiện? Câu trả lời cho câu hỏi này phụ thuộc vào, không cần thiết phải nói về các con

số merit Sự lựa chọn tự nhiên sẽ là âm thanh có độ trung thực chung kết quả đối với hai mẫu vật của các đầu vào, hoặc dòng duy nhất cho âm thanh có độ trung thực Tuy nhiên, nếu chúng ta hỏi đối xứng kênh Gaussian xấp xỉ gây

tiếng ồn tối thiểu cloner hoàn toàn, thì câu trả lời sẽ đưa chúng ta chỉ có một

dòng duy nhất Chúng ta sửa lỗi F phải giống hệt như: 2 2

là do không có nghĩa rõ ràng Thật thú vị, nó chỉ ra rằng khi một ( judges) duy nhất clones (bằng âm thanh có độ trung thực một bản copy), nhân bản tối ưu

 để mà photon đã được phát hiện, mặc dù không có độ phân giải tốt hơn về

số lượng của các photon Im- hoàn hảo phát hiện có thể được thuận tiện và mô

tả chính xác bằng phương tiện của một kênh mất dữ liệu, tiếp theo là một phép đo dạng này

Trong một hệ thống gồm N +1 các nút trong một ρ trạng thái Gaussian, điều gì sẽ là ma trận hiệp biến: 1 0 | | 0 ?

N

tr tr

Trong đó, một phát hiện homodyne dẫn đến một ma trận hiệp biến của mẫu [28]:    C B  1C T ,

nơi π là 2 × 2 ma trận của rank 1 Hầu hết các hoạt động Gaussian nói chung, bao gồm cả phép đo Gaussian, kết quả từ nối của các hoạt động cơ bản trên đây [28-30], đưa đến phép biến đổi về mức độ của các ma trận hiệp biến:

là ma trận hiệp biến của chuyển vị một phần của trạng thái Gaussian được mô

tả bởi Γ Đây là quy luật chuyển đổi cho bất kỳ bản đồ hoàn toàn dương trạng thái Gaussian mà các bản đồ vào trạng thái Gaussian Phương pháp này có thể hiểu về các đẳng cấu giữa bản đồ hoàn toàn tích cực và các nhà khai thác tích cực [29-31]