Kỹ thuật hệ số không xác đinh UCT(Undetermined coefficient)

kĩ thuật hệ số không xác định (U.C.T) Cú bao nhiờu iu n m bn cha bit n ?! Cõu tr li l rt rt nhiu v ụi bn cm thy bc bi, khú chu khụng th tỡm mt li gii thớch tha ỏng cho n no ú Nhng bn hóy quan nim rng ng sau bt kỡ mt iu gỡ luụn hm cha mt ý ngha nht nh V cng khụng phi ngu nhiờn m s lớ gii li c hỡnh thnh Trong th gii bt ng thc cng vy ụi bn khụng th hiu c ti ngi ta li cú th tỡm mt li gii trụng cú v kỡ cc nh th !!! Phi chng l ln mũ v may ri lm mi tỡm c ? Cõu tr li li mt ln na c nhc li: mụi li gii u cú s gii thớch ca riờng bn thõn nú Vic tỡm li gii ú phi i qua mt quỏ trỡnh lp lun, th, sai v ung Trong chuyờn nho nh ny chung tụi muụn gii thiu n cỏc bn mt k thut c bn nhng khụng kem phn hiu qu vic chng minh mt sụ dng ca bt ng thc Nú khụng giỳp ta gii quyt tt c cỏc bi toỏn m ch giup ta tỡm nhng li gii ngn gn v n tng mt lp bi toỏn no ú Mt sụ bi toỏn d ụi vi phng phỏp ny nhng li l khú ụi vi k thut õy cng l iu hin nhiờn v d hiu Mc lc Phn Bi toỏn m u Phn Khi u cựng mt sụ bi toỏn c bn Phn K thut chun húa v U.C.T Phn U.C.T v k thut phõn tỏch cỏc trng hp Phn Kt hp bt ng thc Vornicu Schur vi U.C.T Phn Mt dng biu din thu v Phn Gii quyt mt sụ bi toỏn m iu kin liờn quan mt thit n Phn U.C.T m rng Phn Li kt Phn 10 Bi ỏp dng Phõn Bi toỏn m õu Bi toỏn [Nguyn Thuc V Hong] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng tha a b c Chng minh rng 1 1 2(a b2 c ) a b2 c Chng minh Ta s dng bt ng thc sau õy 2a 2a a2 3 Tht vy bt ng thc trờn tng ng vi (a 1) (2a 6a 3) 3a Hin nhiờn ung vi a l sụ thc dng S dng cỏc bt ng thc tng t vi b v c Ta cú iu phi chng minh ng thc xy a b c Chc chn c li gii cho bi toỏn n gin ny bn cú phn lung tung v khụng hiu ti li cú th tỡm bt ng thc ph mt cỏch khú hiu nh vy Phi chng l d oỏn mt cỏch vụ hng Hoc cng cú ngi s ngh bi toỏn trờn c to t chớnh bt ng thc ph ú Cõu tr li l hon ton khụng phi Tt c u i theo qui lut ca nú cỏc phn tip theo chung tụi s phõn tớch v mt k thut phõn tớch giup tỡm cỏc bt ng thc ph v m rng ny theo chiu hng khỏ mi m K thut ny cú tờn l U.C.T, l vit tt ca ch cỏi u ca cm t ting Anh Undefined Coefficient Technique Hay cũn gi l K Thuõt H s bt nh õy l mt k thut c bn v l nn tng quan trng trờn ng tỡm kim li gii cho nhng bt ng thc khú Phõn Khi õu cung mụt sụ bi toỏn c ban Chung ta s u k thut ny bng vic a cỏch gii thớch cho vic tỡm bt ng thc ph trờn v nú cng chớnh l cỏch gii thớch cho cỏc bi toỏn sau ny ca chung ta Bi toỏn trờn cỏc bin c v v iu kin u khụng rng buc iu ny khin ta ngh s tỏch theo tng bin chng minh c n gin hn nu cú th Nhng ro rng ta ch tng ú thụi l khụng Nu ta chng minh bt ng thc sau 2a (a 1)(a 1)(2a 3) 3 a2 3a Rừ rng khụng hon ton ung vi a thc dng ng b cuc ti õy bi vỡ cỏch trờn ta cha s dng iu kin a b c Nh vy ta s khụng i theo ng lụi suy ngh n gin ban u na m s i tỡm h sụ bt ng thc sau l ung 2a (1) ma n 3 a2 Trong ú m v n l cỏc h sụ cha xỏc nh Tng t vi bin b v c Cng v theo v ta cú 1 2a 2b 2c 5 m(a b c) 3n 3(m n) 3 a b c Nh vy õy h sụ m v n phi tha iu kin m n n m Th vo (1) dn n 2a m(a 1) (2) 3 a2 n õy ta ch cn xỏc nh h sụ nht l m bt ng thc (2) l ung Chu ý bi toỏn ny im cc tr t c ti a b c nờn ta cn xỏc nh m cho (a 1)( 2a 3) 2a m(a 1) (a 1) m 2 3 a 3a (a 1)(2a 3) 2 t ú ta d oỏn rng m to 3 3a thnh i lng bỡnh phng (a 1) biu thc T ú ta s chng minh bt ng thc ph 2a 2a a2 3 Khi cho a thỡ ta cú Quỏ trỡnh i tỡm bt ng thc ph ó c phõn tớch c th trờn Tuy nhiờn ú khụng phi l cỏch nht ta tỡm h sụ Ta cng cú th s dng tớnh cht ca ng tip tuyn ti mt im ca th hay s dng o hm Nhng cú l cỏch d oỏn trờn l hu hiu v n gin v mt trc quan cng nh thc hin Tuy nhiờn tt c cng ch l s d oỏn Nú khụng m bo rng sau tỡm bt ng thc ph ri thỡ bi toỏn s c gii quyt Mt sụ dng toỏn nh vy s c cp cỏc phn tip theo ca chuyờn ny phn ny chung ta s chng minh mt sụ bt ng thc c bn hỡnh thnh u k thut qua ú thnh thc vic phõn tớch Ta tip tc n vi bi toỏn sau Bi toỏn [Vasile Cirtoaje] Cho a, b, c, d l cỏc sụ thc dng tha a b c d Chng minh rng 1 1 2 a b c d Chng minh Ta s xỏc nh h sụ m bt ng thc sau l ung (a 1)( a 1) a m(a 1) m(a 1) (a 1) m 2 a a a a Khi a ta s cú m Ta d oỏn bt ng thc sau ung v tht a vy a(a 1) a a2 a2 Tng t vi cỏc bin cũn li Cng v theo v ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a b c d Nhn xet Ta cú th s dng k thut Cụsi ngc du tỡm bt ng thc ph trờn a2 a2 a 2 2a a a Bi toỏn [Algebraic Inequalities Old and New Method] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng tha a b c Chng minh rng 1 a bc b ca c ab Chng minh õy ta cn tỡm m bt ng thc di l ung 1 a(a 1) m(a 1) m(a 1) a bc a a3 3(a a 3) Tng t nh trờn ta tỡm d oỏn rng vi m thỡ bt ng thc ph ung Tht vy a (a 1) (3 a ) (a 1) (b c) a2 a 9 3(a a 3) 3(a a 3) Nhn xet Bi toỏn trờn cú th gii bng k thut Phõn tỏch Chebyshev nhng xem cỏch gii bng U.C.T li n gin hn v mt ý tng Bi toỏn tụng quỏt ó c gii quyt bng nh lớ LCF Algebraic Inequalities Old and New method ca tỏc gi Vasile Cirtoaje Cho a1 , a2 , , an l cỏc sụ thc khụng õm tha a1 a2 an n Chng minh rng 1 2 a1 a1 n a2 a2 n an an n Bi toỏn [Nguyn Thuc V Hong] Cho a, b, c, d l cỏc sụ thc khụng õm tha a b c d Chng minh rng 2(a b c d ) ab ac ad bc bd dc Chng minh Theo bi a, b, c, d l cỏc sụ thc dng tha a b2 c2 d (a b c d )2 2(2 ab ac ad bc bd cd ) (a b c d ) 2(2 ab ac ad bc bd cd ) Bt ng thc cn chng minh tng ng vi 2(a b c d ) (a b c d ) Ta cn xỏc nh h sụ m bt ng thc sau ung 3a (2a 1) (a 1) 2a m(a 1) m(a 1) 2 D dng d oỏn m Ta s chng minh iu ú, tht vy 3a 9(a 1) 2a 2(a 1) (a 2) 2 iu ny hin nhiờn ung ng thc xy v ch a b c d Nhn xet Bi toỏn ny vi hỡnh thc khỏ cng knh vỡ cha cn thc Tuy nhiờn nu nhn im mu chụt ca bi toỏn ta d dng a v n lng theo bin gii quyt Bi toỏn trờn cũn cú th gii quyt theo cỏch khỏc bng cỏch chng minh trc tip vi bin Nhng dự vic gii quyt theo tng bin riờng bit d dng hn rt nhiu Bi toỏn 4 Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng tha a b c Chng minh rng 1 5(a b c ) 27 a b c Chng minh Ta cn tỡm h sụ m cho (a 1)(5a 5a 4) 5a m(a 1) m(a 1)(a a 1) a a Ta d dng nhn ng thc xy v ch a b c Khi cho a thỡ ta cú th d oỏn rng m Ta s chng minh rng vi m thỡ bt ng thc ph trờn l ung Tht vy (a 1) (2a a 4) 5a 2a a a Do a 3 2a a Vy bt ng thc ph trờn l ung ng thc xy v ch a b c Bi toỏn Cho a1 , a2 , , an l cỏc sụ thc khụng õm tha n 3a i n a i i n Chng minh rng n i Chng minh Ta s tỡm h sụ m cho (5 3ai )(ai 1) m(ai 1) m(ai 1) 3ai 8(3ai2 5) Ta d oỏn rng vi m thỡ bt ng thc ph trờn l ung Tht vy: 32 (5 )( 1) (ai 1) 32 3ai2 32(3ai2 5) iu ny hin nhiờn ung ng thc xy v ch cỏc bin bng v bng Nhn xet Qua cỏc bi toỏn trờn ta cú th thy rng bt ng thc khụng h quan tõm n sụ bin Ta hon ton cú th tụng quỏt vi n bin m khụng lm nh hng n cỏch gii õy l mt im thu v ca U.C.T Mt cỏch tụng quỏt ta a cỏch gii quyt cho lp bi toỏn cú dng sau Bi toỏn tụng quỏt Cho cỏc sụ thc khụng õm a1 , a2 , , an tha h(a1 ) h(a2 ) h(an ) Chng minh rng f (a1 ) f (a2 ) f (an ) Lp bi toỏn ny cú th c gii quyt bng cỏch phõn tỏch chng minh theo tng bin Vỡ cỏc biu thc mang tớnh ụi xng vi nờn thng thỡ im cc tr t c ti cỏc bin bng Ta s phi xỏc nh h sụ m cho f ( a i ) m h( a i ) ung vi mi bin tha iu kin t Vi cỏch gii ny ta s gii quyt c mt lng ln cỏc bt ng thc m cỏc bin khụng rng buc ln mt cỏch mt thit n Thng l mt sụ dng iu kin nh aik n Cú th khỏi quỏt t tng ca k thut i ny lp bi toỏn trờn nh sau: chng minh bi toỏn ta s xỏc nh h sụ cỏc bt ng thc ph theo tng bin riờng bit cho f (ai ) m h(ai ) g (ai )2 k p(ai ) Trong ú g (ai ) (ai x k ) vi x k l im cc tr ca bt ng thc Bi toỏn s c gii quyt nu p(ai ) Trong trng hp p(ai ) ch ung mt nghim no ú thỡ ta s tin hnh chia trng hp gii quyt bi toỏn Tuy nhiờn phn ny ta s khụng cp n nhng bi toỏn nh vy m s cp phn sau Sau ó tỡm bt ng thc ph Vi nhiu cụng c nh o hm, kho sỏt hm sụ hay n gin ch l phõn tớch nhõn t ta u cú th gii quyt khụng quỏ khú khn Trong phộp chng minh cho cỏc bt ng thc ph trờn ta bin ụi v qui v vic phõn tớch nhõn t ca a thc an x n an1 x n1 a2 x a1 x a0 M mc ớch ch o l qui v dng tụng cỏc bỡnh phng Vic nhõn tớch a thc thnh nhõn t l mt i sụ c bn nờn xin khụng nờu õy Qua mt vi vớ d nho nh hn phn no cỏc bn ó hiu c U.C.T cỏc phn tip theo vic xỏc nh h sụ s c trỡnh by mt cỏch s lc bi vỡ nhng bi toỏn ú mang tớnh phc nhiu hn m U.C.T ch n thun l bc m i n li gii ch khụng th a ta cỏch chng minh trc tip Phõn Ki thuõt chuõn hoa v U.C.T Bõy gi chung ta s bc sang mt khong khụng gian mi vi lp bt ng thc thun nht ụi xng ba bin v k thut chun húa kt hp vi U.C.T a thc f (a, b, c) ụi xng nh ngha di dng: f (a, b, c) f / (a / , b / , c / ) ú (a / , b / , c / ) l mt hoỏn v tựy ý ca (a, b, c) Hay núi cỏch khỏc l f (a, b, c) f (b, c, a) f (c, a, b) Tớnh thun nht ca mt a thc ụi xng ba bin trờn D cú ngha l f (ka, kb, kc) k n f (a, b, c) vi mi k , a, b, c D, n const ch ph thuc vo hm f (a, b, c) Hiu mt cỏch n gin a thc thun nht nu nú l tụng ca cỏc n thc ng bc Do mt sụ tớnh cht ca hm thun nht ta cú th chun húa iu kin ca bin n gin húa vic chng minh Ta cú th chun húa mt a thc thun nht ụi xng ba bin bng cỏch t a n b n c n k , abc p, ab bc ca r , õy l k thut rt quan trng giup ta n gin húa v qui bt ng thc v chng minh theo tng bin Hóy cựng n vi mt sụ bt ng thc thun nht ụi xng ba bin thy cụng dng ca U.C.T Bi toỏn [Bt ng thc Nesbit] Cho a, b, c l cỏc sụ thc khụng õm Chng minh rng a b c bc ca a b Chng minh Khụng mt tớnh tụng quỏt chun húa a b c Bi toỏn qui v vic chng minh a b c a 3b 3c Ta cn chng minh bt ng thc a 3(a 1) m(a 1) m(a 1) a 2(3 a) D dng d oỏn m Ta chng minh bt ng thc vi m nh vy thỡ luụn ung a 3a 3(a 1)2 a 4(3 a) iu ny hin nhiờn ung S dng tng t vi cỏc bin cũn li Cng v theo v ta cú iu phi chng minh ng thc xy a b c Nhn xet bt ng thc Nesbit l mt bt ng thc i sụ c bn v cú nhiu phep chng minh Li gii trờn l mt li gii p v ngn gn cho bt ng thc ny Bi toỏn [Vo Quục Bỏ Cn] Cho a, b, c l cỏc sụ thc khụng õm Chng minh rng (b c a) ( a c b) (a b c) 3(a b c ) 2a (b c) 2b (a c) 2c (b a) (a b c) Chng minh Chun húa a b c Khi ú bt ng thc cn chng minh tng ng vi 2(3 2a) 2(3 2b) 2(3 2c) a2 b2 c2 a 2a b 2b c 2c Ta cn xỏc nh h sụ m bt ng thc sau l ung 2(3 2a) a m(a 1) a 2a Ta li cú 2(3 2a) (a 1)(a 3)(a 4a 6) a a 2a a 2a T õy d dng d oỏn vi m thỡ bt ng thc ph trờn l ung Tht vy 2(3 2a)2 (a 1) (6 a)a a 6( a 1) a 2a a 2a iu ny hin nhiờn ung a (0,3) Tng t vi cỏc bin cũn li ng thc xy v ch a b c Bi toỏn [ thi Olympic 30-4, khụi 11, ln XII 2006] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng Chng minh rng a(b c) b(c a ) c ( a b) 2 2 2 (b c) a (c a ) b ( a b) c Chng minh Khụng mt tớnh tụng quỏt, chun húa a b c Ta cú bt ng thc cn chng minh tng ng vi a(3 a) b(3 b) c(3 c) 2 6a 2a 6b 2b 6c 2c Tng t nh trờn ta d dng tỡm bt ng thc ph sau: a(3 a) 21 9a (a 1)2 (18a 9) 6a 2a 25 25(9 6a 2a ) iu ny hin nhiờn ung ng thc xy v ch a b c Nhn xet Cú th thy rng hai li gii cho cỏc bi toỏn m u phn rt n gin v ngn gn õy cng cú th xem l mt k thut chớnh thụng Giup ta gii quyt mt sụ bi toỏn cựng loi v ó rt quen thuc sau Bi toỏn [Darij Grinberg, Old and New Inequalities] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng Chng minh rng a b c 2 (b c) (c a) (a b) 4(a b c) Chng minh Khụng mt tớnh tụng quỏt, gi s a b c Bi toỏn cn chng minh qui v dng sau a b c 2 (3 a) (3 b) (3 c) D dng d oỏn bt ng thc ph sau a 2a (a 1)2 (9 2a) (3 a)2 4(3 a) iu ny hin nhiờn ung a [0,3) S dng bt ng thc ny cho b, c ri cng li, ta cú pcm Bi toỏn 10 [Phm Vn Thun, Mathlinks forum] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng Chng minh rng (b c 3a)2 (a c 3b)2 (a b 3c) 2a (b c)2 2b2 (a c)2 2c (b a)2 Chng minh Khụng mt tớnh tụng quỏt, chun húa a b c Ta cú bt ng thc cn chng minh tng ng vi (3 4a)2 (3 4b)2 (3 4c) 2 2 2 2a (3 a) 2b (3 b) 2c (3 c) S dng bt ng thc ph sau (3 4a)2 8a (a 1) (39 8a) 2a (3 a)2 6(a 2a 3) iu ny hin nhiờn ung vỡ a 39 8a 39 24 15 Tng t vi cỏc bin cũn li ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a b c Bi toỏn 11: [USAMO 2003] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng Chng minh rng (b c 2a)2 (a c 2b)2 (a b 2c) 2a (b c)2 2b2 (a c)2 2c (b a)2 Chng minh Khụng mt tớnh tụng quỏt, chun húa a b c Khi ú ta cú bt ng thc cn chng minh tng ng vi (a 1)2 (b 1)2 (c 1) 2a (1 a)2 2b2 (1 b) 2c (1 c) S dng bt ng thc ph sau (a 1)2 12a (3a 1)2 (4a 1) 2a (1 a)2 2a (1 a) iu ny hin nhiờn ung ng thc xy v ch a b c Phõn U.C.T v k thuõt phõn tỏch cỏc trng hp cỏc phn trờn ta ó lm quen vi mt sụ bi toỏn a v dng f (ai ) m h(ai ) g (ai )2k p(ai ) Thỡ cú iu phi chng minh Tuy nhiờn khụng phi bao gi nú cng xut hin p(ai ) Trong trng hp p(ai ) ch ung vi mt nghim no ú thỡ vic chng minh s phi i qua mt chiu hng khỏc, ú l xet thờm trng hp bin ngoi xỏc nh p(ai ) Thng thỡ bc ny phc v ũi hi ngi lm phi cú nhng ỏnh giỏ mang s tinh t nhiu hn Chung ta s n vi mt sụ bi toỏn tiờu biu cho k thut ny Bi toỏn 12 Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng Chng minh rng a2 b2 c2 2 2 2 a (b c) b (a c) c (b a) Chng minh Khụng mt tớnh tụng quỏt chun húa a b c Qui bt ng thc v dng a2 b2 c2 a2 2 2 2 a (3 a) b (3 b) c (3 c) 5 cyc 2a 6a Ta s dng bt ng thc ph sau a2 12a (8a 21)(a 1)2 2a 6a 25 Khụng mt tớnh tụng quỏt gi s a b c a c Xột hai trng hp sau 21 + Trng hp c 8a 21 8b 21 8c 21 21 + Trng hp max{a, b, c} Khi ú ta cú: a2 49 f (a) 2a 6a 50 a Do f (a) ng bin trờn (0,3] nờn iu ny hin nhiờn ung Vy bi toỏn c chng minh ng thc xy v ch ba bin bng Bi toỏn 13 [Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities Old and New Method] Cho a, b, c, d l cỏc sụ thc dng tha a b c d , Chng minh rng 1 1 16 3a 3b 3c 3d Chng minh Ta cn xỏc nh h sụ bt ng thc sau l ung m(2a 1) 3a D dng tỡm bt ng thc ph sau 52 48a 3(2a 1)2 (12a 1) 3a 49 49(3a 1) Tng t vi cỏc bin cũn li Xet hai trng hp sau õy + Trng hp 1 min{a, b, c, d} 12a 12b 12c 12d 12 + Trng hp 49 48 d 3d 12 48 3d 49 Xet tng t vi cỏc bin cũn li ta tỡm iu phi chng minh ng thc xy v ch a b c d 2 Bi toỏn 14 [Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities Old and New Method] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng tha a b2 c Chng minh rng a5 a b5 b c5 c a b c b5 a c c b a Chng minh Bt ng thc trờn tng ng vi 1 2 2 2 a b c b a c c b a a b c 2 T õy suy ta ch cn chng minh trng hp a b c l p dng bt ng thc AM-GM ta cú 2a 2a a5 2 a a t a x, b y, c z luc ú ta cú x y z v ú ta phi chng minh 1 1 3 2x 2y 2z x3 y3 z x y z x y z 1 2 2x x 2x y y y 2z z 2z x x 2x x 2x cyc ( x 1)2 (2 x 3x cyc 6(2 x x x 3) Khụng mt tớnh tụng quỏt gi s x y z x z Xet hai trng hp + Trng hp y z x ú ta cú x 3x 0, y y 0, z 3z Dn n bi toỏn hin nhiờn ung + Trng hp y z x ú ta cú 10 Phõn Mụt dng biu din thỳ v õy chung tụi muụn núi n dng biu din theo tụng ca õy l mt t tng n gin nhng s giup ta tỡm nhiu li gii n tng Bõy gi ta hóy chu ý n ng thc sau õy a k bk c k ak bk ck k a bk c k a k bk c k a k b k c k a k b k c k ng thc tng chng nh l mt iu hin nhiờn, khụng mang nhiu ý ngha nhng li cú vai trũ khỏ quan trng vic chng minh mt lp bt ng thc m chung tụi s nờu di õy phn ny k thut xỏc nh h sụ khụng cũn cú th thc hin nh trc bi vỡ õy xut hin ly tha p Nu ch s dng nhng bin ụi thụng thng thỡ s phc Vỡ vy cụng c m chung ta chn õy s l o hm Trc ht xin nhc li nh lớ c bn sau õy nh lớ Fermat Gi s hm sụ f ( x) xỏc nh trờn [a, b] v cú cc tr a phng ti x0 [a, b] Khi ú nu f cú o hm ti x0 thỡ f / ( x0 ) nh lớ Roll Gi s f :[a, b] liờn tc v kh vi (a, b) Nu f (a) f (b) thỡ tn ti x0 (a, b) cho f / ( x0 ) Bi toỏn 21 [Vo Quục Bỏ Cn] Tỡm hng sụ k tụt nht bt ng thc sau l ung vi mi sụ a, b, c l cỏc sụ thc dng a b c 2 2 2 k ka (b c) kb (c a) kc (a b) Chng minh Cho a 1, b c ta cú k Ta s chng minh ú l giỏ tr k tụt nht bt ng thc l ung Bt ng thc cn chng minh a b c 2 2 a 2(b c) b 2(c a) kc (a b) Ta s phi xỏc nh h sụ k cho bt ng thc sau l ung a ak k k k a 2(b c)2 a b c õy ta chun húa b c vic vic xỏc nh h sụ c n gin hn Khi ú ta cn xỏc nh h sụ k cho a ak k a k 2a k a a a t f (a) a k 2a k a Li cú f (a) 0, f (1) nờn theo nh lớ Fermat ta cú f / (1) Tin hnh o hm f (a) suy f / (a) (k 2)a k 4ka k 2a Theo trờn thi ta cú f / (1) (k 2) 4k k Nh vy ta s d oỏn bt ng thc sau l ung 19 a a4 a 2(b c)2 a b c Sau ó hon thnh xong bc d oỏn chung ta cú nhiu ng la chn Thụng thng thỡ phep bin ụi tng ng luụn mang li hiu qu nu bt ng thc ph l ung Nờn nh rng bt ng thc ph trờn ch l d oỏn m thụi, cú th nú s khụng ung hoc ngc li Tng bi toỏn ta s tựy c ng bin Tt nhiờn nhiu bi toỏn khụng th ỏp dng theo cỏch ny Chung ta tip tc quay li bi toỏn trờn vi phep chng minh cho bt ng thc ph bc b c t õy ta s phi chng minh Theo bt ng thc Holder ta cú 4 bt ng thc a a 8t 3 a4 a4 t a t a a 8t t ( a t )2 bc Vy bt ng thc ny hin nhiờn ung ng thc xy v ch a b c hoc a t 0, b c v cỏc hoỏn v Nhn xet Quỏ trỡnh tỡm kim h sụ k cú th thụng qua vic ỏnh giỏ theo bt ng thc AM-GM nh sau a ak k a k 2a k a a k a 2a k a a õy t Mt khỏc theo bt ng thc AM-GM thỡ a k a a k Nh vy ta cú cn xỏc nh k cho a k 2a k a k a k k 4k k Bi toỏn 22 [IMO 2001] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng Chng minh rng a b c 2 a 8bc b 8ca c 8ab Chng minh Bng cỏch lm tng t, ta thit lp c bt ng thc sau a a4/3 4/3 4/3 4/3 a 8bc a b c Tht vy, s dng bt ng thc AM-GM, ta cú b4/ c 4/ 2b2/ 3c2/ 2t 4/ , ta cn chng minh a / 2t / a1/ a 8t 4t / (a / t / )2 (ủuựng) Do ú, bt ng thc trờn ung S dng tng t cho b, c ri cng li, ta cú pcm ng thc xy v ch a b c hoc b 0, c 20 Bi toỏn 23 Cho a, b, c l cỏc sụ thc khụng õm Chng minh rng a3 b3 c3 a (b c)3 b (c a ) c ( a b)3 Chng minh Tng t nh trờn ta cú xỏc nh c bt ng thc ph sau: a3 a2 (*) a (b c)3 a b c Cú th chng minh bt ng thc ph trờn theo nhiu cỏch: Cỏch (*) 2a (b2 c ) (b2 c ) a(b c)3 iu ny hin nhiờn ung, tht vy 2a (b c ) (b c ) a (b c) (b c) a (b c)6 a(b c)3 4 Cỏch Theo bt ng thc AM-GM ta cú k (1 k )(1 k k ) p dng bt ng thc ph trờn ta cú a3 a (b c)3 (1 k ) (1 k k ) k2 2 a2 2 2 a b2 c b c b c bc a2 a a p dng tng t vi cỏc bin cũn li Cng v theo v ta cú cú iu phi chng minh ng thc xy v ch bin bng hoc cú bin dn v 1 Bi toỏn 24 Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng Chng minh rng a3 b3 c3 3 3 3 a (b c) b (c a) c (a b) Chng minh S dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú a3 VT 3 cyc a (b c)3 Bt ng thc c chng minh ng thc xy v ch a b c Phõn Giai quyt mụt sụ bi toỏn m iu kin liờn quan mõt thit n a phn cỏc bi toỏn xet n trờn u cú iu kin m cỏc bin liờn h vi ko quỏ cht Thng l iu kin dng a1k a2k ank1 ank n Tc l ta cú th tỏch theo tng bin tỡm bt ng thc ph Tuy nhiờn vi mt sụ bi toỏn m iu kin thit lp k n mụi quan h bn cht i loi nh thỡ vic tỡm bt ng thc ph tng ụi i khú khn vỡ ta khụng th ỏnh giỏ theo tng bin na V ỏp dng U.C.T nhng bi toỏn nh vy chung ta phi dựng n mt sụ tớnh cht ca hm sụ 21 Bi toỏn 25 Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng tha abc Chng minh rng a bc b ca c ab b c c a a b Chng minh p dng bt ng thc Holder ta cú a b c b c a c a b a(b c 1)2 (a b c) bc b c c a a b cyc Do ú ta cn phi chng minh a(b c 1) ( a b c ) bc cyc a b a a3 3 ab a cyc cyc b cyc a cyc cyc cyc b c p dng bt ng thc AM-GM ta cú a b a a b ab, ab, cyc b cyc a cyc b cyc cyc a cyc cyc b c T ú ta cú a b VT VP a ab a cyc b cyc a cyc cyc cyc a3 ab a a 4a a cyc cyc cyc cyc Xet hm sụ f ( x) x3 x 2ln x vi x ta cú x 1 f / ( x) ( x 1) x x x 1 Nu x thỡ , nu x ú f / ( x) x x x x T ú dng kim tra rng f ( x) f (1) 0, x Hay x3 x 2ln x, x x Nh vy ta cú a 4a ln a a cyc cyc Bi toỏn c gii quyt ng thc xy v ch a b c Bi toỏn 26 [Lờ Hu in Khuờ, THPT Quục Hc, Thnh phụ Hu] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng tha abc Chng minh rng 1 2 2 3a (a 1) 3b (b 1) 3c (c 1)2 Chng minh Xet hai trng hp sau 22 + Trng hp Nu ba sụ a, b, c tn ti ớt nht mt sụ khụng ln hn Gi s 3a (a 1)2 Khi ú bt ng thc hin nhiờn ung + Trng hp C ba sụ a, b, c u khụng nh hn ú ta xet hm sụ sau Giụng nh cỏc phn trc ta cú cng s thit lp mt bt ng thc ph dng 1 k ln x 2 3x ( x 1) õy ta cú qui v hm sụ m v chu ý ln x ln y ln z Tip tc quan sỏt thy ng thc xy v ch a b c T ú ta cú phi xỏc nh k cho f / (1) f ( x) ln x 3x ( x 1) 3 Vi x Khi ú ta cú 2(16 x 16 x3 x 1) 2( x 1)(16 x3 1) f / ( x) 3x(4 x x 1)2 3x(4 x x 1) T õy suy f / ( x) x 1, x D dng kim tra c f ( x) f (1) 0, x iu ny tng ng vi 1 ln x, x 2 3x ( x 1) 3 S dng bt ng thc ph trờn theo tng bin a, b, c ri cng v theo v ta cú 1 ln a 2 2 3a (a 1) 3b (b 1) 3c (c 1) cyc Bt ng thc c chng minh ng thc xy v ch a b c , hoc a , b , c v cỏc hoỏn v Nhn xet Bi toỏn trờn cũn mt li gii rt n tng ca Vasile Cirtoaje Xin trỡnh by li li gii ú S dng bt ng thc ph sau õy 1 2a(a 1)2 3a (a 1)2 2a3 (4a 2a 1)(2a3 1) iu ny hin nhiờn ung vi mi sụ thc khụng õm Tng t vi cỏc bin cũn li suy iu phi chng minh sụ ú l a Ta cú a Bi toỏn 27 [Gabriel Dospinescu] Cho a1 , a2 , , an l cỏc sụ thc dng tha a1a2 an Chng minh rng a12 a22 an2 2(a1 a2 an ) Chng minh Xet hm sụ sau vi x f ( x) x x ln x Khi ú ta cú 23 ( x 1) x x x 2( x 1) f / ( x) x f / ( x) 2 x 2( x 1)( x x 1) Qua thỡ f / ( x) ụi du t dng sang õm nờn f / ( x) f (1) 0, x iu ú cú ngha l x2 x ln x, x S dng bt ng thc ph ny cho n bin v cng v theo v ta cú a12 a22 an2 2(a1 a2 an ) (ln a1 ln a2 ln an ) n 2(a1 a2 an ) ln i 2(a1 a2 an ) Vy bt ng thc c chng minh ng thc xy v ch a1 an Nhn xet Bi toỏn trờn cũn cú th gii quyt bng mt bt ng thc ph quen thuc x2 2( x x 1) ( x 1)4 , x S dng bt ng thc trờn ln lt cho n bin cng li ta cú n a12 a22 an2 2(a1 a2 an ) n i 2(a1 a2 an ) Bt ng thc ó c gii quyt hon ton Bi toỏn 28 [Algebraic Inequalities Old and New Method] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng tha abc Chng minh rng a b2 c 9(ab bc ca) 10(a b c) Chng minh Ta cú cn xỏc nh h sụ k cho bt ng thc sau l ung a 9bc a 10a k ln a a Tng t cỏc phn trc ta cú tỡm k 17 Ta cú s chng minh f (a) a 10a 17 ln a a Tht vy 17 2a3 10a 17a (a 1)(2a 8a 9) f / (a) 2a 10 a a a2 a2 f / (a ) a T õy, ta cú th d dng thy c f (a) f (1) 0, a hay a 10a 17 ln a a S dng tng t vi b, c ri cng li v theo v, ta cú pcm ng thc xy v ch a b c 24 Phõn U.C.T m rụng Ngay t u bi vit ta ó xet n vic xỏc nh h sụ m theo cỏch h(ai ) f (ai ) ma k n Vi iu kin xỏc nh ca bi toỏn l a1k a2k ank n Tuy nhiờn vi cỏch xỏc nh ú ụi vi mt sụ bi toỏn li khụng mang li hiu qu iu ú cng khụng phi hon ton l khụng tụt Vỡ nú s thụi thuc chung ta tỡm cỏc dng xỏc nh h sụ khỏc Mt cỏch trc quan chung ta s phõn tớch mt bi toỏn c th thy c nhng gỡ ó c nờu trờn Bi toỏn 29 [Tp Crux, Canada] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng tha a b c Chng minh rng 1 ab bc ac Chc hn t u i vo chng minh bi toỏn ny bn s ngh n vic thit lp mt bt ng thc ph dng 8 mx n m( x 1) x x D dng d oỏn m Nhng rt ỏng tic vi m nh vy thỡ bt ng thc trờn hon ton khụng ung k c t tng chia trng hp nh phn cng khụng th ỏp dng c Tht vy x ( x 1) x 8(9 x) Tuy nhiờn U.C.T cú tỏc dng trng hp ny nhng bng mt ý tng mi m hn Hóy chu ý n cỏch thit lp bt ng thc ph sau m( x 1) n( x 1) (*) x Vic xỏc nh h sụ bt ng thc trờn ũi hi s cht ch lp lun vỡ ụi ni lng nghim ca bin s khin cho bi toỏn khụng ung Cú nhiu h sụ tha to thnh i lng bỡnh phng ( x 1) nhng ta phi xỏc nh cho du ca bt ng thc l ung Ta cú (*) ( x 1) m( x 1) n (**) x T phõn tớch trờn ro rng ta phi xỏc nh n theo m cho xut hin nghim x hỡnh thnh i lng ( x 1) , tc l 1 m( x 1) n 0n m( x 1) n 2m x x T õy th vo (**) ta cú 1 (**) ( x 1) m( x 1) 2m x ( x 1)2 (72m 8mx 1) D thy rng vic xỏc nh h sụ õy khụng cũn n gin nh trc Nú ũi hi ta phi tỡm nhng c lng cht ch bt ng thc khụng ụi chiu Ta hóy chu ý n iu kin ca bi toỏn tỡm c lng tụt nht Chu ý rng max{ab, bc, ca} 25 max{ab, bc, ca} Tuy nhiờn ụi vi bi toỏn ny thỡ ch cn s dng iu kin yu hn m thụi u tiờn a mt sụ nhn xet sau: u tiờn ta cn xỏc nh h sụ m bt ng thc trờn ung vi x [0,3) Ta thy trng hp m s nhn c mt bt ng thc ngc chiu nu cho x , tt nhiờn õy l iu ta m khụng mong muụn Vy cú th d oỏn m , ú 72m 8mx 72m 24 48m 1 1 Ta cn cú 48m m Vy nờn ta s d oỏn m n 48 48 12 Cụng vic d oỏn ó hon tt Bõy gi ta s th chng minh xem nú cú ung tht khụng V tht vy ta cú bt ng thc ph sau x x 43 ( x 1) (3 x) x 48 48(9 x) iu ny hin nhiờn ung p dng bt ng thc ph trờn vi cỏc bin ab, bc, ca ta cú 1 1 43 (a 2b2 b2c c 2a 4ab 4bc 4ca) ab bc ac 48 16 Ta cn phi chng minh bt ng thc sau a 2b2 b2c c a 4ab 4bc 4ca 15 t k ab bc ca , ỏp dng bt ng thc AM-GM v bt ng thc Schur ta cú 4x - k 3, abc max 0, Ta xet hai trng hp sau + Trng hp Nu x thỡ a 2b b c c a 4ab 4bc 4ca (ab bc ca ) 4(ab bc ca) 6abc nhiờn ú cha phi l ỏnh giỏ tụt nht vỡ ta cũn cú th lm cht hn na l k 4k 6abc 81 225 15 16 16 + Trng hp Nu x thỡ a 2b2 b2c c a 4ab 4bc 4ca (ab bc ca)2 4(ab bc ca) 6abc k 4k 6abc k 4k 2(4k 9) (k 1)(k 3) 15 15 Bt ng thc c chng minh ng thc xy v ch a b c Qua quỏ trỡnh nhn xet v phõn tớch trờn hi vng rng cỏc bn ó hiu c cỏch tỡm h sụ cỏc bi toỏn sau nu khụng tht s cn thit, vic thit lp bt ng thc ph s a mt cỏch khỏi quỏt hn Chung ta hóy n vi bi toỏn sau Bi toỏn 30 [Moldova TST 2005] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng tha a b c Chng minh rng 1 ab bc ca Chng minh Vi x , ta luụn cú 26 x x 12 ( x 1)2 (3 x) x 15 15(4 x) 3 nờn ta cú 2 3 2(a 2b2 b2c c a ) ab bc ca 36 ab bc ca 15 p dng bt ng thc AM-GM v Cauchy-Schawrz ta cú a 2b b c c a a b c Li cú max{ab, bc, ca} ab bc ca 3(a 2b b 2c c a ) Cng cỏc cỏc bt ng thc ph trờn v theo v ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a b c Nhn xet õy l mt bi toỏn khụng khú v cú nhiu cỏch tip cn khỏc 1 p dng bt ng thc quen thuc sau v bt ng thc AM-GM x y x y Ta cú 1 , a, b [0, 2] 2 2 4a b a b 2ab ab Qui bi toỏn v chng minh 1 2 a b c2 S dng bt ng thc ph sau a 15 a2 18 Ngoi ta cũn cú mt cỏch khỏ trc quan v d thc hin ú l qui ng v s dng bt ng thc Schur Bi toỏn 31 [Phm Kim Hựng] Cho a, b, c, d l cỏc sụ thc dng tha a b c d Chng minh rng 1 1 abc bcd cda dab Chng minh õy l mt bi toỏn khú vỡ vy vic thit lp h sụ phi cn nhng ỏnh giỏ cht ch v suy lun hp lớ Chung ta hóy cựng phõn tớch ng i n li gii ca bi toỏn ny Ta s xỏc nh h sụ m, n cho m( x 1) n( x 1), x0 x 3 Nh ó phõn tớch trờn ta tỡm n 2m , ú bt ng thc cn chng minh tng ng vi ( x 1)2 (6m 2mx) D dng kt lun m ú 16 6m 2mx 6m m 3 Ta cn cú 27 16 m0m 16 3 3 5 Do nờn ta ch cn cú m 16 14 5 T õy ta s chn m n t ú ta cú bt ng thc ph sau 14 14 x 3x 12 ( x 1)2 (8 x) x 14 14(3 x) 8 iu ny hin nhiờn ung vi x0 3 6m S dng bt ng thc ph trờn v chu ý l max{abc, bcd , cda, dab} 3 suy ta cn chng minh 5(a 2b2c b2c d c d a d a 2b2 ) 3(abc bcd cda dab) Cú th chng minh bt ng thc trờn bng nhiu cỏch Sau õy xin trỡnh by mt cỏch da vo k thut hm li a b2 c d t t ,k , x ab, y cd ú, ta cú t x, k y Bt ng thc 2 cn chng minh tng ng vi f ( x) 10 x k 10 y 2t 3x y 2k y x 2t Ta cú f // ( x) 20k 3y (2 x 2t )3 Suy f ( x) l hm li, ú f ( x) max{ f (t ), f (0)} Ta cú f (0) yt yt yt 3 f (t ) 10 y 2t yt 10k 2t 3t y 2k g ( y ) Tng t nh trờn ta cng cú g ( y ) l hm li nờn g ( y ) max{g (k ), g (0)} Ta cng cú g (0) kt 5kt kt 3 k t2 g (t ) 4(kt 1)(5kt 1) kt Vy bt ng thc c chng minh xong Ngay t ban u chung tụi ó núi õy l mt bt ng thc khụng d v ũi hi nhng ỏnh giỏ cht ch U.C.T õy úng vai trũ l mt bn p quan trng i n li gii 28 Bi toỏn 32 [Vo Quục Bỏ Cn] Cho cỏc sụ thc a, b, c, d tha a b2 c d , chng minh bt ng thc 1 1 16 ab bc cd da Chng minh Tng t cỏc bi toỏn trc, ta thit lp c bt ng thc sau vi mi x 32 x 10 x T õy, ta suy c 1 1 32 40 ( a 2b b c c d d a ) ab bc cd da 9 32 40 (a c )(b d ) 9 40 16 (a b c d )2 9 T õy, ta cú pcm ng thc xy v ch a b c d Nhn xet Bi toỏn ny c t lm mnh bi toỏn sau ca Phm Vn Thun 1 1 1 ab bc cd da ac bd vi cựng gi thit nh trờn Li gii ca tỏc gi cho bi toỏn ny rt di v phc tp, dựng U.C.T m rng ta li cú c mt li gii rt ngn gn v n gin! Ngoi ra, chung ta cũn cú mt cỏch lm mnh khỏc cho bi toỏn ca Phm Vn Thun, ta cú 1 1 1 2 2 2 ab bc cd d a ac bd Bi toỏn ny ó c bn ZhaoBin, mt sinh viờn ngi Trung Quục a mt li gii rt p bng cỏch s dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, õy, chung tụi xin c gii thiu mt li gii khỏc theo t tng U.C.T S dng bt ng thc bi, ta ch cn chng minh (a b)4 (a c)4 (a d ) (b c) (b d ) (c d ) Tht vy, ta cú (a b)4 2(a b4 6a 2b2 ) (a b) 2(a b4 6a 2b2 ) Tng t vi cỏc sụ hng cũn li, ta suy c VT 6(a b2 c d )2 Bt ng thc c chng minh xong Tht t nhiờn, cõu hi sau c t ra, liu bt ng thc sau cú ung? 1 1 16 2 2 ab bc cd d a Tht ỏng tic l bt ng thc trờn li khụng ung! Cỏc bn ch cn cho a b 0.4, v c d 0.84 29 Bi toỏn 33 [Vasile Cirtoaje] Cho cỏc sụ khụng õm a, b, c, d cú tụng bng 4, chng minh bt ng thc sau 1 1 abc bcd cda dab Chng minh Ta cú th thit lp c bt ng thc sau vi mi x 48 x x 10 x Do ú +, Nu max{abc, bcd , cda, dab} thỡ s dng bt ng thc trờn, ta cn chng minh a 2b2c b2c d c d a d a 2b2 abc bcd cda dab Bt ng thc ny cú th d dng chng minh bng dn bin hoc dựng hm li +, Nu max{abc, bcd , cda, dab} , khụng mt tớnh tụng quỏt, gi s abc , ú, chu ý rng vi mi x, y 0, x y 5, ta cú 1 1 xy(10 x y) 5 x y x y 5(5 x)(5 y)(5 x y) Suy 1 1 x y x y V ú, vi mi x, y, z 0, x y z ta cú 1 1 x y z x y z 2 Chu ý rng (a b c abc) v abc nờn bcd cda dab , ú cyc 1 1 bcd cda dab d (ab bc ca) Ta cn chng minh 1 abc d (ab bc ca) t x d , abc nờn x a b c 3 abc 3 , theo bt ng thc AMGM thỡ abc x , ab bc ca x 27 Do ú, ta ch cn chng minh 1 x x (4 x) 27 Hay f ( x) x x5 80 x3 360 x 675 Ta cú f / ( x) x ( x 4) x3 ( x 12) 48 x(15 x) Suy f ( x) l hm nghch bin, ú f ( x) f (3 2) 27(48 77) T õy, ta cú pcm ng thc xy v ch a b c d 30 Phõn Li kt Sau mt quỏ trỡnh tỡm hiu v phõn tớch c th cỏc bi toỏn, chc hn rng cỏc bn cng ó phn no cm nhn c net p ca U.C.T dự rng thc õy l mt k thut cc kỡ n gin v d hiu Chung tụi khụng xem U.C.T l mt phng phỏp chớnh thụng m n gin nú l mt k thut cn bit v cn nm vng bn hc bt ng thc Nhiu ngi quan nim rng U.C.T khụng cú ý ngha gỡ nhng theo bn thõn chung tụi nú nờn c khỏi quỏt s dng mt sụ trng hp U.C.T l mt bc m quan trng v ụi mang nhiu ý ngha trờn ng i tỡm li gii cho bi toỏn Mt k thut hay khụng nht thit nú l nú gii c tt c cỏc dng toỏn m l nú phi a ta n nhng ý tng, ng i sỏng sa, d ngh, d nhn thy bng mt trc quan Trong chuyờn ny nhiu bi toỏn hỡnh thc cng knh nh USAMO 2003, JMO 1997, u l nhng bi toỏn khụng h khú, nhng nu khụng chn ung hng lm thỡ s dn n nhng li gii ch chp nhn ung v mt toỏn hc ú l nhng bi toỏn c bn i din cho U.C.T kt hp vi k thut chun húa Tuy nhiờn ú cha phi l im dng phn tip theo, xut hin nhiu bi toỏn mang m bn sc hn tc l nu ch s dng mụi U.C.T thỡ s khụng i ớch Cỏch khc phc nht l phõn chia trng hp gii quyt õy cng chớnh l c s tỡm cỏc khong nghim cn xet ca bin Vic ỏnh giỏ õy ũi hi ngi lm s tinh t v kheo leo hn cỏc phn trc Tuy nhiờn nu bn cú nim tin mi chuyn u cú th c gii quyt Sau ó nm tay nhng kin thc nht nh v k thut chỳng ta bc qua mt khong khụng gian phc hn ú l dựng U.C.T gii quyt nhng bi toỏn m im cc tr t c ti chụ Bao gm trng hp ú l tt c cỏc bin bng v trng hp cú (n 1) bin bng nhng khỏc bin cũn li õy ta chu ý n bt ng thc Vornicu Schur khc phc nhc im ca U.C.T c bn Phn k thut phõn tỏch theo tụng ca cng l mt dng rt p ca k thut ny, mt sụ bi toỏn tiờu biu cho dng phõn tỏch ny l IMO 2001 v mt sụ bi toỏn ó nờu trờn Dự U.C.T õy dựng theo mt t tng khỏc vi cỏc phn trc Nh cỏc bn ó bit U.C.T thụng thng c bit n vi cỏc bi toỏn m bin sụ c lp khụng liờn quan n Tuy nhiờn nu ch xet vi lp bi toỏn nh vy thỡ cha lt t ht net p ca k thut n gin ny Ta cú th s dng U.C.T tỡm nhng bt ng thc ph vi iu kin liờn quan mt thit vi Tc l khụng th tỏch theo n lng tng bin gii quyt U.C.T õy ũi hi bn phi cú nhng kin thc c bn ca hm sụ tỡm cỏc c lng chinh xỏc Cuụi cựng chung ta s ó i n mt sụ bi toỏn khú m theo nhiu ngi quan nim l khụng th gii quyt bng U.C.T, iu ny l mt im yu ca k thut ny Khi vic thit lp h sụ c tht cht hn thỡ mi chuyn s khỏc Nh cỏc bn ó thy trờn U.C.T m rng mang nhng c im phc hn nhng hiu qu mang li thỡ qu l bt ng Mt sụ bi toỏn rt khú ó c a v dng n gin hn gii quyt theo mt sụ phng phỏp ó bit ú l mt net mi khỏ c ỏo ca k thut ny Tuy nhiờn chc hn ú cha phi l U.C.T cht nht Cũn rt nhiu iu na k thut ny ch cỏc bn khỏm phỏ Chung tụi xin kt thuc bi vit ny ti õy Hi vng rng vi nhng dũng tõm s cựng cỏc bn v bt ng thc ó phn no gi m cho cỏc bn mt cỏi gỡ ú giup cỏc bn tỡm thờm nhng ý tng sỏng to mi, nhng hiu bit mi V hóy luụn quan nim rng ng sau li gii cho mụi bi toỏn l c mt quỏ trỡnh d oỏn, th, sai v ung Hn gp li cỏc bn mt ngy khụng xa 31 Phõn 10 Bi tõp ỏp dng Bi toỏn [Din n toỏn hc] Cho a, b, c, d , e l cỏc sụ thc khụng õm tha a3 b3 c3 d e3 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc a2 b2 c2 d2 e2 a3 b3 c3 d e3 Bi toỏn [Vasile Cirtoaje, Crux Mathematicorum, Problem 3032] Cho a, b, c l cỏc sụ thc khụng õm tha a b c Chng minh rng 1 ab bc ca Bi toỏn [Mathematical Excalibur, Vol 9, Num 1, 8/2004] Cho a, b, c, d l cỏc sụ thc dng tha a b c d Chng minh rng 6(a b c d ) (a b c d ) Bi toỏn [Mihai Piticari, Dan Popescu, Old and New Inequalities] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng nh tha a b c Chng minh rng 6(a b c ) 5(a b c ) Bi toỏn [Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu, Old and New Inequalities] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng nh tha a b c Chng minh rng 1 27 2 a b c 10 Bi toỏn [Andrian Zahariuc, Old and New Inequalities] Cho a, b, c (1, 2) Chng minh rng b a c b a c 4b c c a 4c a a b 4a b b c Bi toỏn [V ỡnh Quý] Cho a, b, c l cỏc sụ thc dng tha abc Chng minh rng 1 a a b b c c Bi toỏn [Vasile Cirtoaje] Cho a, b, c, d l cỏc sụ thc dng tha abcd Chng minh rng a b c d a b2 c d Bi toỏn [Vasile Cirtoaje, GM-B,11,1999] Cho a, b, c, d l cỏc sụ thc dng tha abcd Chng minh rng 32 1 1 3 a a a b b b c c c d d d Bi toỏn 10 [China TST 2004] Cho a, b, c, d l cỏc sụ thc dng tha abcd Chng minh rng 1 1 2 (1 a) (1 b) (1 c) (1 d )2 Bi toỏn 11 [Arkady Alt, Crux mathematicorum] Chng minh rng vi mi a, b, c ta cú a b c a 2/ b2/ c 2/ 3 ab bc ca Complete Vo Quục Bỏ Cn Nguyn Thuc V Hong Trong bi vit cú s dng nhiu bi toỏn trớch dn t Algebraic Inequalites Old and New Method ca tỏc gi Vasile Cirtoaje Sỏng to Bt ng thc ca tỏc gi Phm Kim Hựng Old and New Inequalities ca cỏc tỏc gi Titu Andreescu, Vasile Cirtoaje, G Dospinescu, M Lascu 33 [...]... rộng Ngay từ đầu bài viết ta đã xét đến việc xác định hệ số m theo cách h(ai )  f (ai )  ma k  n Với điều kiện xác định của bài toán là a1k  a2k   ank  n Tuy nhiên với cách xác định đó đối với một số bài toán lại không mang lại hiểu quả Điều đó cũng không phải hoàn toàn là không tốt Vì nó sẽ thôi thúc chúng ta tìm ra các dạng xác định hệ số khác Một cách trực quan chúng ta sẽ phân...   a  bk  c k a k  bk  c k a k  b k  c k a k  b k  c k Đẳng thức tưởng chừng như là một điều hiển nhiên, không mang nhiều ý nghĩa nhưng lại có vai trò khá quan trọng trong việc chứng minh một lớp bất đẳng thức mà chúng tôi sẽ nêu ra dưới đây Ở phần này kỹ thuật xác định hệ số không còn có thể thực hiện như trước bởi vì ở đây xuất hiện lũy thừa p Nếu chỉ sử dụng những biến đổi thông thường... đúng Bất đẳng thức cần chứng minh a b c   1 2 2 2 2 2 a  2(b  c) b  2(c  a) kc  (a  b) 2 Ta sẽ phải xác định hệ số k sao cho bất đẳng thức sau là đúng a ak  k k k a 2  2(b  c)2 a  b  c Ở đây ta chuẩn hóa b  c  1 để việc việc xác định hệ số được đơn giản hơn Khi đó ta cần xác định hệ số k sao cho a ak  k  a k  2  2a 2 k  a 2  0 2 a 8 a  2 Đặt f (a)  a k  2  2a 2 k  a 2 Lại... với kỹ thuật dồn biến bằng hàm lồi + Ttrường hợp 2 c   Phần 5 Kết hợp bất đẳng thức Vornicu Schur với U.C.T Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu đến các bạn việc kết hợp U.C.T với bất đẳng thức Vornicu Schur Có thể nói rằng khi ta kết hợp nhuần nhuyễn hai kỹ thuật trên thì sẽ nhận được những lời giải khá ấn tượng và đẹp mắt Trước hết hãy cùng đến với dạng phát biểu, các định lí cũng như kỹ thuật. .. quan mật thiết với nhau Tức là không thế tách theo đơn lượng từng biến để giải quyết U.C.T ở đây đòi hỏi bạn phải có những kiến thức cơ bản của hàm số để tìm ra các ước lượng chinh xác Cuối cùng chúng ta sẽ đã đi đến một số bài toán khó mà theo nhiều người quan niệm là không thể giải quyết bằng U.C.T, điều này là một điểm yếu của kỹ thuật này Khi việc thiết lập hệ số được thắt chặt hơn thì mọi... khá lẻ, nhiều khả năng sẽ dẫn đến những tính toán lằng nhằng không cần thiết Tuy nhiên cần chú ý một điều là đẳng thức của bài toán này xảy ra tại hai điểm cực trị vì vậy không thể áp dụng mỗi U.C.T vì dạng phát biểu của kỹ thuật này sẽ cho ta duy nhất một điểm cực trị cần tìm Như vậy việc kết hợp giữa U.C.T và bất đẳng thức Vornicu Schur không đơn thuần là giải quyết bài toán một cách đẹp mắt mà... trong lập luận vì đôi khi nới lỏng miền nghiệm của biến sẽ khiến cho bài toán không đúng Có nhiều hệ số thỏa mãn để tạo thành đại lượng bình phương ( x  1) 2 nhưng ta phải xác định sao cho dấu của bất đẳng thức là đúng Ta có 1   (*)  0  ( x  1)  m( x  1)  n   (**) 9 x   Từ phân tích trên rõ ràng ta phải xác định n theo m sao cho xuất hiện nghiệm x  1 để hình thành đại lượng ( x ... 8 Từ đây thế vào (**) ta có 1 1   (**)  0  ( x  1)  m( x  1)  2m    8 9 x    0  ( x  1)2 (72m  8mx  1) Dễ thấy rằng việc xác định hệ số ở đây không còn đơn giản như trước Nó đòi hỏi ta phải tìm ra những ước lượng chặt chẽ để bất đẳng thức không đổi chiều Ta hãy chú ý đến điều kiện của bài toán để tìm ra ước lượng “tốt nhất” Chú ý rằng 3  max{ab, bc, ca}  0 25 9  4 max{ab,... hẳn rằng các bạn cũng đã phần nào cảm nhận được nét đẹp của U.C.T dù rằng thực ra đây là một kĩ thuật cực kì đơn giản và dễ hiểu Chúng tôi không xem U.C.T là một phương pháp chính thống mà đơn giản nó là một kĩ thuật cần biết và cần nắm vững khi bạn học bất đẳng thức Nhiều người quan niệm rằng U.C.T không có ý nghĩa gì nhưng theo bản thân chúng tôi nó nên được khái quát để sử dụng trong một số... nghĩa trên con đường đi tìm lời giải cho bài toán Một kĩ thuật hay không nhất thiết nó là nó giải được tất cả các dạng toán mà là nó phải đưa ta đến những ý tưởng, đường đi sáng sủa, dễ nghĩ, dễ nhận thấy bằng mặt trực quan Trong chuyên đề này nhiều bài toán hình thức cồng kềnh như USAMO 2003, JMO 1997, đều là những bài toán không hề khó, nhưng nếu không chọn đúng hướng làm thì sẽ dẫn đến những lời ... kỹ thuật phân tích giúp tìm bất đẳng thức phụ mở rộng vấn đề theo chiều hướng mẻ Kỹ thuật có tên U.C.T, viết tắt chữ đầu cụm từ tiếng Anh Undefined Coefficient Technique Hay gọi Kỹ Thuật Hệ. .. thức tưởng chừng điều hiển nhiên, không mang nhiều ý nghĩa lại có vai trò quan trọng việc chứng minh lớp bất đẳng thức mà chúng nêu Ở phần kỹ thuật xác định hệ số không thực trước xuất lũy thừa...  b) Ta phải xác định hệ số k cho bất đẳng thức sau đúng a ak  k k k a  2(b  c)2 a  b  c Ở ta chuẩn hóa b  c  để việc việc xác định hệ số đơn giản Khi ta cần xác định hệ số k cho a