Tài liệu bồi dỡng HSG lớp GV: Phan Doãn Cờng Trờng THCS Đồng Thành YT - NA Buổi : I> P chứng minh đẳng thức : A = B P2 : Biến đổi trực tiếp : B đổi vế vế : A = A1=A2=.=B : So sánh : A=A1=A2==C ; B=B1=B2=.=C ; =>A =B :Dùng định nghĩa : A-B=0 :Biến đổi tơng đơng : A=B A1=B1 A2=B2 . An=Bn =>A=B :sử dụng giả thiết để biến đổi ( Sd đẳng thức ) :P2 quy nạp toán học :Sử dụng biểu thức phụ II> P2 chứng minh đẳng thức : A > B 1.Dùng định nghĩa : A>B A B > Biến đổi trực tiếp : A=A1=A2=.=B + m2 > B ( m 0) Sử dụng giả thiết đẳng thức chứng minh So sánh : A>A1>A2>.>C ; B C ; C > B => A>B Biến đổi tơng đơng : A>B A1>B1 A2>B2 . An>Bn =>A>B P2 quy nạp toán học P2 phản chứng : gỉa sử A B phép biến đổi tơng đơng vô lý => A>B 9.Sử dụng BĐT Cô Si : Với a,b => a + b ab Dấu = xẩy a=b 10 BĐT Bunhiacỗpki : Cho cặp số ( a;b ) ( x; y ) ( ã + by )2 ( a2 + b2 )( x2 + y2 ) Dấu = xẩy a b = với x; y x y 11 a + b a + b Dấu = xẩy ab a b a b Dấu = xẩy a b a b 12 Sử dụng BĐT tam giác : a+b >c > a-b 13 (a-b)2 a2 +b2 2ab 14 1 + Dấu = xẩy a=b a b a+b a b b a 15 + (a ; b > 0) Tài liệu bồi dỡng HSG lớp GV: Phan Doãn Cờng Trờng THCS Đồng Thành YT - NA Bài tập đẳng thức B1: Cho a + b + c = CMR a a3 + b3 + c3 = 3abc b a3 + a2c abc + b2c + b3 = c ( ab + bc + ac )2 = a2b2 + b2c2 + a2c2 d a + b4 + c4 =2( ab + bc + ac )2 Với a2 + b2 + c2 =1 f a + b4 + c4 = ( a2 + b2 + c2 )2 e a + b4 + c4 = B2: Cho a + b + c + d =0 CMR a3 + b3 + c3 + d3 = 3( b + c )( ad bc ) B3 :CMR a + b4 + c4 + d4 = 4abcd a,b,c,d > Thì a = b = c = d B4 : a > CMR a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac Thì a = b= c b > Cho ( a + b + c )2 = 3( ab + bc + ac ) CMR a = b= c B5 : Cho số a,b,c Thoả mãn : a + b + c = ; 1 + + =0 a b c CM a2 + b2 + c2 =1 B6 : CMR a = b +1 Thì ( a + b)( a2 + b2 )( a4 + b4 ) = a8 b8 B7 :Cho a,b,c x,y,z Thoả mãn a b c x y z + + = + + = CMR x y z a b c x y z + + =1 a b c B8 : Cho x,y,z > CM ( x2 + 1)( y2 + 2)( z2 + 8) = 32xyz a b B9 : Cho số a,b,c Thoả mãn : a + b + c = + + abc = CM số a,b,c có c số = B10 : a> Tìm a,b biết a+b = ab = a ( b 0) b b>Tìm a,b,c Biết ab = ; bc = ; ac = 54 B11: a> Cho số a,b,c T/mãn a + b + c = 2008 1 1 + + = số phảI có số = a b c 2008 2008 b> Cho số a,b,c T/mãn a + b + c = 2009 1 1 + + = số phảI có số = a b c 2009 2009 c> Cho số a,b,c T/mãn a + b + c = n 1 1 + + = số phảI có số = n a b c n Tài liệu bồi dỡng HSG lớp GV: Phan Doãn Cờng Trờng THCS Đồng Thành YT - NA Buổi + tâp bất đẳng thức Bài 1: a> Cho : a + b =2 CMR a + b2 b> Cho : a + b + c + d = CMR a2 + b2 + c2 + d2 a+b a+b+c ữ 2 Bài : CMR : a> a2 + b2 : b> a + b + c ữ 2 Bài : Cho a,b R , thoả mãn : a + b CMR : a + b Bài : Cho a,b,c R ; CMR : a + b2 + c2 ab ac + 2bc Bài : Cho a,b,c R abc = ; a3 > 36 CMR: a2/3 + b2 + c2 > ab + ac + bc Bài : CMR với a,b,c R ta có : a4 + b4 + c2 + 2a(ab2 a +c +1) Bài : Cho a + 2b + 3c 14 CMR : a2 + b2 + c2 14 a b c a b c + + + + b c a c a b Bài : a> CMR : a2 + b2 + c2 ab + ac + bc bc ac ab b>Cho a,b,c > CMR ; + + a + b + c a b c c> Cho abc = CMR : a4 + b4 +c4 a + b + c Bài : CMR Bài 10 : Cho a,b,c > CMR: ( a2 + b2 )c + (b2+ c2)a + (a2+c2 )b 6abc Bài 12 : Cho a,b R ; CMR : ( a + b ) 2( a2 + b2) Bài 13 : Cho a,b R ; CMR : a3 + b3 + ab Bài 14 : a> Cho a,b > CMR : a3 + b3 ab( a +b ) b> Cho a,b,c R ; CMR : a2 + b2 + c2 a( b + c) Bài 15 : Cho a,b,c,d > CMR : (a + b)(c + d ) ac + bd a+b a+b ) Bài 16 : Cho a,b,c R ; CMR : ab ( 2 Bài 17 : Cho a + b + c =1 CMR : a2 + b2 + c2 Bài 18 : Cho a,b,c a + b + c =1 CMR : b + c 16abc Bài 19 : Cho a,b R a + b CMR : a2 + b2 a b c + + Bài 20 : CMR a,b,c > < CMR : a4 + b4 > b c a Bài 21 : CMR số dơng a,b,c thoả mãn BĐT : a + < 2; b + < 2; c + < Tài liệu bồi dỡng HSG lớp GV: Phan Doãn Cờng Trờng THCS Đồng Thành YT - NA Bài 22 : Cho a,b,c R abc > thoả mãn : a2 + b2 + c2 = 1 1 C/m: + < a b c abc Bài 23 : Cho a,b > a + b = CMR : + ữ1 + ữ a b Dùng BĐT Cô Si để C/m Các BĐT sau : Bài 24 : Cho a,b,c CMR : ( a + b)( b + c )( a + c ) 8abc Bài 25 : Cho số a,b CMR : a2 + b2 + ab + a + b 2 2 b> Cho a,b,c,d CMR : a + b + c + d + a + b + c + d 1 Bài 27 : Cho a,b,c > CMR : ( a + b + c ) + + ữ a b c Bài 28 : a > Cho a>b> C/M : a + b( a b) Bài 26 : a> Cho số a,b CMR : a2 + b2 a + b - b> Cho a,b > C/m : a + 3 b 5 ab c> Cho a,b,c > a+ b+c = C/m : + ữ1 + ữ1 + ữ 64 a a b c + + d> Cho a,b,c > C/m: b+c a +c a +b a b c + + Bài 29 :Cho a,b,c > C/m: b+c a+c a+b Bài 30 : Cho a,b C/m : a b + b a ab 1 Bài 31 : a> Cho a , b > CMR : + a b a+b + b> Cho a,b > a+b= C/m: ab a + b c> Cho a,b > a+b= C/m: b c 1 + ab a + b 1 + + a + 2b + 3c 2a + 3b + c 3a + b + 2c 16 a+c b+d a+c b+d + + + e> Cho a,b,c,d > CMR : a+b b+c d +c a+d 1 1 f> Cho a,b,c,d > a+b+c+d=1 CMR : + + + 16 a b c d d> Cho a,b,c > T/m abc = ab + bc + ac C/m: g> Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác ,P chu vi 1 1 1 + + + + ữ P a P b Pc a b c 1 1 + + Bài 32 : Cho a,b,c R T/m abc=1 C/m: a + 2b + b + 2c + c + 2a + Bài 33 : Cho a,b,c >0 T/m: a+b+c=1 C/m: a + b + b + c + a + c (Bu-nhi-a-cốp-xki ) CMR : GV: Phan Doãn Cờng Trờng THCS Đồng Thành YT - NA Tài liệu bồi dỡng HSG lớp áp dụng BĐT tam giác Bài 34 :Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác C/m: a) ab + bc + ac a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b) ( a + b c )( b + c a )( a + c b ) abc c) Thì a ; b ; c độ dài cạnh tam giác 1 1 1 + + + + a +b c b +c a a +c b a b c a b c + + e) b+c a +c a +b d) f) a3 + b3 + c3 + 3abc > ab(a+b) + bc( b+ c) + ac( a+ c) g) a b c + + b+ca a +cb a +bc h) Thì 1 ; ; độ dài cạnh tam giác a+b a+c b+c i) a2 + b2 + c2 + 2abc < Với a + b + c =2 Buổi : tìm GTLN ; GTNN biểu thức Bài : Cho x + y = Tìm a> GTNN : A = x2 + y2 ; B = 9x2 +4 y2 ; C = 8x2 +5 y2 b> GTNN : P = x3 + y3 + xy c> GTLN : Q = x3 + y3 + 4x2y + 4xy2 Bài : Cho x,y > ; x + y = Tìm GTNN A = ữ1 ữ ; B = + ữ1 + ữ ; C = + ữ+ + ữ x y x y x y 1 Bài : a.> Cho x, y > ; x + y = Tìm GTNN : A = + x y Tài liệu bồi dỡng HSG lớp GV: Phan Doãn Cờng Trờng THCS Đồng Thành YT - NA b> Cho x, y > ; x + y = 10 Tìm GTNN : A = 1 + x y x 501 + d> Cho x,y > ; thoả mãn x+y Tìm GTNN A= x + y xy e> Cho x > Tìm GTNN A = 2x + x c> Cho x,y > ; thoả mãn x+y Tìm GTNN A= 3x+2y + + y Bài : a> Cho x, y thoả mãn : x + 2y = Tìm GTNN A = x2 + 2y2 b> Cho x,y thoả mãn : x + 2y = Tìm GTLN A = xy c> Cho x,y thoả mãn : x + y = Tìm GTLN A = x + y d> Cho x, y T/mãn : x2 + y2 = Tìm GTLN P = 2x + 3y e> Cho x,y T/m : 3x + y = Tìm GTNN A = 3x2 + y2 f> Cho x,y T/m : 3x + y = Tìm GTLN A = xy Bài :a> Tìm GTNN A = x2 + 2y2 2xy 4y + b> Tìm GTNN A = 5x2 + 5y2 + 8xy 2x + 2y c> Tìm GTLN A = - 5x2 5y2 + 8x 6y -1 d> Tìm GTNN A = ( x )2 + ( x )2 e> Tìm GTNN A = x + x Bài : Tìm GTNN A = 2x + 3y 4z Biết x, y , z nghiêm HPT 2x + y + 3z = 3x + 4y 3z= 2 Bài : a> Cho x,y R , x + y =1 Tìm GTNN,GTLN A = x + y b> Cho x,y R , x2 + 4y2=25 Tìm GTNN,GTLN A = x + 2y c> Cho x + y = Tìm GTNN, GTLN A = x + y d> Tìm GTNN,GTLN A = 2x + x Bài :Cho x,y R T/m:(x+y)2 + 7(x+y)2 + y2 +10 = Tìm GTNN,GTLN A=x+y+1 Bài : Tìm GTNN ; GTLN BT x +1 4x 4x + x + 2x + x +1 x + 3x + ;B= ;C= ;D= ;E= ;F= ( x + 1) x +1 x +1 x+2 x x +1 x +1 8x + 27 12 x 2x + 3x x + G= ;H= ;M= ;N= 4x +1 x+9 x+2 x +1 A= GV: Phan Doãn Cờng Trờng THCS Đồng Thành YT - NA Tài liệu bồi dỡng HSG lớp Buổi + toán bậc hai Bài : Giải PT : a> x + - x + = ; a, > x + + x = a > x x + = x - b> 3x + x + + x + 10 x + 14 = 2x x2 c> 3x 18 x + 28 + x 24 x + 45 = 6x x2 d> 3x + 12 x + 16 + y y + 13 = e> x + x = x2 8x + 18 ;e, > x + + x = x2 6x + 13 f> x + + x = x2 - 4x + ; f, > x + + x = x2 4x + g> x + y + z = ( x + y + z) h> x 2000 + y 2001 + z 2002 = (x+y+z)-3000 i> 10 + 24 + 40 + 60 = 2008(2 x 1) + + + j> ( x2 + 1)( y2 + 2)(z2 + 8) = 32xyz k> x2 + y2 2x + 4y + = ( với x,y Z ) l> x + y + z + = x + y + z m> x + y + z + = x + y + z ; n> x + x + x x = x+3 ; n, > x + + x + x x = 2 o> x x + x + x = ; o, > x + x + x + + x = p> + x + x = x x ; p, > x + + x + x + x = q> x2 + 2x = x + x + + 20 ; q, > x x + = x2 2x r> x 2x + + x + 4x + = ; r, > 3x2 + 2x = x + x - x +1 s> x + 2x =x+3 x ; s, > + x + x = t> 25 x x = u> x2 + x + 2004 = 2004 v> ; t, > x3 - x2 + 3x + = ; u, > x2 + x + 2008 = 2008 x 3x + + x + = x + x + x GV: Phan Doãn Cờng Trờng THCS Đồng Thành YT - NA w> x + + x + x = ; w, > x x + x + = x + x + 3x + Tài liệu bồi dỡng HSG lớp x> x 2008 + x 2009 = ; x, > x 2004+ x 2005 =1 Bài : Tính GT biểu thức sau : A = 21 + 6 + 21 6 ; B = 13 + 30 + + C = 62 6+2 ; D = 32 + 28 12 E = + 10 + + 10 + ; F = 10 + 10 G = 4+ Bài : Chứng minh biểu thức ; H = + 15 + 15 A = + 13 + 48 số nguyên ;C= 6+ B= (5 + 6)(49 20 6) số nguyên ; D = 11 Bài : Số sau số hữu tỉ hay vô tỉ ? A = (4 + 15)( 10 6) 15 C = ( + 21 ) ( 14 ) ( 21 29 12 số tự nhiên + + 48 10 + SN ; B = (3 + 5)( 10 2) ) ;D= ( )( 10 + ) 3+ E = + + + Buổi Các toán rút gọn biểu thức 2x x + x x x + x x x + ữ x ữ x x 2x + x x 1> Cho Bt: P = a> Tìm ĐKXĐ RG P ; b> Tìm GTNN P ( )( ) 2x + x 2x x + x x x x x + 2> Cho BT : P = 1- x + x x x a> Tìm ĐKXĐ RG P ; b> Tìm GTNN 2000- P x ; c> Tìm x Z để P Z Tài liệu bồi dỡng HSG lớp 3> Cho BT : P = + GV: Phan Doãn Cờng Trờng THCS Đồng Thành YT - NA x x : ữ ữ ữ-1 x +1ữ x x x + x x a> Tìm ĐKXĐ RG P ; b>Tìm x Z để P Z ; c> Tìm x để PTìm x để P > P 4> Cho BT a>RG P 2x + x x x x + + x x x x+ x : P= ; b> So sánh P với ; c> CMR x ĐKXĐ nhận GT nguyên P x +1 x+2 x +1 x x x x + x + 5> Cho BT : P = + x P x +2 x +3 x +2 x : ữ ữ 6> Cho BT : P = x ữ x +1ữ x5 x +6 x a> Rút gọn P ; b> Tìm x để P 3x + x 1 + + 2ữ > Cho BT : P = ữ: x x x +2 x+ x a> Rút gọn P ; b> Tìm GTLN Q = N ; c> Tính GTBT x = P x+2 x +1 + 7> Cho BT : P = x x x + x +1 x a> Rút gọn P ; b> Tìm x N để a> Rút gọn P 8> Cho BT : P = ; b> Tính GTBT x = 33 - ; 12 c> C/m P < x x x + x ( x 1) + x + x +1 x x a> Rút gọn P ; b> Trìm GTNN P ; c> Tìm x để Q = x Z P x5 x 25 x x +3 x 1ữ : + ữ x + x 15 x +5 x x 25 > Cho BT : P = a> Rút gọn P ; b> Tìm x để P < ; c > Tính GTBT x = 19 - 240 10 > Cho BT : P = x a> Rút gọn P 2x x x x +1 + +1 x x x +1 ; b> Tìm GTNN P