Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán chuyên lần 3 năm học 2015-2016 trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội

Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán chuyên lần 3 năm học 2015-2016 trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội tài liệu, giáo án, b...

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT NGUYỄN HUỆ LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin) Bài I: (2 điểm) 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a + 2b + 3c = 14 Tính giá trị biểu thức T = abc 2) Cho n số nguyên dương Chứng minh A = 24n + + 34n + hợp số Bài II: (3 điểm) 1) Giải phương trình x  x   x  2  5 x  14 x  y   2) Giải hệ phương trình  2  5 x  16 x  y  xy  y  16  Bài III: (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh ab bc ca abc    4b  c  a c  a  b a  4b  c Bài IV: (3 điểm) Cho đường tròn (O, R) điểm S nằm đường tròn cho SO = 2R Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB (A  (O), B  (O)) cát tuyến SCD (C nằm S D) thay đổi Gọi K trung điểm CD H giao điểm AB SO 1) Chứng minh điểm C, D, H, O nằm đường tròn 2) Chứng minh AC.BD = AB.CD 3) Tìm vị trí điểm K cho 1  nhỏ KA KB Bài V: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ngũ giác lồi ABCDE có tọa độ đỉnh số nguyên Chứng minh tồn điểm nằm ngũ giác có tọa độ số nguyên - Hết -(Giám thị không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2: TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN VÀO LỚP 10 NGUYỄN HUỆ NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN (Dành cho hệ chuyên Toán chuyên Tin) BÀI I Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 2,0 3) Tính giá trị biểu thức T = abc a  b  c  14 2 1,0 a  b  c  14 2 2  Ta có  a  2b  3c  14 0,25 2a  4b  6c  28  a2 + b2 + c2 – 2a – 4b – 6c = - 14  (a – 1)2 + (b – 2)2 + (c – 3)2 = 0,25  a = 1; b = 2; c = 0,25 T = abc = 0,25 Chứng minh A = 4n + 4n + + hợp số 1,0 A =2.16n + 81n + 0,25 Vì n > nên A > + + = (1) Vì 2.16n  (mod 5) 81n  (mod 5) A  + + (mod 5)  (mod 5) (2) Từ (1) (2) suy với n > 0, A > A chia hết A hợp số 0,25 0,25 0,25 II 3,0 Giải phương trình x  x   x  Điều kiện x    Ta có  x  1  x  x   1,5 0,5  x  1  x  x  1  b  9a Đặt a  x   ; b  x  x   ta được: 3a  2b  ab   b  a  0,5 Giải phương trình ta tìm x   Giải hệ phương trình 0,5 2 1,5  y  x  14 x  2  y   x   y  x  16 x  16  2 Ta có  Coi (2) phương trình bậc ẩn y, suy ra: (1) (2)  y  5x  y  4 x 0,5   9x   2 Với y  x  suy ra:  x    x  14 x  ta nghiệm ( ; );( ;0) 0,5 Với y   x suy ra: (4  x)  5x  14x  ta nghiệm ( 11  17 27  17 11  17 27  17 ; );( ; ) 4 4 0,5 III A Chứng minh bất đẳng thức D K C S H M 1,0 1    Ta có: 2b  c 2b  c 2c  a 4b  4c  a 1        4b  4c  a  2b  c 2c  a  ab  2ab ab       4b  4c  a  2b  c 2c  a  bc  2bc bc  ca  2ca ca        Tương tự: ;  4a  4c  b  2c  a 2a  b  4a  4b  c  2a  b 2b  c   2ab ab 2bc bc 2ac ac  a  b  c      Vậy VT     2b  c c  a c  a a  b a  b 2b  c  O B Dấu “ = ” xảy a = b = c IV 4) Chứng minh bốn điểm C, D, H, O nằm đường tròn  SAC   SDA  SC.SD = SA2 (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 3,0 1,0 0,5 SA2 = SH.SO (Hệ thức lượng tam giác vuông) (2) Từ (1) (2)  SC.SD = SH.SO   SCO   SHD   COH   CDH  Bốn điểm S, D, H, O nằm đường tròn AB.CD  D AKC   ADC   ABS   ADC  sđ  AB Ta có KA    sđ AC = sđ BC = BAC 2    CAK  BAD 0,5 4) Chứng minh AC.BD = 1,0 - 0,5   CAK   BAD  AC CK  AB BD  AC.BD = AB.CK Vì K trung điểm CD nên AC.BD  5) Tìm giá trị nhỏ AB.CD (4) 1  KA KB 1,0 Vì SO = 2R   SAB Trên tia KS lấy điểm M cho KM = KB    BAS   600 ) MBS  BKM ABK (600 -  ) MBA KMB (KM = KB   SMB =  AKB  AK = SM Ta có: KA + KB = SM + MK = SK  SO = 2R (vì điểm S, A, B, K, O) nằm đường tròn đường kính SO.) V 0,5 0,5 1     KA KB KA  KB R 1  = SCD cát tuyến qua tâm O hay C trung điểm SO  KA KB R 0, Chứng minh …(1điểm) Giả sử tồn ngũ giác nguyên mà bên không chứa điểm nguyên Trong tất ngũ giác ta chọn ngũ giác có diện tích nhỏ không chứa điểm nguyên giả sử ABCDE Theo nguyên lí Dirichlet: có điểm A, B, C, D, E tọa độ nguyên nên tồn điểm tạm gọi X,Y mà cặp tọa độ  x, y  chúng có tính chẵn lẻ Khi trung điểm M X, Y có tọa độ nguyên Do M nằm ngũ giác (giả sử) nên M phải thuộc cạnh hay XY phải cạnh ngũ giác Không tổng quát ta giả sử điểm A, B Do ta có ngũ giác MBCDE có diện tích nhỏ diện tích ngũ giác ABCDE Do tính nhỏ không chứa điểm nguyên bên ABCDE suy ngũ giác MBCDE phải chứa điểm nguyên T bên Mâu thuẫn T nằm ABCDE ĐPCM 1,0 0,5 0,5 Các ý chấm: 1) Thí sinh phải lập luận đầy đủ cho điểm tối đa 2) Thí sinh có cách giải đúng, khác với hướng dẫn giám khảo chấm cho điểm theo số điểm quy định dành cho câu (hay ý) 3) Vận dụng hướng dẫn chấm chi tiết đến 0,25 điểm nên không làm tròn điểm thi  ...TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN VÀO LỚP 10 NGUYỄN HUỆ NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN (Dành cho hệ chuyên Toán chuyên Tin) BÀI I Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 2,0 3) Tính giá... 2 1,0 a  b  c  14 2 2  Ta có  a  2b  3c  14 0,25 2a  4b  6c  28  a2 + b2 + c2 – 2a – 4b – 6c = - 14  (a – 1)2 + (b – 2)2 + (c – 3) 2 = 0,25  a = 1; b = 2; c = 0,25 T = abc = 0,25... 0,25 0,25 0,25 II 3, 0 Giải phương trình x  x   x  Điều kiện x    Ta có  x  1  x  x   1,5 0,5  x  1  x  x  1  b  9a Đặt a  x   ; b  x  x   ta được: 3a  2b  ab  