TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 2x − Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt cho A B đối xứng qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= Câu II: (2,0 điểm) sin x + = 2cosx sin x + cos x tan x x+ y − x−y =2 Giải hệ phương trình: 2 2 x + y +1 − x − y = Giải phương trình: Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: π ∫ (e cos x + s inx).sin x.dx Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp hình trụ có bán kính đáy r; góc BC’ trục hình trụ 300; đáy ABC tam giác cân đỉnh B có ·ABC = 1200 Gọi E, F, K trung điểm BC, A’C AB Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE Câu V: (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c = Chứng minh rằng: 3 1 +3 +3 ≥3 a + 3b b + 3c c + 3a Câu VI: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) đường thẳng ∆ : x – y + = Viết phương trình đường tròn qua M cắt ∆ điểm A, B phân biệt cho ∆MAB vuông M có diện tích 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y − z −1 = = −1 −1 mặt phẳng (P) : ax + by + cz – = (a + b ≠ 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) qua đường thẳng d tạo với trục Oy, Oz góc Câu VII: (1,0 điểm) Xét số phức z thỏa mãn điều kiện : z − 3i = , tìm giá trị nhỏ z Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên:……………………………………………… SBD:……………………Đường thẳng d cần tìm vuông góc với ∆ : x + 2y +3= nên có phương trình y = 2x +m 2x − = x + m có nghiệm phân biệt x +1 ⇔ x + mx + m + = có nghiệm phân biệt khác - ⇔ m − 8m − 32 > (1) x A + xB − m x = = I Gọi I trung điểm AB có m y = 2x + m = I I Do AB vuông góc với ∆ nên A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ : x + 2y +3= ⇔ I ∈ ∆ ⇔ m = −4 m = - thỏa mãn (1) đường thẳng d có phương trình y = 2x - §iÒu kiÖn: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0,sin x + cos x ≠ D cắt (C) điểm A, B phân biệt ⇔ Pt ®· cho trë thµnh +) cos x = ⇔ x = cos x sin x + cos x ⇔ sin x cos x − cos x = sin x + cos x − cos x =0 sin x + cos x sin x π ⇔ cos x sin( x + ) − sin x = π + kπ , k ∈ π π x = + m2π x = x + + m2π π ⇔ +) sin x = sin( x + ) ⇔ x = π + n 2π x = π − x − π + n 2π 4 ⇔x= π t 2π + , t ∈ §èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ π π t 2π x = + kπ ; x = + , k, t ∈ u − v = (u > v) u + v = uv + u = x + y ⇔ u + v2 + Đặt: ta có hệ: u + v + v = x − y − uv = − uv = 2 u + v = uv + (1) ⇔ (u + v) − 2uv + Thế (1) vào (2) ta có: − uv = (2) uv + uv + − uv = ⇔ uv + uv + = (3 + uv ) ⇔ uv = uv = ⇔ u = 4, v = (vì u>v) Từ ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k) Kết hợp (1) ta có: u + v = π ∫ (e cos x π I = ∫e π 0 + s inx).sin x.dx = ∫ ecos x cos x.sin x.dx + ∫ s inx.sin x.dx cos x 1 t t t cos x.sin x.dx Đặt t = cosx có I = ∫ t.e dt = t.e − ∫ e dt = 0 π π π π 1 K = ∫ s inx.sin x.dx = ∫ (cos x − cos3 x).dx = (s inx − sin x) = 20 3 0 π ∫ (e cos x + s inx).sin x.dx = + Từ giả thiết suy · BC ' C = 300 BA = BC = r CC ' = BC cot 30 = r = 3 1 1 r3 VA ' KEF = VC KEF = VF KEC = VA ' ABC = AA ' BA.BC.sin1200 = 8 32 r Gọi J trung điểm KF, mp (FKH) đường trung trực FK cắt FH I, I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE FK = FH + KH = r Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE FJ FK FK r2 r R = FI = = = = FH FH r 3 1 1 1 =9⇒ + + ≥ Áp dụng (x + y + z) + + ≥ 33 xyz (*) x y z x+y+z xyz x y z Gọi H trung điểm AC ta có FH // AA’ suy FH ⊥ (ABC) HK = HB = HE = 1 +3 +3 ≥3 áp dụng Bất đẳng thức a + 3b b + 3c c + 3a a + 3b + b + 3c + c + 3a Trung bình cộng – trung bình nhân cho ba số dương ta có áp dụng (*) ta có P = 3 ( a + 3b ) 1.1 ≤ a + 3b3+ + = 13 ( a + 3b + ) ( b + 3c ) 1.1 ≤ b + 3c3+ + = 13 ( b + 3c + ) ( c + 3a ) 1.1 ≤ c + 3a3+ + = 13 ( c + 3a + ) 1 a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ ( a + b + c ) + ≤ + = 3 a + b + c = ⇔a=b=c= Do P ≥ ; Dấu = xảy ⇔ a + 3b = b + 3c = c + 3a = Suy Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình ( x − a ) + ( y − b) = R ∆MAB vuông M nên AB đường kính suy ∆ qua I đó: a - b + = (1)Hạ MH ⊥ AB có MH = d ( M ,∆ ) = S ∆MAB = −1+1 = 1 MH AB ⇔ = R ⇔ R = Vì đường tròn qua M nên (2 − a ) + (1 − b) = (2) 2 (1) a − b + = Ta có hệ Giải hệ a = 1; b = Vậy (C) có phương trình ( x − 1) + ( y − 2) = 2 (2 − a ) + (1 − b) = (2) r Đường thẳng d qua M (0, 2, 1) có VTCP u (1, −1, −1) r rr P) có VTPT n(a, b, c ) d ⊂ ( P) ⇒ n.v = ⇔ a − b − c = ⇔ a = b + c r r r r b = c ≠ (·Oy, ( P)) = (·Oz , ( P)) ⇔ cos( j, n) = cos( k , n) ⇔ b = c ⇔ Nếu b = c = a = suy ( P1 ) : 2x b = −c ≠ + y + z - = (loại M ∉ ( P1 ) Nếu b = - c = - a = suy ( P2 ) : y - z - = (thỏa mãn) 2 Vậy (P) có phương trình y - z - = 0Đặt z = x + iy ta có z − 3i = ⇔ x + ( y − 3) = Từ x + ( y − 3) = ta có ( y − 3) ≤ ⇔ ≤ y ≤ Do z = x + y ≥ + 22 = Vậy giá trị nhỏ z đạt z = 2i ... x.dx = ∫ (cos x − cos3 x).dx = (s inx − sin x) = 20 3 0 π ∫ (e cos x + s inx).sin x.dx = + Từ giả thi t suy · BC ' C = 300 BA = BC = r CC ' = BC cot 30 = r = 3 1 1 r3 VA ' KEF = VC KEF = VF KEC