TRƯỜNG THPT SỐ PHÙ CÁT KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2011 -ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề - I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm ) Câu ( điểm ) Cho hàm số y = x + ax + b ( a,b là tham số ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho , a = 3, b = −4 2) Tìm a, b để giá trị cực tiểu hàm số đã cho x=1 Câu (3 điểm ) 1) Giải phương trình : x− +1 ≤ 9.2 x −2 2) Tính tích phân : ∫ −18 2− x xdx 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 − x + 14 ln( x + 4) − khoảng ( −2, +∞ ) Câu ( điểm ) Cho lăng trụ đều ABCA’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a , góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’C’) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ theo a II PHẦN RIÊNG –PHẦN TỰ CHỌN ( điểm) Theo chương trình chuẩn Câu 4a ( điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2,1,2) , B(1,3,1) , C(5,3,5) 1).Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A,B,C 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng BC , cho diện tích tam giác AMB lần diện tích tam giác ABC Câu 5a ( điểm ) Tìm số phức z , biết + ( z − 2)i = z − 2i Theo chương trình nâng cao Câu 4b ( điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , Cho hai điểm A(2,0,1), B(0,2,3), mặt phẳng (P) : x+y+z+1=0 1)Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (P) 2)Tìm điểm M thuộc đường thẳng AB , cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Câu 5b (1 điểm ) Tìm số phức z , biết z = z hết TRƯỜNG THPT SỐ PHÙ CÁT -HƯỚNG DẪN CHẤM I KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2011 Môn thi : TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm ) Câu Nội dung Điểm Với a=3 , b=-4 , y = x + x − 4 Tập xác định D=R 0.25 = +∞, lim = +∞ Giới hạn : xlim −>−∞ x −>+∞ Chiều biến thiên y ' = x3 + x 0.25 y '( x ) = x(2 x + 3) = x = 0, x + = x=0 0.25 Bảng biến thiên 0.50 x y’ y 1.1 -oo - 0 +oo +oo + +oo -4 Hàm số đồng biến (0, +oo) , nghịch biến (-oo,0) Đạt cực tiểu tại x=0, yCĐ=-3 0.25 Đồ thị của hàm số : 0.50 D=R 1.2 y ' = x + 2ax , y’(1)=0 => a=-2 0.25 y’’=12x2 , y’’(1)=12 >0 0.25 => Với a=-2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x=1 0.25 Khi đó y= x4-2x2+b 0.25 y(1)= 3/2 1-2+b=3/2 b=5/2 Vậy : a=-2 , b=5/2 là giá trị cần tìm Ta có x − + ≤ 9.2 x − 2.4 x − 9.2 x + ≤ 0.25 Đặt t=2x , t>0 Bất phương trình trở thành : 2t − 9t + ≤ 2.1 Khi đó : ≤t ≤4 0.25 ≤ 2x ≤ 0.25 −1 ≤ x ≤ 0.25 Tập nghiệm của phương trình S= [ −1, 2] x Đặt t = − => x = − 3t, dx = −3dt 0.25 Ta có x= -18 => t=8 ; x=3=> t=1 2.2 8 1 0.25 3 Khi đó : I = −3∫ (6 − 3t ) tdt = 18∫ tdt − ∫ t tdt 27 27 = t − t 0.25 4023 14 Trên khoảng (-2,+oo) ta có : 0.25 14 x2 − x − = x+4 x+4 0.25 =− y' = x −5+ y’(x)=0 x2-x-6=0, x=3 , x= -2 0.25 Bảng biến thiên 2.3 x y’ -2 - +oo 0.25 + y Giá trị nhỏ nhất của hàm số : y ( 3) = − 33 + 14ln7 0.25 0.25 Ta có : AA’ ⊥ (ABC) => VABCA’B’C”=AA’.SABC Tam giác ABC đều cạnh a => SABC= a2 0.25 Gọi D,D’ lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ => AD= Trong tam giác vuông D’DA , DD’= AD.tan600= Vậy thể tích cần tìm VABCA’B’C”=AA’.SABC= a , DD’=AA’ , D’AD=600 a 3a 3= 2 3a a 3a3 = 0.25 0.25 II PHẦN RIÊNG –PHẦN TỰ CHỌN ( điểm) Câu 4a1 Nội dung r uuur uuur (ABC) qua A (2,1,2) có véc tơ pháp tuyến n = AB, AC uuur uuur r Mà AB = ( −1, 2, −1) , AC = ( 3, 2,3) nên n = ( 8, 0, −8 ) (ABC) : 8.(x-2)+0.(y-1)-8.(z-2)=0 Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 Hay : x-z = uuur Ta có BC = ( 4, 0, ) M thuộc đường thẳng BC : x= 1+t,y=3,z=1+t => M(1+t ,3, 1+t ) 4a2 S AMB = S ABC MB = BC , BC=4 2t = t = 8, t = −8 0.25 0.25 Điểm M cần tìm : M(9,3,9) , M(-7,3, -7) Đặt z=x+yi, x,y thuộc R 0.25 Khi đó : + ( z − 2)i = z − 2i 1+(x-2+yi)i= x − ( y + 2)i 0.25 (1-y) +(x-2)i = ( x + ( y + 2) 5a 0.25 1 − y = x + ( y + 2) x − = x = + ( y + 2) = − y x = y = − => Số phức cần tìm là z = − i 0.25 0.25 0.25 Mặt phẳng chứa A,B , vuông góc với (P) x+y+z+1=0 - 4b1 Đi qua A(2,0,1) r uuuruur - Có véc tơ pháp tuyến n = AB,nP , uuur uur AB = (−2, 2, 2), nP = (1,1,1) 0.25 r 2 −2 −2 , , => n = ÷ = (0, 4, −4) 1 1 1 1 0.25 Phương trình mặt phẳng cần tìm là 0.25 0.25 0.(x-2)+4.(y-0)-4.(z-1)=0 hay y-z+1 = Đường thảng AB có phương trình : x=2-t , y= t ,z=1+t M thuộc AB M(2-t,t,1+t) 4b2 Khi : d(M,(P))= 0.25 − t + t +1+ t +1 = t+4 = |t+4|=3 t=-1 , t=-7 0.25 Điểm cần tìm M(3,-1,0) M(9,-7,-6) - z=0 , phương trình nghiệm đúng 0.25 - z khác , đặt z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , r>0 0.25 Khi đó : z = z r (cos 5ϕ + i sin 5ϕ ) = r r (cos 5ϕ + i sin 5ϕ ) = 5b 0.25 r cos 5ϕ = r sin 5ϕ = r = 2π k thuộc Z ϕ = k Vậy số phức z cần tìm là : z=0 , z = cos Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa k 2π k 2π + i sin , k thuộc Z 5 0.25 0.25 0.25 ... thi của hàm số : 0.50 D=R 1 .2 y ' = x + 2ax , y’(1)=0 => a= -2 0 .25 y’’=12x2 , y’’(1)= 12 >0 0 .25 => Với a= -2 thi hàm số đạt cực tiểu tại x=1 0 .25 Khi đó y= x4-2x2+b 0 .25 y(1)= 3 /2. .. ∫ t tdt 27 27 = t − t 0 .25 4 023 14 Trên khoảng ( -2, +oo) ta có : 0 .25 14 x2 − x − = x+4 x+4 0 .25 =− y' = x −5+ y’(x)=0 x2-x-6=0, x=3 , x= -2 0 .25 Bảng biến thi n 2. 3 x y’ -2 - +oo 0 .25 + y... y(1)= 3 /2 1 -2+ b=3 /2 b=5 /2 Vậy : a= -2 , b=5 /2 là giá trị cần tìm Ta có x − + ≤ 9 .2 x − 2. 4 x − 9 .2 x + ≤ 0 .25 Đặt t=2x , t>0 Bất phương trình trở thành : 2t − 9t + ≤ 2. 1 Khi đó