ĐỂ THI THU DH CUA CVPHUC MOI NHAT

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚCĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn thi: Toán, khối A,B Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề A.. Cho

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011

Môn thi: Toán, khối A,B

Thời gian làm bài: 180 phút( không kể thời gian giao đề)

A.

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )

Câu I : ( 2,0 điểm ). Cho hàm số : y 2x 1

x 1

−

= + có đồ thị là ( )C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C Tìm trên đồ thị ( )C điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( )C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn :

IA +IB =

Câu II : ( 2,0 điểm )

1) Giải phương trình : 3sin4 x+2cos 32 x cos x+ 3 =3cos x4 −cosx+1

2) Giải phương trình: ( )2

4 1

27

x

+ + − =

Câu III : ( 1,0 điểm ).Tính tích phân: 2( )

0

2 4

x

x

= −

−

Câu IV : ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S ABC có AB AC= =4,BC=2,SA=4 3,SAB SAC· = · =300 Tính thể tích khối chóp S ABC

Câu V : ( 1,0 điểm ).Cho a b c, , là ba số thực không âm thoả mãn :a b c+ + =3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P a b b c c a= + + − abc

B.

PHẦN TỰ CHỌN:( 3,0 điểm ).( Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần,phần A hoặc phầnB)

A

.Theo chương trình chuẩn:

Câu VIA : ( 2,0 điểm ).1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A ,biết

phương trình các đường thẳng AB BC lần lượt là , x+3y+ =5 0và x y− + =1 0,đường thẳng AC đi

qua điểm M( )3;0 .Tìm toạ độ các đỉnh , ,A B C

2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :

1

:

và 2

:

Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của d và 1 d ,lậpphương trình đường thẳng 2 d đi qua điểm 3 P(0; 1; 2− )

,đồng thời d cắt 3 d và 1 d lần lượt tại ,2 A B khác I thoả mãn AI AB=

Câu VII A.(1,0 điểm):Tính tổng 1 3 5 7 2009 2011

2011 2011 2011 2011 2011 2011

S C= −C +C −C + +L C −C

B.Theo chương trình nâng cao

Câu VIB : ( 2,0 điểm ) 1)Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho e líp ( ): 2 2 1

25 9

E + = với hai tiêu điểm F F Điểm P thuộc elíp sao cho góc ·1, 2 0

1 2 120

PF F = Tính diện tích tam giác PF F 1 2

2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz,cho hai đường thẳng : 1: 1 3

− và

2

:

x− y z+

− ,mặt phẳng ( )P x: −2y+2z− =1 0.Tìm các điểm M∈∆1,N∈∆2sao cho MN

song song với mặt phẳng ( )P và cách mặt phẳng ( )P một khoảng bằng 2.

Câu VII B:(1,0 điểm): Tìm phần thực,phần ảo của số phức ( )

2012 2011

1 3

i z

i

+

=

+

-Hết -

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

(gồm 5 trang)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011

Môn thi: Toán, khối A,B

ĐÁP ÁN

0

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : 2x 1

y

x 1

−

= + +Tập xác định D=¡ \{ }−1

+Sự biến thiên

• -Chiều biến thiên: ( )2

3 '

1

y x

= + >0 ∀ ≠ −x 1. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1)và (− +∞1; )

• Cực trị : Hàm số không có cực trị

• Giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

lim lim 2 1 2

1

x x

x y

x

−

+ ,đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang

− = +∞ − = −∞

+ + , đường thẳng x= −1 là tiệm cận đứng

• Bảng biến thiên :

x - ∞ - 1 +∞

y' + || +

y +∞ 2

||

2 −∞

+Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm 1;0

2

A 

 ÷

 

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm B(0; 1− )

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là I(−1; 2)làm tâm đối xứng

1,00

0,25

0,25

0,25

0,25

8

6

4

2

-2

-4

-6

2 Tìm trên đồ thị ( )C điểm M có hoành độ dương 1,00

TCĐ ( )d :1 x= −1,TCN ( )d2 :y=2 ⇒ −I( 1; 2).Gọi 0

0 0

; 1

x

M x

x

( ) (C , x0 0)

∈ >

Phương trình tiếp tuyến với ( )C tại ( )

( )2( 0) 0

0 0

3 : :

1 1

x

x x

−

+ +

0

1

x

x

  − 

∆ ∩ = − ÷ ∆ ∩ = +

+

0 2

0

0 0

36

1 40

0 0

x

IA IB

x x

>





0 2

x

⇔ = (y0 =1) ⇒M( )2;1

0,25

0,25 0,25

0,25

1 Giải phương trình : 4 2 4

3sin x+2cos 3x cos x+ 3 =3cos x−cosx+1 1,00

Pt ⇔3 sin( 4x cos x− 4 ) (+ 2 cos 32 x− +1) (cos3x+cosx) =0

3cos x2 cos 6x 2 cos 2 cosx x 0

⇔ − + + = ⇔4cos x32 −6cos x2 +2cos 2 cosx x=0

2

2 0(*)

2 2cos 2 3 cos 0

2 cos 2 1 cos 1 0(**)

cos x

=





4 2

k

⇔ = + ∈Z

** ⇔2 cos x2 −1 cos x2 + +1 cosx− = ⇔1 0 8cos x −sin x + cosx− =1 0

8cos x cos x 1 cosx 1 0 cosx 1 8 cos x cosx 1 1 0

2

cos 1

2 ,

x



+ + =

Phương trình có 2 họ nghiệm: & 2 ,

x= +π kπ x k= π k∈Z

0,25 0,25 0,25 0,25

2

Giải phương trình: ( )2

4 1

27

x

Điều kiện : 5; 2

2

x∈ − 

5 2+ x+ 4 2− x = +9 2 5 2+ x 4 2− x ≥ ⇒9 5 2+ x+ 4 2− x≥3(*)

Mặt khác

5

; 2 2

∀ ∈ − 

27

x

⇒ − ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤ ( )**

Từ (*) và (**) suy ra phương trình tương đương với:

( )2

5

2



+ =

  = .So với điều kiện ta được nghiệm của phương

0,25

0,25 0,25 0,25

trình là

5 2 2

x x

 = −



 =



2 2

x x

− −

đặt 2− =x 2cos t2 với 0;

2

t  π

∈   ⇒dx=4sin 2tdt

4 π

π

− −

+ −

4 0

8 2 cos 2 1 4 1 cos 4 2 2

1

4

π

π

=  + − ÷ = −

0,25

0,25

0,25

0,25

AB AC= = BC= SA= SAB SAC= = 1,00

Theo định lí cô sin trong tam giác ta được

2 30 48 16 2.4 3.4 4

2

Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SA BC, ⇒ ∆BAS CAS,∆ cân nên

,

BM ⊥SA CM ⊥SA⇒SA⊥(MBC)

ta có ∆BAS= ∆CAS c c c( − − ) ⇒MB MC= ⇔ ∆MBCcân tại M ⇒MN ⊥BC

Trong tam giác vuông · 0 1

2

ABM MAB= ⇒BM = AB= tương tự 2

CM = =BC suy ra ∆MBCđều có cạnh bằng 2 2 3

4

MBC

dtV = = Từ đó thể tích khối chóp S.ABC là: 1 1.4 3 3 4

SABC MBC

0,25

0,25

0,25 0,25

V …Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P a b b c c a= + + − abc 1,00

Đặt a =x b, = y c, =z ,thì điều kiện trở thành:

, , 0

3

x y z

≥



 + + =

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P x y y z z x xyz= + + −

Ta thấy P≥0 theo bất đẳng thức Côsi

Không mất tính tổng quát giả sử y là số có giá trị nằm giữa x&z khi đó ta

có: z y x y z( − ) ( − ≤ ⇒) 0 y z z x yz2 + 2 − 2−xyz≤0

x y y z z x xyz x y y z P x y y z

2

0,25

0,25 0,25

P

⇔ ≤ dấu bằng xẩy ra trong 2 trường hợp

1 2 0

1 2

0

a b c

x y z

a z

b

c

= = =



= =

=



 = ⇔



  =

 = 

  = Vậy Pmax = ⇔ = = = ∨ =2 a b c 1 a 2;b=1;c=0 và các hoán vị 0,25

B= AB∩BC nên toạ độ B là nghiệm hpt: 3 5 0 2 ( 2; 1)

B

+ + = = −

 − + =  = −

Đường thẳng AB có vtpt nr1=( )1;3

Đường thẳng BCcó vtpt nr2 = −(1; 1)

Đường thẳng ACcó vtpt nr3 =( )a b; với đ/k a2+b2 >0

Do tam giác ABC cân tại A nên · ABC=·ACB<900⇒cos·ABC=cos·ACB⇔

10 2 2

cos n n cos n n

−

+

r r r r

r r r r

4 a b 10 a b a 3b 3a b 0 a 3b 0 3a b 0

• a−3b=0 chọn a=3,b= ⇒ =1 nr3 ( )3;1 do AC đi qua

( ) ( ) (3;0 : 3 3) (1 0) 0 ( ): 3 9 0

M ⇒ AC x− + y− = ⇔ AC x y+ − =

A AB= ∩AC nên toạ độ A là nghiệm hpt: 3 5 0 4 (4; 3)

A

 + − =  = −

C=BC∩AC nên toạ độ Clà nghiệm hpt: 1 0 2 ( )2;3

C

 + − =  =

• 3a b− =0 chọn a=1,b= ⇒ =3 nr3 ( )1;3 = ⇒nr1 AB/ /AC (loại )

Vậy toạ độ các đỉnh là A(4; 3 ,− ) (B − −2; 1 ,) ( )C 2;3

0,25

0,25

0,25

0,25

2 …Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của d và 1 d ,lậpphương trình đường thẳng 2 d …3 1,00

1

z

− − ⇔ = ⇔



mặt phẳng ( )Q chứa d d thì 1, 2 ( )Q đi qua I(1;1;1)và có một vtpt

/ / ; 8; 4;0 2; 1;0

nr u ur r = − ⇒nr = − ⇒( )Q : 2x y− − =1 0

ta thấyP(0; 1; 2− ) ( )∈ Q Giả sử có d qua ,3 P d3∩ =d1 A d, 3∩d2 =B khác I sao

cho IA AB= Lấy A1(2;3;3)∈d1 ,B1(− − −t; 1 2 ;3 2t + t)∈d2 chọn t sao cho

A I =A B với B1≠ ⇒I t là nghiệm phương trình

11

9

A I = A B ⇔ t + t+ = ⇔ = − ∨ = −t t

( ) 1

1

1;1;1 ( )

11 13 5

; ;

9 9 9

B



 đường thẳng d có vtcp 3 1 1 ( )

7 14 22

9 9 9

uuuur

0,25

0,25

0,25

đường thẳng d đi qua 3 P(0; 1; 2− ) từ đó pt của d là3

d 3: 1 2

VII

A Xét khai triển ( )2011 0 1 2 2 3 3 2011 2011

2011 2011 2011 2011 2011

1+i =C +C i C+ i +C i + + C i

do i4k =1,i4k+ 1 =i i, 4k+ 2 = −1,i4k+ 3 = − ∀ ∈i k, ¥ do đó ta có

1.00 0,25

( )2011 ( 0 2 4 2010) ( 1 3 5 2011)

2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011

1+i = C −C +C − − C + C −C +C − − C i (1)

mặt khác ( )2011 ( )2 1005( ) ( ) (1005 ) 1005 1005

1+i = 1+i  1+ =i 2i 1+ = −i 2 +2 i

Từ (1) và (2) ta được: S C= 12011−C20113 +C20115 −C20117 + +L C20112009−C20112011=21005

0,25

0,25 0,25

1 …Điểm P thuộc elíp sao cho góc · 0

1 2 120

PF F = Tính diện tích tam giác PF F1 2 1,00

( ): 2 2 1

25 9

2

2

1 2

25

16 9

a

b

=

 theo định nghĩa elip và định lí cô sin ta có:

2

10

2 10

= −



1 2

1

0

1 1 2 2

9

7

PF F

PF

PF

∆

 =



 =



(đvdt)

0,25 0,25 0,5

2 …Tìm các điểm M∈∆1,N∈∆2sao cho MN… 1,00

1

2

1 2 ;3 3 ; 2 : 3 3 & : 4

5 6 ;; 4 ; 5 5

∆  = − ∆  = ⇒



( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 12 6 1

0 3

t t

t

=

• t= ⇒1 M1(3;0; 2) ⇒M Nuuuuur1 =(6s+2; 4 ; 5s − −s 7) do

1 / /( ) 1 P 1; 2; 2 , 1 P 0

M N P ⇒M Nuuuuur⊥nr = − M N nuuuuurr = ⇒

(6s+ −2) 2.4s+2 5(− − = ⇒ = − ⇒s 7) 0 s 1 N1(− −1; 4;0)

• t= ⇒0 M2(1;3;0)⇒M Nuuuuur2 =(6s+4; 4s− − −3; 5s 5)

2 / /( ) 2 P 1; 2; 2 , 2 P 0

M N P ⇒M Nuuuuur⊥nr = − M N nuuuuurr = ⇒

(6s+ −4) 2 4( s− +3) 2 5(− − = ⇒ = ⇒s 5) 0 s 0 N2(5;0; 5− )

Đáp số :M(3;0; 2 ,) (N − −1; 4;0 &) M(1;3;0 ,) (N 5;0; 5− )

0,25 0,25

0,25

0,25 VII

2012

2011

2 cos sin

i

z

z cos π  i  π  cosπ i π

⇒ =  − ÷+ − ÷=  − 

1,00 0,25 0,25 0,25 0,25

⇒Phần thực của z bằng 10051

2 cos6

π

, Phần ảocủa z bằng 10051 sin

π

−