Dap an de thi thu DH Luong Van Chanh lan 2

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2011 Môn Toán - Khối A, B Chú ý: Dưới giải gợi ý, học sinh làm nhiều cách khác miễn suy luận hợp lý kết điểm tối đa câu Điểm chi tiết • TXĐ: D = R lim y = m∞ • Đi ể m 0.25 • y ' = −3x2 + x , y ' = Û x = 0, x = 0.25 Câu 1.1 Đáp án x →±∞ • Bảng biến thiên x 0 y y' • Hàm số tăng khoảng (- ¥ ; 0) (2; +¥ ) , giảm khoảng (0; 2) 0.25 • Đồ thò 0.25 • Hàm số đạt CT x = , ymin = - , đạt CĐ x = , ymax = 1.2 Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): 0.25 (1) - x + 3x - = mx + m Khi m thay đổi, ta thấy (1) có nghiệm cố đònh x = - nên (C) (d) có điểm chung cố đònh A(- 1; 0) Ta có (1) Û ( x + 1)( x2 - x + + m) = éx = - Û ê êx2 - x + + m = (2) ê ë Để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C (1) có ba nghiệm phân biệt, tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 1 0.25 Trang 1/6 ïì ∆ ' > ïì m < Û ïí Û ïí ïỵï g (- 1) ¹ ïỵï m ¹ - (với g ( x) = x2 - x + + m ) (3) Gọi I trung điểm BC, ta có ìï ïï x = xB + xC = í I ïï ïïỵ yI = m( xI + 1) = 3m (do I Ỵ (d) xB , xC nghiệm (2) nên xB + xC = ) Để khoảng cách từ điểm cực tiểu (0; - 4) đồ thò đến I 0.25 0.25 Kết hợp điều kiện (3) ta có để thỏa yêu cầu toán m =- 1Úm =- Phương trình cho tương đương với 0.25 Û + (3m + 4)2 = Û m = - Ú m = - 2.1 1- cos 3x ìï cos x ³ sin x Û ïí ïï - cos x ỵ cos x = cos x - sin x (1) cos x = (cos x - sin x) cos x - sin x 2 π Û cos(π - 3x) = cos(2 x + ) é é êπ - 3x = x + π + k2π êx = π + k 2π ê ê 6 Û ê Û ê ê ê π 7π êπ - 3x = - x + k2π êx = + k2π ê ê 6 ë ë Kết hợp với điều kiện (1), phương trình cho có nghiệm é êx = π + k2π ê ê ê π 2π êx = + k2π ê ê π 4π ê + k2π êx = ê ë ìï x - y x +10 y = (1) ï í ïï x - x y - y = (2) ïỵ Điều kiện x ³ ±2 y Ta có (2) Û - cos x = 2.2 Ta có (1) Û x2 - y2 = (3) Thế x2 - y2 = vào (2), ta (2) 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 x( x2 - y2 ) - x2 y - y3 = Û x3 - x2 y - xy2 - y3 = ỉx ÷ ç ÷ Û ç ÷÷ ç èy ø ỉx ỉx x ÷ ÷ ç ÷ ÷ - 6=0Û = Û x = 3y ç ÷ - 4ç ç ÷ ç ÷ ÷ ç y èy ø èy ø Trang 2/6 Thay x = y vào (3) ta y2 = ±1 Þ x2 = ±3 So sánh với điều kiện, ta thấy hệ có nghiệm x = 3, y = 0.25 Đặt t = x2 + Þ dt = xdx Khi x = Þ t = ; x = Þ t = 0.25 x ln( x +1) ln t dx = dt Khi I = ò ò ln 2 ln 2 (t - 1)2 x ìï ïï du = dt ïìï u = ln t ï ïï t dt Þ ïí í Đặt ïï dv = ïï ïïỵ ïï v = (t - 1)2 t- ïỵ ỉ ç ln t dt ÷ ÷ ç ÷ +ò çKhi I = ÷ ÷ ln ç t t ( t 1) ÷ ç è ø ỉ ç ln t 1 ÷ ç ÷ = + ò( - ) dt÷ ç÷ ÷ ln ç t t t ÷ ç è ø 5ư ỉ ç ln t t- ÷ ÷ ç ÷ = + ln ç÷ ÷ ln ç t t ç ç 2÷ è ø 0.25 log Gọi O giao điểm AC BD Do (SAC) (SBD) vuông góc với đáy nên SO vuông góc với đáy Do tam giác CBD vuông B nên SB ^ BC Suy ÐSBO góc (SBC) mặt phẳng đáy nên ÐSBO = 60o OB AB = = , suy Ta có hai tam giác OAB OCD đồng dạng nên OD CD a a OB = BD = Do SO = OB tan 60o = 3 a3 Suy V = B.h = 0.25 0.25 = 2- 0.25 0.25 S C D O A B Trang 3/6 Do BC ^ BD , BC ^ SO Þ BC ^ (SBD) Þ (SBC) ^ (SBD) Þ hình chiếu SD xuống ( SBC ) SB Vì góc SD ( SBC ) góc SD SB π Ta có ÐBSO = Trong tam giác vuông SOD , đặt ϕ = ÐDSO , ta có OD 2 π tan ϕ = = < = tan suy suy ϕ = arctan Mặt khác tan ϕ = OS 3 3 π ϕ < , ÐDSO nhọn π Vậy góc SD ( SBC ) ÐDSO + arctan 0.25 0.25 Để dễ nhìn, bất đẳng thức cần chứng minh viết lại n+1 a n + a n +1 ³ a 2( n+1) + a n+1 +1 (với a số thực không âm) Trường hợp a = , (1) hiển nhiên Trường hợp a > , (1) tương đương với n ln n a2n + a n + ³ ln ( ln ( a n ) + 1) ³ Û ln a2n + a n + Û 2n + an n Xét hàm số f ( x) = n+1 (1) a 2(n+1) + a n+1 + ( ) ³ ln a2(n +1) + a n+1 + ( n +1 ) ln a2( n+1) + a n+1 + ( ) ln a2 x + a x + x (2) n +1 , (x >0) Ta có x f '( x) = = = a2 x ln a2 + a x ln a a 2x x + a +1 ( ) - ln a2 x + a x + x2 ( ) x(a2 x ln a2 + a x ln a) - (a x + a x + 1) ln a x + a x + x2 (a2 x + a x + 1) ( ) ( ) ( ) a2 x x ln a2 - ln(a2 x + a x + 1) + a x x ln a - ln(a2 x + a x + 1) - ln a2 x + a x + Do x2 (a x + a x + 1) x ln a2 - ln(a2 x + a x + 1) = ln a2 x - ln(a x + a x + 1) < , x ln a - ln(a2 x + a x + 1) = ln a x - ln(a2 x + a x + 1) < , ( ) - ln a2 x + a x + < nên f '( x) < , " x > Suy f giảm (0; +¥ ) f (n) ³ f (n + 1) , " n ³ , BĐT (2) cần phải chứng minh 6a.1 Phương trình tắc (E') có dạng: với a > b > Do e = x2 a + y2 b =1, c2 a2 - b2 Þ = Þ = Þ a2 = 3b2 nên (1) viết lại a a (1) 0.25 0.25 Trang 4/6 x2 y2 = 3b2 b2 Do tính chất đối xứng elip nên tọa độ bốn giao điểm (E) (E') A( x0 ; y0 ), B(- x0 ; y0 ), C(- x0 ; - y0 ) D( x0 ; - y0 ) với ( x0 ; y0 ) nghiệm + 0.25 hệ ìï x2 y2 ïï + =1 ïï 2 b b í ïï x2 y2 ïï + =1 ïïỵ 28 21 (2) 0.25 2 Lại ABCD hình vuông nên x0 = y0 , vào hệ (2) ta x02 = y02 = 12 , b2 = 16 a2 = 48 x2 y2 Vậy phương trình tắc (E') + =1 48 16 u r 6a.2 Mặt phẳng (α) có pháp véc tơ n = (2; 0;1) 0.25 u r Đường thẳng (∆) qua A(0;1; - 2) có VTCP a = (2;1; 2) Do (β) vuông góc với (α) song song với (∆) nên (β) có pháp vec tơ ur u r u r ù p=é a , n ê ú= (1, 2, - 2) ë û Do phương trình (β) có dạng x + y - z + m = 0.25 Theo giả thiết 0.25 |6 + m | = Û m = Ú m = - 12 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm x + y - z = x + y - z - 12 = Giả sử z = x + yi , x, y Ỵ R Ta có z + i = x + ( y + 1)i , z - + i = ( x - 2) + (- y + 1)i d(∆, β) = Û d( A, β) = Û 7a Do | z + i | =| z - + i | Û x2 + ( y + 1)2 = ( x - 2)2 + ( y - 1)2 Û x+ y- 1=0 2 Ta có zz £ Û x + y £ Với số phức z = x + yi , x, y Ỵ R biểu diễn mp phức Oxy điểm M ( x, y) Từ (1) (2) ta thấy tập 0.25 0.25 (1) (2) 0.25 M biểu diễn mặt phẳng phức đoạn thẳng AB giao đường thẳng x + y - = hình tròn x2 + y2 = (với A(2;- 1) , B(- 1;2) ) Gọi D(5;0) , ta có | z - 5| = MD Ta có | z - | = MD zỴ M 0.25 M Ỵ AB Trang 5/6 MD = MA = 10 Do hình chiếu D không thuộc đoạn AB nên Mmin Ỵ AB 0.25 | z - | = 10 Vậy zỴ M 6b.1 Ta có (C) có tâm I (1, - 2) , R = 2 Do (d) qua M nên phương trình (d) có dạng m( x + 1) + n( y - 1) = hay mx + ny + m - n = 0.25 R sin ÐAIB nên để tam giác IAB có diện tích lớn 2 IA ^ IB hay d( I , d) = R =2 ém = 1, n = 2m - 3n Û = Û 12mn - 5n2 = Û ( ) Û ê êm = 5, n = 12 ë m + n2 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x = - x + 12 y - = uuur 6b.2 Ta có AB = (- 1; - 1; - 1) u r Đường thẳng (∆) qua C(1; - 1; 0) có VTCP a = (1; 3; - 1) Do (α) song song với AB (∆) nên (α) có pháp vec tơ u r uuur u r ù n=é êAB, ẳ= (4, - 2, - 2) ë û Do phương trình (α) có dạng x - y - z + m = Theo giả thiết d( A, α) + d( B, α) = d(∆, α) Û 2d( A, α) = d(C, α) (do d( A, α) = d( B, α) ) | m - 3| | m + 3| Û = Û m =1Úm = 6 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm x - y - z + = 2x - y - z + = 0.25 Ta có SIAB = 7b Điều kiện: z ¹ - =i i z1 = 0, z2,3 = ± 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 éz = - z4 ê = Û z = iz Û Ta có êz3 = - i + iz ê ë 3π 3π + i sin Ta có - i = cos 2 Giả sử z = r(cos ϕ + i sin ϕ) , suy z3 = r3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ) ìï r = ïìï r3 = ï ï ï Û í Ta có z = - i Û íï 3π ïï ϕ = π + k 2π , + k2π, kỴ Z ïï 3ϕ = ïïỵ ïỵ Kết hợp với điều kiện, ta có tất có ba số phức thỏa đề 1 0.25 0.25 kỴ { 0,1, 2} 0.25 - i 2 Trang 6/6 ... y0 ) nghiệm + 0 .25 hệ ìï x2 y2 ïï + =1 ïï 2 b b í ïï x2 y2 ïï + =1 ïïỵ 28 21 (2) 0 .25 2 Lại ABCD hình vuông nên x0 = y0 , vào hệ (2) ta x 02 = y 02 = 12 , b2 = 16 a2 = 48 x2 y2 Vậy phương trình... BĐT (2) cần phải chứng minh 6a.1 Phương trình tắc (E') có dạng: với a > b > Do e = x2 a + y2 b =1, c2 a2 - b2 Þ = Þ = Þ a2 = 3b2 nên (1) viết lại a a (1) 0 .25 0 .25 Trang 4/6 x2 y2 = 3b2 b2 Do... + k2π ê ê ê π 2 êx = + k2π ê ê π 4π ê + k2π êx = ê ë ìï x - y x +10 y = (1) ï í ïï x - x y - y = (2) ïỵ Điều kiện x ³ 2 y Ta có (2) Û - cos x = 2. 2 Ta có (1) Û x2 - y2 = (3) Thế x2 - y2 =