ôn luyện đạo hàm thi thpt quốc gia môn toán

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học PHẦN ÔN TẬP I – CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM  x   '  .x 1  u   '  .u 1.u ' x  x x u' u u'  u   x '    u '   '    x   '    u  x u u u u    u.v '  u '.v  v '.u  v   u '.v v v ' u  u  sin x  '  cos x  (cos x )'   sin x  sin u  '  u ' cos u  (cos x )'  u ' sin u u'   tan x  '   tan u  '  cos x cos2 u u'  cot x  '    cot u  '   2 sin x sin u Chuyên Đề  e  '  u '.e    a  '  a ln a  a  '  u '.a ln a  ex '  ex ' x  ln x  '  x  ln x  '   loga x  '  u' u u'  ln u  '  u  ln u  '  u'  loga u  '  x ln a u ln a ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Sự đồng biến – Nghịch biến hàm số    Bài Toán: Tìm m để hàm số đơn điệu [a,b] (a,b)  Lý thuyết giáo khoa: Cho hàm số y  f x , m  với m tham số, có tập xác định D  Hàm số y  f x, m  đồng biến D  y '  x  D  Tham số  Hàm số y  f x, m  nghịch biến D  y '  , x  D  Hàm số y  f x, m  đồng biến   y '  f '(x , m )  0, x    y '  x   Hàm số y  f x, m  nghịch biến   y '  f '(x, m )  0, x    max y '  x   Hàm số đồng biến  phải xác định   Phương pháp giải  Loại 1: Nếu y '  f '(x , m )  ax  bx  c thì: Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Để hàm số y  f x, m  đồng biến (tăng)  a    y '  f '(x , m )  0; x         Để hàm số y  f x, m  nghịch biến (giảm)  a    y '  f '(x , m )  0; x         Đối với hàm phân số hữu tỉ dấu “=” không xảy  Loại 2: Nếu y '  ax  b ; x  ;   thì: y '()   Để hàm số y  f x, m  đồng biến ;    y '  ; x  ;     y '( )   y '()   Để hàm số y  f x, m  nghịch biến ;    y '  ; x  ;     y '( )    Loại 3: Nếu y '  f '(x )  ax  bx  c y '  f '(x ) hàm khác, mà ta cần y '  f '(x )  hay y '  f '(x )  khoảng a,b đoạn a,b  (hoặc nửa đoạn hay nửa khoảng đó) Thì ta làm theo bước sau:  Bước 1: Tìm miền xác định y '  f '(x )  Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) khỏi biến x chuyển m vế Đặt vế lại g(x ) Lưu ý chuyển vế thành phân thức phải để ý điều kiện xác định biểu thức để xét dấu g '(x ) ta đưa vào bảng xét dấu g '(x )  Bước 3: Tính g '(x ) Cho g '(x )  tìm nghiệm  Bước 4: Lập bảng biến thiên g '(x )  Bước 5: Kết luận: “Lớn số lớn – Bé số bé” Nghĩa là: ta đặt m  g(x ) 1 m  g (x ) 2 dựa vào bảng biến thiên ta lấy giá trị m  số lớn bảng biến thiên ứng với 1 m  số nhỏ bảng ứng với 2  Loại 4: Tìm m để hàm số y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)  e Ta giải sau:  Bước 1: Tính y '  f '(x )  Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến:  a   1      Bước 3: Biến đổi x1  x  e thành x1  x   4x 1.x  e 2  Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m  Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm  Một số lưu ý giải toán Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học ☼ Lưu ý 1: Cần sử dụng thành thạo định lí Viét so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số  ☼ Lưu ý 2: Ta dùng dạng toán loại để giải toán tìm tham số m bất phương trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vô nghiệm 1, 2, …n nghiệm ỨNG DỤNG SỰ ĐƠN ĐIỆU - GIẢI PT - BPT  Cơ sở lý thuyết: Giả sử hàm số y  f x  tăng giảm khoảng a,b  ta có: f (u )  f (v )  u  v Giả sử hàm số y  f x  tăng khoảng a,b ta có: f (u )  f (v )  u  v Giả sử hàm số y  f x  giảm khoảng a,b  ta có: f (u )  f (v )  u  v Nếu y  f x  tăng a,b  y  g x  hàm hàm số giảm a,b phương trình f x   g x  có nhiều nghiệm thuộc khoảng a,b  Nói cách khác, có xo  a,b  cho f xo   g xo  phương trình f x   g x  có nghiệm a, b   Phương pháp giải: Giải phương trình: f x   g x   Bước 1: Chọn nghiệm xo phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0) Bước 2: Xét hàm số y  f (x ) C1  y  g(x ) C  Ta cần chứng minh hàm đồng biến hàm nghịch biến Khi C1  C2  giao điểm có hoành độ x o Đó nghiệm phương trình () Giải bất phương trình: f x   g x  Bước 1: Xét tính đơn điệu hàm số h x   f x   g x  h x   h x   x( 1h( biến) x )xđồng Bước 2: Chứng minh h(x ) hàm đơn điệu   h x   h x   x( 1h( biến) x )xnghịch Bài 2: Cực trị hàm số Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học     Tập hợp tâm đường tròn (quỹ tích tâm I đường tròn) y Để tìm tập hợp tâm I đường tròn C, ta làm theo bước sau y=  Bước Tìm giá trị m để tồn tâm I f(xo) a xo b x  f m   Bước Tìm toạ độ tâm I Giả sử: I  y  g m  Điểm cực tiểu Điểm Điểm cực tiểu cực đại Điểm cực đại  Bước Khử m x y ta phương trình F x; y  x  Bước Dựa vào điều kiện m bước để giới hạn miền x y  Bước Phương trình tập hợp điểm F  x; y  với phần giới hạn bước  Lý thuyết giáo khoa  Lưu ý: Để tìm tập hợp điểm đường tròn, ta thực tương tự bước  Khái niệm cực trị hàm số: Giả sử hàm số y  f (x ) xác định tập D D    xo  D   Vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C) x o điểm cực đại hàm số y  f (x )  a,b   D xo  a,b  cho Để biện luận số giao điểm đường thẳng  : Ax  By  C  đường tròn  C : x2  y2  2ax  2by  c  0, ta thực sau f (x )  f xo , x  a;b  \ xo  Khi đó: f xo  gọi giá trị cực đại y  f (x )   x o điểm cực tiểu hàm số y  f (x )  a,b   D xo  a,b  cho f x   f xo , x  a;b \ xo  Khi đó: f xo  gọi giá trị cực tiểu y  f (x )  Phương pháp So sánh khoảng cách từ tâm I đến  với bánI kính R R Nếu xo điểm cực trị hàm số y  f (x ) điểm xo ; f (xo ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số y  f (x )  Tính khoảng cách từ I đến   Xác định tâm I bán kính R C  Điều kiện cần để hàm số có cực trị (Định lý Ferman) Nếu hàm số y  f (x ) có đạo hàm xo đạt cực trị điểm f ' xo   Nghĩa hàm số y  f (x ) đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm  Điều kiện đủ để hàm số có cực trị  Định lý 1: Giả sử hs y  f (x ) liên tục khoảng a;b   x o có đạo hàm a, b  \  xo  ◊ Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua xo y  f (x ) đạt cực tiểu xo ◊ Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua xo y  f (x ) đạt cực đại xo x a b f '(x ) xo – f(a) y  f (x ) x + d  I;   R   tiếp xúc với C + d I;   R   C điểm chung   Phương pháp Toạ độ giao điểm (nếu có)  C nghiệm I R hệ phương trình: Ax  By  C    x  y2  2ax  2by  c     + Hệ  có nghiệm   cắt C hai điểm phân biệt + Hệ  có nghiệm   tiếp xúc với C + Hệ  vô nghiệm   C điểm chung + f(b)  Vị trí tương đối hai đường tròn C1  C2   I1 I2  R1  R  C1  tiếp xúc với C2  cực tiểu f(xo) a b + d I;   R   cắt C hai điểm phân biệt  I1 I2  R  R  C1  tiếp xúc với C2   I1 I2  R  R  C1  C2  xo Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia  I1 I2  R  R  C1  C2  Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 45 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học f/ Dạng C qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng  điểm B B  Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB   '  Bán kính I  d  g/ Dạng C qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 1 I  y '(xo )  y ''(x o )    y '(xo )   Tìm m để hàm số đạt cực tiểu xo   y ''(x o )    y '(x )  o  Hàm số đạt cực trị xo   y ''(x o )    Nếu y ' không đổi dấu qua nghiệm (nghiệm kép) hàm số cực trị 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 2 d 1, 2  , 2 thay bới I  d  1 h/ Dạng C tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 có tâm nằm đường 2 thẳng d I d  I,    d  I,    Tâm I C thoả mãn:  I  d   Bán kính R  d I, 1   d  I, 2   Đối với hàm bậc y '  có nghiệm phân biệt điều kiện cần đủ để hàm có cực trị  Không cần xét hàm số y  f (x ) có hay đạo hàm điểm x  x o bỏ qua điều kiện “hàm số liên tục điểm xo ”  Nếu x o điểm cực trị ta tính giá trị cực trị cách thay x o vào y  f (x )  yo  f (x o ) thay x o vào phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị:  Hàm bậc ba: y  f x   ax  bx  cx  d d i/ Dạng C qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) o Chia f (x ) cho f '(x ) ta được: f (x )  Q(x ).f '(x )  Ax  B Cách  Phương trình C có dạng: x  y  2ax  2by  c  y1  f x   Ax  B  o Khi đó, giả sử x1, y1  , x , y2  điểm cực trị thì:  y2  f x   Ax  B   Các điểm x1, y1  , x 2, y2  nằm đường thẳng y  Ax  B đường thẳng nối  B  Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào  ta hệ phương trình ẩn a, b, c  Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c  phương trình IC Cách IA2  IB2 IA  IB   Tâm I C thoả mãn:   IA  IC IA  IC2    Bán kính R  IA  IB  IC A hai điểm cực trị hàm số bậc ba y  f x   ax  bx  cx  d B  Q(x ) ax  bx  c  P (x ) dx  e Q ' xo  P ' xo  o Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: Q ' x  2ax  b 2a b y   x    P' x d d d F (Lấy đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu  Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị) I E Hàm số phân thức y  f (x )  o Giả sử xo , yo  điểm cực trị yo  j/ Dạng 10 C nội tiếp tam giác ABCA B Định lý 2: Giả sử hàm số y  f (x ) có đạo hàm a; b   xo ; f ' xo   f ''xo 0 ◊ Nếu f '' xo   y  f (x ) đạt cực đại xo ◊ Nếu f '' xo   y  f (x ) đạt cực tiểu xo  Tìm m để hàm số đạt cực đại xo    o Muốn bỏ dấu giá trị tuyệt đối 1 , ta xét dấu miền mặt phẳng định 1 f(b)  Một số lưu ý giải toán A Lưu ý o Nếu 1 // 2, ta tính R  – d  Xác định tâm I  d   ' 2 f(a) A 1 2 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học f(x o) cực đại y  f (x ) I  Viết phương trình đường thẳng  qua B   d I,    d I,    Tâm I C thoả mãn:  d I, 1   IA   Bán kính I  d  VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 f '(x ) +  Phương pháp giải  Hàm số y  f (x ) có n cực trị  y’ = có n nghiệm phân biệt C  Đối với hàm bậc bốn trùng phương dạng: y  ax  bx  c a  0 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 44 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học x   Ta có: y '  4ax  2bx  x 4ax  2b   y '     4ax  2b 1 b   Hàm số có cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt khác    a.b   Khi đó: Hàm số có cực tiểu, cực đại a  Hàm số có cực đại, cực tiểu a  VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 ĐƯỜNG TRÒN   Xác định tâm bán kính đường tròn  Nếu phương trình đường tròn có dạng C :  x  a   y  b  R C có tâm  Hàm số có cực trị (1) có nghiệm kép vô nghiệm có nghiệm x  I a;b bán kính R    a.b      y 0  b    Khi đó: Hàm số có cực tiểu a  (nghĩa có cực tiểu mà cực đại) Hàm số có cực đại a  (nghĩa có cực đại mà cực tiểu)  Đối với hàm bậc bốn dạng: y  ax  bx  cx  d x0  Ta có: y '  4ax  3bx  2cx  y '     4ax  3bx  2c  2 9b  32ac   Hàm số có cực trị (2) có hai nghiệm phân biệt khác    c   Khi đó: Hàm số có cực tiểu, cực đại a  Hàm số có cực đại, cực tiểu a   Hàm số có cực trị (2) có nghiệm kép vô nghiệm có nghiệm 0 9b  32ac    x 0  y 0   c    Khi đó: Hàm có cực tiểu a  (nghĩa có cực tiểu mà cực đại) Hàm số có cực đại a  (nghĩa có cực đại mà cực tiểu)  Nếu phương trình đường tròn có dạng C : x2  y2  2ax  2by  c  tâm I xác 2a  a  định     I a; b bán kính R  a  b2  c  2b  b     Lưu ý  Nếu Cm  : x  y2  2ax  2by  c  phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện: a  b2  c   Điều kiện đường thẳng tiếp xúc với đường thẳng Δ d  I,   R  Lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn C ta thường cần phải xác định tâm I a; b bán kính R C Khi phương trình đường tròn C C :  x  a  y  b  R 2 a/ Dạng C có tâm I a;b qua điểm A x A ; yA  I R A  Tâm I a;b  Một số lưu ý giải toán  Bán kính R  IA b/ Dạng C có tâm I a;b tiếp xúc với đường thẳng Δ  Lưu ý 1: Hoành độ cực trị thường nghiệm phương trình bậc Do đó, ta cần phải nắm vững kiến thức phương trình bậc như: Định lý Viét, so sánh nghiệm phương trình bậc với số  bất kỳ, điều kiện có nghiệm phương trình, … đồng thời, liên quan đến số tính chất hình học phẳng (xem phần ôn tập hình học phẳng trang 5) ax  bx  c  Lưu ý 2: Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d hàm hữu tỉ y  có cực đại a 'x b ' a  cực tiểu (2 cực trị)  y '  có hai nghiệm phân biệt       ax  b ax  bx  c  Lưu ý 3: Để A B thuộc hai nhánh đồ thị dạng y  y  điểm cx  d ex  d A B phải nằm hai phía so với đường tiệm cận đứng tương ứng đồ thị Δ R  Tâm I a;b I  Bán kính R  d I,  c/ Dạng C có đường kính AB I  Tâm I trung điểm AB A B R AB  Bán kính R  Δ d/ Dạng C qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳngAΔ  Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB  Xác định tâm I  d    Bán kính R  IA d I  Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB Trong mặt phẳng Decac Oxy cho: I  d   Tâm I C thoả mãn:  d  I,   IA Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt  Quốc Gia  Bán kính R  IA R B e/ Dạng C qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng   KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia Thầy Chinh - Phù thủy dạy học A d R I 43 B VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Các toán dựng tam giác Đó toán xác định toạ độ đỉnh phương trình cạnh tam giác biết số yếu tố tam giác Để giải loại toán ta thường sử dụng đến cách dựng tam giác Ta thường gặp số loại sau o  C'  Dựng AB qua B vuông góc với CC B  Dựng AC qua C vuông góc với BB Đường tròn C m  : (x  a)  y  b   R hay C m  : x  y  2ax  2by  c  có tâm 2 (khoảng cách hai điểm A, B) x  xA x  xA Để ba điểm A x A, yA  ; B x B , yB  C xC , yC  thẳng hàng  B  C yB  yA  yC  yA   Khoảng cách từ điểm M xo , yo đến đường thẳng  : ax  by  c  là: d M ,   C ax o  bx o  c a  b2  Để A B đối xứng qua đường thẳng    đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB  Xác định tọa độ A  AB  AC   1 AB.AC sin A  AB AC  AB.AC 2 1 abc  p p  a p  b  p  c   a.ha  b.hb  c.hc   pr 2 4R  Dựng AB qua A vuông góc với CC A  Dựng AC qua A vuông góc với BB  Xác định B  AB  BB ', C  AC  CC ' N  M c/ Loại Dựng ΔABC, biết đỉnh A, đường thẳng chứa đường trung tuyến BM, CN B  G Để A B nằm hai phía khác đường tròn (1 điểm phía trong, điểm phía ngoài) A  PA /(Cm ).PB /(Cm )   x A2  yA2  2ax A  2byA  c x B2  yB2  2ax B  2byB  c   d1 A d2 Trong đó: R, r , p bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp nửa chu vi Để A B nằm phía (khác phía) so với đường thẳng   ax A  byA  c  ax B  byB  c   Để A B nằm phía so với đường thẳng   ax A  byA  c  ax B  byB  c    PA /(Cm ).PB /(Cm )   x A2  yA2  2ax A  2byA  c x B2  yB2  2ax B  2byB  c    Dựng dB qua A song song với CN  Dựng dC qua A song song với BM Bài 3: Giá trị lớn (GTLN – max) Giá trị nhỏ (GTNN – min) hàm số    I AC d/ Loại Dựng ΔABC, biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, J trung điểm M cạnh BC  Xác định A  AB  AC B   Để A B nằm đường tròn hay nằm đường tròn C  Xác định trọng tâm G  BM  CN  Xác định A đối xứng với A qua G (  BA // CN, CA // BM)   Diện tích ΔABC: S ABC  b/ Loại Dựng ΔABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường cao BB, CC  Xác định B  BM  d B , C  CN  dC Thầy Chinh - Phù thủy dạy học I a,b  bán kính R  a  b  c  2  Véctơ AB  x B  x A; yB  yA   Độ dài đoạn thẳng AB  x B  x A   y B  yA  a/ Loại Dựng ΔABC, biết đường thẳng chứa cạnh BC hai đường A cao BB, CC B'  Xác định tọa độ điểm B  BC  BB ', C  BC  CC ' VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 o Bốn điểm: A x A, yA  , B x B , yB  , C xC , yC  M xo , yo  o Đường thẳng  : ax  by  c  max f x   M , f x   M C M  Dựng d1 qua M song song với AB  Dựng d2 qua M song song với AC  Xác định trung điểm I AC : I  AC  d1  Xác định trung điểm J AB : J  AB  d2 d1 d3  Vị trí tương đối – Khoảng cách – Góc  Xem lại lí thuyết f x   n, f x   m d2  Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta thực sau + Tìm giao điểm hai ba đường thẳng – Dạng toá: Tìm GTLN GTNN dựa vào định nghĩa tính chất + Chứng tỏ đường thẳng thứ ba qua giao điểm  Phương pháp giải Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 42  Cách 1: Dùng bảng biến thiên để tìm max – Phương pháp thường dùng cho toán tìm GTLN GTNN khoảng Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Bước 1: Tính f ' x  VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học Dạng toán Lập phương trình đường thẳng số toán liên quan  Bước 2: Xét dấu f ' x  lập bảng biến thiên  Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận  Cách 2: Thường dùng tìm max – hàm số liên tục đoạn a, b   Lập phương trình đường thẳng  Bước 1: Tính f ' x    Qua M x ; y   o o  PTTQ d : A  x  x o   B  y  y o     VTPT n  A; B d    Bước 2: Giải f ' x   tìm nghiệm x i i  1, n đoạn a, b  (nếu có)  Bước 3: Tính f a , f b , f x1 , f x , , f x n  Lập phương trình đường thẳng d  Bước 4: So sánh giá trị vừa tính kết luận     max f x  max f a , f b , f x , f x , , f x       1  2  n    [a,b ]  min f x   f a , f b , f x , f x , , f x  n   [a,b ] A x ; y  x  xA x  xA A A Qua  d:  B ,  yB  y A  B x B ; yC  y  yA yB  yA  Một số lưu ý:  x y  Đường thẳng  qua điểm A a; 0 , B 0; b a, b  0   :   a b  Đường thẳng  qua M o x o ; yo  có hệ số góc k   : y  k x  x o   yo  Một số lưu ý giải toán   Lưu ý 1: Phương trình f ' x  phương trình mũ, logarit, đại số, lượng giác, … Do đó, cần nắm vững kiến thức cách giải phương trình loại  Lưu ý 2: Đối với hàm lượng giác dạng: y  a1 sin x  b1 cos x  c1 a2 sin x  b2 cos x  c2   Đường thẳng  // d : Ax  By  C  có phương trình:  : Ax  By  D  x  2t t2  Đặt t  tan    sin x  ; cos x     t2  t2    Thay vào  , ta hàm hữu tỉ đại số dạng: f t   x  x  u t   o  PTTS d :   t    • Qua M x ; y   y  y  u t   o o o      • VTPT u  u ; u   d   PTCT d : x  x o  y  yo  u1 u2   Đường thẳng   d : Ax  By  C  có phương trình:  : Bx  Ay  D  at  bt  c  Bậc hai a ' t  b 't  c ' Bậc hai  Trong nhiều trường hợp đặc thù, để xác định phương trình đường thẳng sử dụng: + Phương trình chùm đường thẳng + Phương trình quỹ tích  Lưu ý 3: Khi toán yêu cầu tìm max – không nói tập ta hiểu tìm max – tập xác định D hàm số  Ta chuyển đổi phương trình tham số, tắc, tổng quát đường thẳng  Lưu ý 4: Để tìm tham số m, n hàm số f (x , m, n ) với x biến số cho f (x , m, n ) có  Để  : Bx  Ay  D  phương trình đường thẳng A2  B2  max f (x , m, n )  a f (x , m, n )  b Ta làm sau:  Một số toán thường gặp khác  Bước 1: Hàm số cho xác định liên tục D mà đề cho ta tìm a/ Tìm điểm cố định họ đường cong (thẳng) Cm  : y  f x; m Hàm số có giá trị lớn a  f (x , m, n )  a  x  D : f (xo , m, n )  a có nghiêm xo   Bước Gọi M  x o ; y o   C m   y o  f x o ; m  Giải tìm điều kiện kết hợp đánh giá hai vế đẳng thức:  Bước Biến đổi  dạng  Bước Tọa độ điểm cố định: A  B  A  B (1)  A  B    Am  B  1 (biến số m)    Am  Bm  C  2 A  + Nếu  biến đổi 1 tọa độ thỏa   B    Bước 2: Hàm số có giá trị nhỏ b  f (x , m, n )  b Tương tự ta phương trình (2)  A   + Nếu  biến đổi 2 tọa độ thỏa B   C   x  D : f (xo , m, n )  b có nghiêm x o  1  Bước 3: Giải hệ phương trình   m, n cần tìm 2   Lưu ý 5: Ta tìm GTLN GTNN hàm số cách dùng miền giá trị (đk có nghiệm) Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 41 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học Đặt vấn đề: Tìm max – hàm số y  f (x ) miền D cho trước ?  Bước 1: Gọi yo giá trị tùy ý f (x ) D, hệ phương trình (ẩn x)  Góc hai đường thẳng  f x   yo  sau có nghiệm:    Cho hai đường thẳng 1 : a1x  b1y  c1  có VTPT n1  a1; b1  đường thẳng  2 : a2 x  b2 y  c2  có VTPT n  a ; b2    n1 n2       n1, n2 n , n2  900   Lúc đó: 1, 2      1800  n , n n , n  90 2    n1.n2 a1b1  a2b2    cos 1, 2  cos n1, n2     n1 n2 a12  b12 a 22  b22            x  D   Bước 2: Tùy theo điều kiện hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m  yo  M 3 Vì yo    min f (x )  m giá trị f (x ) nên từ 3 ta suy được:  D max f (x )  M  D Δ1  Δ2  Lưu ý     + Nếu 1  2  n1  n2  n1.n2   a1a  b1b2  Bài toán Giao điểm hai đồ thị  : y  k x  m  //   k  k k  k2  1 2 + Nếu   tan 1, 2      k1k2  : y  k2 x  m2   2  k1.k2  1    Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng  : ax  by  c  M x o ; yo   d Mo ,   ax o  by o  c a  b2  Lưu ý 2: Định lí Viét phương trình bậc ba: ax  bx  cx  d  0, a  0 Nếu phương trình bậc ba dạng ax  bx  cx  d  0, a  0 có ba nghiệm phân biệt x1, x 2, x Cho đường thẳng  : ax  by  c  hai điểm M x M ; yM , N x N ; y N     x  x  x   b  a  c x1x  x 2x  x 3x1   a   x 1x 2x   d  a + M, N nằm phía   ax M  by M  cax N  by N  c  + M, N nằm khác phía   ax M  byM  cax N  byN  c   Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng 1 : a1x  b1y  c1  2 : a2 x  b2 y  c2  cắt a 12  b12  a x  b2 y  c a 22  b22  t1  t2 t1  t2  t1  t2 t1  t2 Trong đó: t1  a 1x  b1y  c1 2 a b ; t2  a x  b2 y  c2 a 22  b22 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia  x 12  x 22  x 32  x1  x  x   x1x  x 2x  x 3x1   Lưu ý 4: Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba dạng y  f x   ax  bx  cx  d C  cắt trục hoành Ox n điểm phân biệt (Phương pháp cực trị) Lúc đó, phương trình hoành độ giao điểm: ax  bx  cx  d   Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 2 là: a 1x  b1y  c1 Để C  cắt C  n điểm phân biệt  phương trình hoành độ giao điểm [phương trình () ] có n nghiệm phân biệt  Lưu ý 1: Nếu hai đồ thị có dạng hữu tỉ có TXĐ D   \  Khi đó, để C1  cắt C2  n điểm phân biệt  phương trình hoành độ giao điểm [phương trình () ] có n nghiệm phân biệt    Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng: d: Cho C1  : y  f (x ), C  : y  g(x ) Phương trình hoành độ giao điểm C  C  f (x )  g (x ) () y  f x   yCÐ yCT   y  f x    Để C  cắt Ox điểm phân biệt   có nghiệm phân biệt   yCÐ yCT   (lúc đồ thị C  tiếp xúc với trục hoành Ox )  Để C  cắt Ox điểm phân biệt   có nghiệm phân biệt    40 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  y  f x     Để C  cắt Ox điểm   có nghiệm   y  f x   yCÐ yCT    Để C  cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương   có nghiệm dương phân biệt VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717  Nhận xét VTPT n  a; b     + Nếu  có phương trình: ax  by  c   có  VTCP u  b; a    VTCP u  b; a  y  f x   y y    CÐ CT xCÐ  0, xCT   a.f 0  hay a.d  0  Để C  cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ âm   có nghiệm âm phân biệt  + Nếu  qua M o x o ; y o  có VTPT n   a; b phương trình   : a x  x o   b  y  y o   + Đường thẳng  qua hai điểm A a; 0, B 0; b a, b  0 Phương trình  : x y   a b Được gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn y  f x   y y    CÐ CT xCÐ  0, xCT   a.f 0  hay a.d  0 + Đường thẳng  qua điểm M o x o ; y o  có hệ số góc k Phương trình  : y  k x  x o   y o Được gọi phương trình đường thẳng theo hệ số góc k + Một số trường hợp đặt biệt: Học sinh tự vẽ hình  Lưu ý 5: Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương y  ax  bx  c C  cắt trục hoành Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng (cách nhau) ? Phương trình hoành độ giao điểm: ax  bx  c  1 Đặt t  x  Lúc đó: 1  at  bt  c  2 Để C  cắt trục hoành Ox điểm phân biệt  1 có nghiệm phân biệt     2 có hai nghiệm phân biệt dương   t1  t2    S   tham số 3  P   Gọi t1, t2 hai nghiệm phân biệt 2 Lúc đó, nghiệm phân biệt 1 là: Phương trình đường thẳng  Tính chất đường thẳng  c0 ax  by   qua gốc toạ độ O a0 by  c   // Ox   Ox b0 ax  c   // Oy   Oy  Cho hai đường thẳng 1 : a1x  b1y  c1  2 : a2 x  b2 y  c2  a x  b y  c  1  Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình  a x  b2y  c2   Do nghiệm lập thành cấp số cộng (hay cách đều)   t1  t2  t1  9t1  t2 Kết hợp định lí Viét, ta tìm tham số So với 3  giá trị tham số thỏa yêu cầu toán Đặt D  a1 b1 a2 b2  a b2  a b1 , D x  b1 c1 b2 c2  b1c2  b2 c1, Dy  + 1 cắt 2  hệ  I có nghiệm  D   + TIẾP TUYẾN     y  k x  x   y  với k Các hệ số  Vị trí tương đối hai đường thẳng  t2 ,  t1 , t1 , t2 (nên xếp theo thứ tự từ bé đến lớn)  Thầy Chinh - Phù thủy dạy học 1 // 2   a1 a2   b1 b2 c1 a1 c2 a2  I  c1a  c2a1  hệ I vô nghiệm  D  Dx  hay Dy   a1 a2  b1 b2  c1 c2 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong C điểm M xo , yo :  Phương trình tiếp tuyến có dạng Pttt :  tt o o tt  f ' x o     Tính y '  f ' x  ktt  f ' x o  Thay xo , yo , ktt vào   Phương trình tiếp tuyến cần tìm Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 10 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 39 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Lưu ý: Viết Pttt tìm ba thành phần xo , yo , ktt Một số cách tìm hệ số góc ktt thường gặp:    Vectơ phương đường thẳng o Nếu Pttt //  : y  ax  b  ktt  k  a  f ' x o  x o  yo    Vectơ u  gọi véctơ phương  VTCP đường thẳng  giá   u song song trùng với Δ Kí hiệu VTCP u  Δ  u  Nhận xét   + Nếu u VTCP  ku k  0 VTCP  o Nếu Pttt   : y  ax  b  ktt       Nếu M x , y   C   Ox  y 1    f ' x o   x o  yo k a     x  f ' x  Nếu Pttt tạo với chiều dương Ox góc  k  f ' x   tan   x o Nếu M xo , yo  C  Oy  x o   yo  f ' x o o o o o o o o tt + Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP o Nếu Pttt tạo với  : y  ax  b góc   Vectơ pháp tuyến đường thẳng    n  Vectơ n  gọi véctơ pháp tuyến  VTPT đường thẳng  giá  vuông góc với  Kí hiệu VTPT n Δ   o o o o o o   Bước 1: Gọi Pttt có dạng Pttt : y  ax  m  y  C   Bước 2: Áp dụng điều kiện tiếp xúc:    ytt a y 'C   y 'tt   Bước 3: Do Pttt qua M nên ta thay tọa độ M vào 1  m  Nhận xét x  x  tu y y o + M  x; y    t   :  hay M  x o  tu1; y o  tuv2     y  y o  tu2 v  α O A α x + Gọi k hệ số góc  O Chuyên Đề HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT x A : o o x  x  tu o ( t tham số) t    :  y  yo  tu2  u     Bước 2: Tính y '  f ' x  Tìm y , f ' x  theo x thay y , f ' x  vào phương trình  ta phương trình   Bước 3: Do Pttt qua điểm M nên thay tọa độ M vào phương trình   Giải phương trình ta tìm x  y  f ' x  Cách 2:   Cho đường thẳng  qua M o x o ; yo  có VTCP u  u1; u2  Phương trình tham số ● k ktt  a  tan   xo  yo  ktt a Viết phương trình tiếp tuyến đường cong C  , biết tiếp tuyến qua điểm M cho trước:   Phương trình tham số đường thẳng u2  yo  Bước 1: Pttt cần tìm có dạng: y  f ' xo x  xo  yo + Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT     + Nếu u VTCP n VTPT  u  n Δ o Cách 1:  Nhận xét   + Nếu n VTPT  kn k  0 VTPT      xAv ● k  tan  với    90o  o Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC Δ    Kiến thức Gọi a b số thực dương, x y số thực tùy ý với u1  x  xo y  yo  u1 u2  u1  0, u2  0 n số a  Trong trường hợp u1  u2  đường thẳng phương trình tắc  Phương trình tổng quát đường thẳng  Phương trình: ax  by  c  với a  b2  (a, b không đồn thời  ) gọi phương trình tổng quát đường thẳng Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia a n  a a.a a 38  a x a y  a x y  x  x a     a  b  bx x y y  a  ax ax  a x y  a n  n y a a   u x    x  , u x    x    a    a.b  x y x    ay x  a x b x  a x y  n a n b  n ab   n Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia a m  n am 11 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Bài 2: LOGARIT Thầy Chinh - Phù thủy dạy học    VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học Nếu P   Hai điểm A, B nằm bên so với đường thẳng d Nếu P   Hai điểm A, B nằm hai bên so với đường thẳng d Kiến thức  Tìm điểm M x, y  d : Ax  By  C  để MA  MB a/ Định nghĩa a  0, a   Với a  0, a  1, b  ta có: loga b    a   b Chú ý: loga b có nghĩa   max + Trường hợp Hai điểm A, B nằm bên so với đường thẳng d b   MA  MB  AB  MA  MB  Logarit thập phân: lg b  log b  log10 b max  Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b  loge b  M  M  d  AB o  AB   M, A, B  + Trường hợp Hai điểm A, B nằm hai bên so với đường thẳng d b/ Tính chất Dựng A' điểm đối xứng điểm A qua d, đó: Cho a  0, a  b, c  Khi đó: Nếu  a  Nếu a  loga b  loga c  b  c MA  MB  AB  MA'  MB  AB  MA  MB loga b  loga c  b  c  loga   loga a   loga a b  b  a log b  b max  AB  M  M o  d  A ' B Gọi H x H ; y H  hình chiếu A lên đường thẳng BC        AH.BC  AH  BC Tọa độ điểm H thỏa hệ phương trình:      B, H, C BH, BC   Để tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua BC  H trung điểm AA' Cho a  0, a  b, c  Ta có:  loga b    loga b  MA ' MB c/ Dạng toán Tìm hình chiếu vuông góc A x A ; y A  lên BC với B x B ; y B ,C x C ; y C  a c/ Các qui tắc tính logarit  loga b.c   loga b  loga c max b   loga    loga b  loga c c   loga b  loga b  d/ Các công thức đổi số Cho a, b, c  a, b  Ta có:  loga c  loga b logb c  loga c loga b logb c   loga b    logab c  loga b ,   0   loga b  ln b , loga b  logb a ln a  log b   loga b a 1  loga c logb c  a log c log a b c b 1.3/ Đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp   x   .x , x  0 a   a ln a  x ' '  1 x Đạo hàm hàm số hợp    a   a ln u.u ' '  u   .u 1.u ' u ' Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia u 12 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 37 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Để xác định tâm I bán kính đường tròn R ngoại tiếp ΔABC VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 AI2  BI2  + Tâm I thỏa  Giải hệ tìm I x I ; y I  AI  CI2  + Bán kính R  AI  x  x A   y I  y A  I  e   e  log x   x ln1 a  ln x   x , x  0 x + Để D chân đường phân giác ΔABC  AB   BD   CD AC  '  loga u '   n x '  n.n x n 1   u uln' a '  ln u   ' u' u Với x  n chẳn Với x  n lẻ    n u' ' u  n.n u n 1  Đưa số:  MA  MB b/ Dạng toán Véctơ phương (thẳng hàng) – Tìm điểm M  d để   MA  MB max    Để A x A ; yA , B  x B ; y B , C x C ; y C  thẳng hàng  AB, AC phương   x  xA y  yA  AB  k.AC  B  B xC  xA yC  y A Dùng công thức mũ lũy thừa đưa dạng a Với a  0, a  a  f x  a g x  f x  a g x   f x   g x     a  Trường hợp số a có chứa ẩn thì: a M  a N  a  M  N    M  N  Logarit hóa: a f x   b gx   loga a f x   loga b gx   f x   loga b  g x  ĐẶT ẨN PHỤ  Tìm điểm M x, y  d : Ax  By  C  để tổng MA  MB đạt giá trị nhỏ Đây toán bất đẳng thức tam giác, cần phân biệt hai trường hợp:   Dạng 1: P a + Trường hợp Hai điểm A, B nằm khác bên so với đường thẳng d f (x )  t  a f (x ), t   0 P t       Cách Sử dụng véctơ phương  Dạng 2: .a f (x )   ab  A C  Gọi M  x o ;  x o    d : Ax  By  C   B B  '  e u  eu u ' PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI + Để E chân đường phân giác ΔABC  AB   EB  EC AC  Để tổng MA  MB   x a Lưu ý:  Tọa độ chân đường phân giác ' Thầy Chinh - Phù thủy dạy học f (x )  .b f (x )  f (x ) a   Chia hai vế cho b f (x ) , đặt ẩn phụ t     b   M  M o  M, A, B thẳng hàng  M  (chia số lớn nhất) t Dạng 3: a f (x )  b f (x )  m với a.b  Đặt t  a f (x )  b f (x )  + Trường hợp Hai điểm A, B nằm bên so với đường thẳng d  Dựng A' đối xứng với A qua d  A ' ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ  Trong ΔAMB, ta có: MA  MB  AB  MA ' MB  AB  Do đó, MA  MB Xét phương trình: f x   g x   AB  M  Mo  d  A ' B  MA ' MB  Đoán nhận x o nghiệm phương trình 1 (thông thường số lân cận số 0)  AB    Dựa vào tính đồng biến nghịch biến f x g x để kết luận x o nghiệm nhất:  Lưu ý   o f x  đơn điệu g x   c (hằng số) Nếu f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) D u, v  D f u   f v   u  v o f x đồng biến g x nghịch biến (hoặc đồng biến nghiêm ngặt) Để xét xem hai điểm A x A ; y A , B x B ; y B  nằm bên hay nằm hai bên so với đường thẳng d : Ax  By  C  ta cần tính: P  Ax A  By A  CAx B  By B  C Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 1   Lưu ý: 36 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 13 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717  Hàm số bậc nhất: y  ax  b , a   Thầy Chinh - Phù thủy dạy học Hàm số mũ: y  a  Đồng biến khi: a   Nghịch biến : a  x PT - BPT MŨ VÀ LOGARIT CÁCH GIẢI GIỐNG NHAU NHÉ KHỐI ĐA DIỆN  Gọi G x G ; yG  trọng tâm ΔABC, lúc này: xG  1/ Các hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, AH đường cao, AM đường trung tuyến Ta có:  BC  AB  AC Pitago   AH BC  AB.AC  AB  BH BC , AC  CH CB 1    , AH  HB.HC 2 AH AB AC BC  AM  C H M c b2  c2  a 2bc a  c2  b2  b  a  c  2ac cos B  cos B  2ac a  b2  c2  c  a  b  2ab cosC  cos C  2ab  a  b  c  2bc cos A  cos A  b a B C R a ; yI  yA  y B  yC    Cho điểm M x M ; y M  tọa độ điểm  M1 đối xứng với M qua trục hoành Ox  M1  x M ; yM   M đối xứng với M qua trục tung Oy  M2 x M ; y M   M  Ox  M x M ; 0 M  Oy  M 0; y M  a b c    2R sin A sin B sin C b B x A  x B  xC yA  y B  M đối xứng với M qua gốc tọa độ O  M3 x M ; y M  b) Định lí hàm số sin A c ; yI    a  b 1  Điều kiện để a  a1 ; a , b  b1; b2    (hoành  hoành, tung  tung)  a  b2    x  x x  xA y  yA A  Để ba điểm A, B, C thẳng hàng AB  k.AC  B với  C  B yC  y A xC  x A yC  y A       a1b1  a 2b2 a.b  Góc hai véctơ a, b : cos φ  cos a, b     a12  a22 b12  b22 a.b 2/ Các hệ thức lượng tam giác thường a) Định lí hàm số cosin A x A  xB x  kx B y  kyB  Gọi M x M ; yM  chia đoạn AB theo tỉ số k, k  1 Khi đó: x M  A ; yM  A 1k 1k    a  b  a  b1;a  b2  (hoành  hoành ; tung  tung)  véctơ   k.a  k.a1 ; ka  với k     a.b  a1b1  a2b2 (hoành nhân hoành  tung nhân tung)  số     a a  Để a  a1;a , b  b1;b2  phương  a  kb    a 1b2  a b1  b1 b2     Điều kiện để a  a1;a , b  b1;b2  vuông góc  a.b   a1b1  a b2  HÌNH HỌC PHẲNG B Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A x A ; yA , B x B ; yB , C xC ; yC  hai véctơ  Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Lúc đó: x I  ÔN TẬP A Thầy Chinh - Phù thủy dạy học   a  a1; a , b  b1; b2  Khi đó:   Véctơ AB  x B  x A ; y B  y A   2  Độ dài đoạn AB  AB  x B  x A   y B  y A   Đồng biến khi: a   Nghịch biến khi:  a  Chuyên Đề VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717  Một số dạng toán (R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC) C M  d : y  ax  b  yM  ax M  b a/ Dạng toán Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ hay độ dài  Bước Giả sử M x; y  Bước Tọa độ hóa véctơ có đẳng thức sử dụng công thức khoảng cách hai điểm, để chuyển đẳng thức biểu thức đại số c) Công thức tính diện tích tam giác 1 S ABC  a.ha  b.hb  c.hc 2 1 c b  S ABC  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 abc  - Sthpt  , Gia S ABC  p.r CẩmBNang ôna thi điểm C Toán ABC Quốc 4R p – nửa chu vi  a  b  c   A  Bước Giải phương trình hệ trên, ta nhận tọa độ điểm M   Lưu ý    Để D đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD  AD  BC 14 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 35 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717  ● x  y  x y  x  xy  y2 x  Thầy Chinh - Phù thủy dạy học VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  xy  y ………………………………………………………… 3/ f  x; y  1 2 Hệ phương trình đối xứng loại II:  I   f  y; x  d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến tam giác A AB  AC BC BA2  BC AC  AM    BN   4 K N CA2  CB AB  CK   M B C Nhận dạng: Đổi chỗ ẩn hệ phương trình không thay đổi trật tự phương trình thay đổi  Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế phân tích thành nhân tử, lúc ta thu nhân tử  x  y tức có x  y Cụ thể bước sau: f x; y  f  y; x   f x; y   3 1  Trừ 1 2 vế theo vế ta được: I     3/ Định lí Talet x  y  Biến đổi 3 phương trình tích:  x  y g x, y    g x, y          M f x, y  f  x, y     Lúc đó:  I     x  y g x, y    AM AN MN   k AB AC BC  AM    k    AB   MN / /BC  A  N B S AMN S ABC (Tỉ diện tích tỉ bình phương đồng C  Giải hệ ta tìm nghiệm hệ  I 4/ Hệ phương trình đẳng cấp:  I 4/ Diện tích đa giác a x2  b xy  c y  d  1 1  2 a x  b2 xy  c2 y  d2  B a/ Diện tích tam giác vuông  Giải hệ x  (hoặc y  )  S ABC   Diện tích tam giác vuông ½ tích cạnh góc vuông C A   Khi x  0, đặt y  tx Thế vào hệ I ta hệ theo t x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo t Giải phương trình ta tìm t, từ tìm  x; y  b/ Diện tích tam giác Lưu ý: S   (cạnh)  Chiều cao tam giác đều: h  (cạnh) A c/ Diện tích hình vuông hình chữ nhật A Ở hệ đẳng cấp bậc hai, hệ đẳng cấp bậc ba bốn,… ta giải tương tự Chuyên Đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG & ỨNG DỤNG   Diện tích hình vuông cạnh bình phương A – TỌA ĐỘ VÉCTƠ – TỌA ĐỘ ĐIỂM  Đường chéo hình vuông cạnh nhân  Diện tích hình chữ nhật dài nhân rộng  Tọa độ Oxy B  Diện tích tam giác đều: h Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 34 B O D C A Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia B a C a d/ Diện tích hình thang AB.AC H  S ABC  a     a h   S HV  a   AC  BD  a  D S  C AD  BC  AH 15 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Diện tích hình thang: SHình Thang  (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 f  x; y  a  c/ Hệ dạng  m  fn x; y  fk x; y    C  S H Thoi A    Trong đó: với fm x; y , fn x; y , fk x; y biểu thức đẳng cấp bậc m, n, k thỏa mãn B  Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc ½ tích hai đường chéo  Hình thoi có hai đường chéo vuông góc trung điểm đường  Thầy Chinh - Phù thủy dạy học m n  k  AC BD  Phương pháp giải: D f x; y  a f x; y   a 1 m   m a.fn x; y  a.fk  x; y fm x; y .fn  x; y   a.fk x; y  2   Sử dụng kỹ thuật đồng bậc:      Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta chia đa giác thành hình đơn giản dễ tính diện tích, sau cộng diện tích chia này, ta diện tích đa giác Nói cách khác: kỹ thuật đồng bậc kết hợp hai phương trình (bằng phương pháp thế) để phương trình dạng: a.x k  bx n y m  c.x m y n  d.y k  Sau đó, đưa phương trình thành phương trình bậc hai hay phương trình tích số tìm mối liên hệ x y trực tiếp Kết hợp với phương trình lại  4 4x4  y4  4x  y 4x  y  4x  y 4x4  y4  x3  y3  xy2 4x  y   Thí dụ như:      x  y3  xy2   x  y3  xy2   3   x  y  xy     f  x, y  2/ Hệ phương trình đối xứng loại I:  I với f x, y  f y, x g  x, y   g  x, y   g y, x  Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn hệ phương trình không thay đổi trật tự phương trình không thay đổi  Phương pháp giải: S  x  y  Biến đổi tổng – tích đặt  đưa hệ II với ẩn S, P    P  xy       Giải hệ II tìm S, P điều kiện có nghiệm x; y S  4P  Tìm nghiệm  x; y  cách giải phương trình X  SX  P  nhẩm nghiệm với S, P đơn giản  Một số biến đổi đẳng thức hay dùng dạng để đưa tổng – tích:    2xy  S2  2P    3xy x  y   S3  3SP ● x  y2  x  y ● x3  y3  x  y  x  y ●  x  y  4xy  S2  4P  ● x  y  x2  y2 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 16   2x2 y2  S4  4S2P  2P2 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 33 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học Không có công cụ vạn việc xử lý hệ phương trình Ta phải vào đặc điểm hệ phương trình để phân tích tìm tòi lời giải Một số ý tưởng để giải hệ  Phương pháp thế, phương pháp cộng VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC 1/ Chứng minh đường thẳng d // mp() với d  ()  Chứng minh: d // d ' d '  ()    Chứng minh: d  ( )  // ()  Phương pháp đặt ẩn phụ  Chứng minh d () vuông góc với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  Sử dụng tính đơn điệu hàm số 2/ Chứng minh mp() // mp      Chứng minh mp() chứa hai đường thẳng cắt song song với mp   Sử dụng bất đẳng thức    Chứng minh mp() mp  song song với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  Sử dụng số phức lượng giác 3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng định lí sau   a // mp()     1/     a/ Hệ có chứa phương trình bậc  Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt chứa mp() lại a x2  b y2  c xy  d x  e y  1 1 b/ Hệ phương trình bậc hai có dạng:  a x  b2 y2  c2 xy  d2 x  e2 y   d // d '  Chứng minh:    d  mp   d '  mp    d  mp     d  mp    Chứng minh:  mp   // mp      Phương pháp giải:  Hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng  Kiểm tra xem y   x  có phải nghiệm không, nghiệm nhận nghiệm    P   thứ 3:     P         d   Với y  0, đặt x  ty (hoặc x  0, đặt y  tx ) Lúc đó: a y2 t2  b y2  c y2 t  d ty  e y    a1 y2 t2  b1 y2  c1 y2 t  d1 ty  e1 y   2 2 5/ Chứng minh đường thẳng d  d '        Chứng minh d     d '  Sử dụng định lý ba đường vuông góc  Chứng tỏ góc d d ' 900  Sử dụng hình học phẳng   d1t  e1   y   d1t  e1   d1t  e1  a 1t2  b1  c1t       t  y  x   d1t  e1  a 1t2  b1  c1t a t2  b2  c2 t y   a t2  b2  c2 t      d  P   Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến, vuông góc với mặt phẳng y2 a t2  b  c t  y d t  e   1  1   2 y a t  b  c t  y d t  e   2 1   Hai mặt phẳng song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song Hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng song song với Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, … 4/ Chứng minh đường thẳng d  mp    Phương pháp giải: Rút ẩn bậc theo ẩn thứ hai, vào phương trình   ()     b // a a  mp    Giải hệ phương pháp thế, phương pháp cộng      Hai mp(),  có điểm chung S chứa đường thẳng song song a,b ()    Sx // a // b HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN   Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 6/ Chứng minh mp    mp      d   Chứng minh   mp    mp   (chứng minh mp chứa đường thẳng vuông góc với mp kia) d      Chứng tỏ góc hai mặt phẳng 900  32 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 17 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 1/ Góc hai đường thẳng a' a  Là góc tạo hai đường thẳng cắt vẽ phương với hai đường thẳng đó: b'  a // a '   (a , b )  (a ', b ')    b // b '  2/ Góc đường thẳng d mặt phẳng mp   VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 B    A  B  A  B   A  B  b    d,    (d, d ')     (với d ' hình chiếu vuông góc d lên mp() )  d'  3/ Góc hai mp  mp     Là góc có đỉnh nằm giao tuyến u , cạnh hai góc nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến  u );    (a , b)   ( a  4/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: 5/ Khoảng cách hai đường thẳng song song:  B   Acó   A  B  B     A  B    AB    Lưu ý b M   B   A  B  A  B  A  B   ● Thay  Là khoảng cách từ điểm đường thẳng (mặt phẳng) đến đường thẳng (mặt phẳng) d' Dạng M 1 A3B 3C ● Ta có:  M 6/ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song A  B A  B    A  B Một số phương trình – Bất phương trình thường gặp khác Dạng H d  Đối với phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng chuẩn trên, ta thường sử dụng định nghĩa phương pháp chia khoảng để giải 3/ d M ,   MH A  B  A  BA  B  d  Là góc tạo đường thẳng hình chiếu mặt phẳng  Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng  Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  A3B   C  A  B  3 AB   A3B C 2 A  B  C vào 2 ta được: A  B  3 ABC  C  f  x   h x   g x   k x  f x   g x   h  x  k x  với   f  x h  x  g x .k x  ● Biến đổi dạng: f x   h x   g  x   k x   Là khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng ● Bình phương, giải phương trình hệ 7/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Lưu ý  Là độ dài đoạn vuông góc chung đường thẳng   Phương pháp biến đổi hai dạng đưa phương trình hệ Do đó, để đảm bảo không xuất nghiệm ngoại lai phương trình, ta nên thay kết vào phương trình đầu đề nhằm nhận, loại nghiệm xác  Là khoảng cách MH từ điểm M d đến mp  chứa d ' song song với d M d     Là khoảng cách hai mặt phẳng song song  ,  PHẦN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH chứa d d ' Một số ý tưởng giải hệ phương trình: d' Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 18 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 31 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  cos 2X  cos 2X sin 2X sin X cos X  vào 1 ; cos2 X  2 rút gọn lại, ta được: b sin 2X  c  a  cos 2X  2d  a  c  VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717  Bước 1: Thế sin2 X  HÌNH CHÓP ĐỀU 1/ Định nghĩa  Bước 2: Giải phương trình  , tìm nghiệm Đây phương trình bậc sin 2X Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy cos 2X (phương trình cổ điển) mà biết cách giải a.sin X  b.sin2 X cos X  c.sin X cos2 X  d.cos3 X   Dạng  2 a.sin X  b.sin X cos X  c.sin X cos X  d.sin X cos X  e.cos X 2 3 Nhận xét: Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy góc Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc Phương pháp: Chia hai vế 2  cho cos X (hay sin X ) chia hai vế 3  a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác S ABC Khi đó: CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ Đáy ABC tam giác Các mặt bên tam giác cân S Chiều cao: SO   SBO   SCO  Góc cạnh bên mặt đáy: SAO  Góc mặt bên mặt đáy: SHO I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương trình – Bất phương trình thức  B  A  B   A  B2   A   B   A  B   B   A  B2     B  A  B   A  B   B   A  B  A   A  B2  Tính chất: AO  AH , OH  AH , AH  A C O AB H B Lưu ý: Hình chóp tam giác khác với tứ diện + Tứ diện có mặt tam giác S đáy + Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên cạnh b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác S ABCD Đáy ABCD hình vuông A Các mặt bên tam giác cân S Chiều cao: SO   SBO   SCO   SDO  Góc cạnh bên mặt đáy: SAO  Góc mặt bên mặt đáy: SHO B B  A  B   A  B  D H O C Lưu ý Đối với phương trình, bất phương trình thức dạng chuẩn trên, ta thực theo bước: Bước Đặt điều kiện cho thức có nghĩa Bước Chuyển vế cho hai vế không âm 2/ Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc Phương trình – Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA HÌNH CHÓP 1/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao hình chóp độ dài cạnh bên vuông góc với đáy Bước Bình phương hai vế để khử thức 2/ S 2/ Hai hình chóp thường gặp cho cos X (hay sin X ) giải tương tự 1/ Thầy Chinh - Phù thủy dạy học 30 Ví dụ: Hình chóp S ABC có cạnh bên SA  ABC  chiều cao SA Ví dụ: Hình chóp S ABCD có mặt bên SAB  vuông góc với mặt đáy ABCD  chiều cao hình chóp chiều cao SAB Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 19 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học với đáy 3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Chiều cao hình chóp giao tuyến hai mặt bên vuông góc với đáy 4/ Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp đoạn thẳng nối đỉnh tâm đáy VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học a  b2  , ta được: a b c   2 sin x  2 cos x  2 a b a b a b a b  Đặt sin   ; cos   ,   0;2 Phương trình trở thành:   2 2 a b a b c c sin  sin x  cos  cos x   cos(x   )  biết cách giải a  b2 a  b2  Phương pháp 2:  Chia vế phương trình cho Ví dụ: Hình chóp S ABCD có hai mặt bên SAB  SAD  vuông góc với mặt đáy ABCD  chiều cao SA Ví dụ: Hình chóp tứ giác S ABCD có tâm mặt phẳng đáy giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD có đường cao SO   x x      k  x    k2 có phải nghiệm hay không ? Nếu phải 2 ghi nhận nghiệm x x   Với cos     k  x    k2 , ta đặt: 2  Kiểm tra xem cos t  tan x 2t  t2  sin x  , cos x  Thay vào phương trình, ta được:  t2  t2   (b  c)t    Vì x    k2  b  c  nên   có nghiệm khi:  '  a  2at  c  b   (c2  b2 )   a  b2  c2  Giải phương trình   , ứng với nghiệm t ta có phương trình: tan x tx D – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP   Dạng a.sin2 X  b.sin X cos X  c.cos2 X  d 1 a, b, c, d    Phương pháp Chia hai vế cho cos2 X (hay sin2 X ) cos X    k, k      Hay X  k có phải nghiệm sin x   phương trình 1 hay không ? Nếu phải ghi nhận nghiệm  Bước Kiểm tra xem X  cos X    k, k      Hay X  k Chia hai vế 1 cho sin x   2 cos X (hay sin X ), ta được: sin2 X sin X cos X cos2 X d 1  a cos2 X  b cos2 X  c cos2 X  cos2 X  a tan X  b tan X  c  d 1  tan X   Bước Khi X   a  d tan2 X  b tan X  c  d   Bước 3: Đặt t  tan X để đưa phương trình bậc hai mà biết cách giải  Phương pháp 2: Sử dụng công thức hạ bậc nhân đôi Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 20 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 29 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học a sin2 x  b sin x  c  a cos2 x  b cos x  c  t  sin x 1  t  t  cos x 1  t  a tan2 x  b tan x  c  t  tan x a cot2 x  b cot x  c  t  cot x VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN   k , (k  ) x  k , k   x S Nếu đặt t  sin x t  sin x điều kiện  t  1 1/ Thể tích khối chóp: V  B.h (tương tự cho cos ) D A B : Diện tích mặt đáy h : Chiều cao khối chóp Một số đẳng thức lượng giác mối liên hệ O B ●  sin 2x  sin2 x  cos2 x  sin x cos x  sin x  cos x  C ●  sin 2x  sin2 x  cos2 x  sin x cos x  sin x  cos x  A sin 2x 3 ● sin x  cos x  sin x  cos x 1  sin x cos x  ● sin x cos x  2/ Thể tích khối lăng trụ: V  B.h B : Diện tích mặt đáy h : Chiều cao khối chóp ● sin x  cos3 x  sin x  cos x 1  sin x cos x  ● ● ● ● sin x cos x sin x  cos2 x tan x  cot x     cos x sin x sin x cos x sin 2x 2 cos x sin x cos x  sin x cos 2x cot x  tan x      cot x sin x cos x sin x cos x sin 2x 1  1cos 4x sin x  cos x   sin2 2x   cos2 2x  2 4 2 2 cos x  sin x  sin x  cos x cos x  sin x  cos 2x   Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên V  a.b.c  cos 4x ● sin x  cos x  sin x  cos x  sin x cos x   sin2 2x  6 4 2 ● cos x  sin x  cos 2x sin x  cos x  sin x cos x 6 4  Thể tích khối lập phương:  A B C B A C A B C B c a 3/ Thể tích hình hộp chữ nhật:  C a a b a V  a3  S x  cos x     ● sin x  cos x  sin x    cos x       ●  tan x tan 4/ Tỉ số thể tích: cos x cos x  sin x  sin x ●    (mối liên hệ sinx cosx)  sin x cos x cos x 1  sin x  cos x 1  sin x  VS A ' B 'C ' VS ABC  C’ SA ' SB ' SC ' SA SB SC A B C 5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC C – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS (PT CỔ ĐIỂN) V   Dạng: a sin x  b cos x  c B’ A’  , a, b   \ 0  h B  B ' BB '  Với B, B ', h diện tích hai đáy chiều cao  Phương pháp 1:  Điều kiện để phương trình có nghiệm: a  b2  c2 phương pháp thường dùng tính thể tích Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 28 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 21 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Tính diện tích công thức + Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,… + Sử dụng công thức tính thể tích  Tính thể tích cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, ta cộng kết lại, ta có kết cần tìm  Tính thể tích cách bổ sung: Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác, cho khối đa diện thêm vào khối đa diện dễ dàng tính thể tích  Tính thể tích tỉ số thể tích Dạng Tính thể tích khối đa diện cách lắp ghép khối so sánh khối (tỉ số) VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 ab a b cos 2 ab ab ● sin a  sin b  sin cos 2 sin a  b ● tan a  tan b  cos a.cos b Thầy Chinh - Phù thủy dạy học ab ab sin 2 ab ab ● sin a  sin b  cos sin 2 sin a  b ● tan a  tan b  cos a.cos b ● cos a  cos b  cos ● cos a  cos b  2 sin  Công thức biến đổi tích thành tổng ● cos a.cos b  ● sin a.sin b  cos a  b  cos a  b ● sin a.cos b  cos a  b  cos a  b sin a  b  sin a  b 2  Một số công thức thông dụng khác Trong nhiều toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện dạng gặp khó khăn hai lí do: + Hoặc khó xác định tính chiều cao + Hoặc tính diện tích đáy không dễ dàng Khi đó, ta làm theo phương pháp sau: + Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hiệu khối (hình chóp hình lăng trụ) mà khối dễ tính + Hoặc so sánh thể tích khối cần tính với đa diện khác biết trước dễ dàng tính thể tích Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết toán: Cho hình chóp S.ABC Lấy A’, B’, C’ tương ứng cạnh SA, SB, SC Khi đó: VS A ' B 'C ' VS ABC  NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG   ● cos4 x  sin4 x   sin2 2x     cos 4x  0.dx  C  dx  x  C   x  a dx  ax C ln a  u  v  k2  Dạng: sin u  sin v   u    v  k2 ● cos6 x  sin6 x   sin2 2x  Đặc biệt:  u  v  k2 u  v  k2  Dạng: cos u  cos v   Đặc biệt: tan u  tan v  u  v  k  Dạng:  Ðk : u, v   k Đặc biệt: cot u  cot v  u  v  k Ðk : u, v  k    cos4x Đặc biệt:  sin x   x  k    sin x   x   k2    sin x  1  x    k2   cos x   x    k  cos x   x  k2  cos x  1  x    k2    tan x   x  k   tan x  1  x     k   cot x   x    k      cot x  1  x    k  B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC  cosx dx  sin x  C  Dạng Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia  A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  Dạng: Nguyên hàm số hàm thường gặp    SA ' SB ' SC ' SA SB SC Lưu ý: Kết điểm A’, B’, C’ có điểm A  A ', B  B ',C  C ' Thông thường, loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,… Chương     π π π π ● sinx  cos x  sinx    cosx   ● sinx  cosx  sin x    cosx   22 Đặt ẩn phụ Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia Điều kiện 27 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học s s s s   Trường hợp 5:  R  ax  b ; ax  b ; ax  b ; ; k ax  b    n PP Đổi biến, đặt ax  b  t ( n bội số chung lớn s1, s2, , sk )   Trường hợp 6:    R      PP Đổi biến, đặt t  x  a   x  b  dx  x  a x  b    Lưu ý: Với tích phân - phương pháp giống nguyên hàm em ý thay đổi cận tích phân  Một số cách đặt ẩn phụ thông thường hàm lượng giác: o o  f cos x .sin x dx  t  cos x  f sin x .cos x dx  t  sin x VD : VD : t  sin2 x o  f sin x ; cos x sin 2x dx   t  cos x o  f  tan x  .dx  t  tan x cos2 x   f cot x  dx  t  cot x sin x  2    x dx  ln x  e VD :  (tan cos x sin x cos2 x   cos2x ● sin 3x  sin x  sin x ● sin2 x  tan a  tan b  tan a tan b   tan x  x    tan x ● tan a  b  π ● tan     cos   Chẳng hạn như: a x sin x dx   1  tan x .dx  tan x  C   dx    cot2 x dx   cot x  C dx  ax  b  a ln ax  b  C , Một số công thức mở rộng dx cos x  cos x cos x       sin x sin x sin2 x .dx     sin x cos x ●  cot2 x  sin2 x  k dx  k x  C , k  const x  dx  a2  x  arctan    C  a  a   x  a  ln  2a  x  a x  a2 dx    C   1 dx    C x x   x   arcsin    C a  a2  x    dx dx x a  ln x  x  a  C 1.4 Các phương pháp tính nguyên hàm thường gặp      cos2 x  sin2 x ● cos 2x   2 2 cos x    sin x  cos2x ● cos2 x  ● cos 3x  cos3 x  cos x Tích đa thức lũy thừa  Khai triễn Tích hàm mũ  Khai triễn theo công thức mũ Chứa  Chuyển lũy thừa Tích lượng giác bậc  Biến đổi tổng thành tích Bậc chẳn sin x , cos x  Dùng công thức hạ bậc Bậc  tử  Bậc mẫu  Chia đa  Hàm hữu tỉ (phân thức)  thức Bậc  tử  Bậc mẫu  Đồng thức  Công thức cộng cung ● sin a  b  sin a.cos b  cos a.sin b  sin x dx   cos x  C x  tan x  1) ● tan x    sin ax  b dx   a cos ax  b   C  Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba ● sin 2x  sin x.cos x dx  e x  C sin2 x  cos2 x C Thầy Chinh - Phù thủy dạy học Đặc biệt: Khi thay x ax  b  , lấy nguyên hàm, ta phải nhân kết  ●  tan x  x thêm  Công thức ● cot x  dx   ● tan x.cot x   sin 2x dx  x C  1 x CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC ● sin2 x  cos2 x   1   sin x cos x dx   sin x cos x.dx VD : VD : VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717  f u .du  F u   C , C     f x  u ' x dx  F u x   C  Phương pháp đổi biến số: Nếu ● cos a  b  cos a.cos b  sin a.sin b hàm liên tục thì: tan a  tan b  tan a tan b π   tan x ● tan   x     tan x ● tan a  b  Tách từ hàm Nhân thêm u  u x  có đạo Có sẵn  Phương pháp nguyên hàm phần  Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K  udv  uv  vdu phân du  dx Chọn: u  Vi   Công thức biến đổi tổng thành tích dv  dx Nguyên ham v   Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 26 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 23 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân (mũ nhân lượng giác, logarit nhân lượng giác, đa thức nhân mũ,…)  Cách chọn: u dv + Nếu nguyên hàm chứa ln  đặt u  ln dv phần lại + Nếu nguyên hàm không chứa ln  đặt u  đa thức dv phần lại + Nếu nguyên hàm có dạng “mũ nhân lượng giác”  u  lượng giác dv phần lại  Lưu ý: Bậc đa thức, ln ứng với số lần lấy nguyên hàm VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Đặt biệt dx , n  N* Ta đổi biến, đặt: x  a tan t  Loại: I    Loại: I   f x  x .1  x x a  n .dx Ta đổi biến, đặt: t  x  1x dx , a  0 Ta tiến hành xét   b  4ac  bx  c 2 b dx 1 + Nếu   I     x  xo  dx    C với xo  2a a a x  xo  a x  x   Loại: I   ax o nghiệm kép phương trình ax  bx  c  DẠNG TOÁN DÙNG NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN  Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K phân Chọn: u  Vi  + Nếu   I   udv  uv  vdu  a x  x x  x .dx du  dx  đồng thức  kết quả, với x 1, x hai nghiệm 2 phân biệt phương trình ax  bx  c      dv  dx Nguyên ham v   + Nếu   ta biến đổi mẫu số ax  bx  c  a  x  b  Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân (mũ nhân lượng giác, logarit nhân lượng giác, đa thức nhân mũ,…) b    tan t (Loại 1)  Kết 2a 4a px  q  Loại: I   dx ax  bx  c + Nếu   ta tiến hành đồng thức bình thường  Kết  Lưu ý: Bậc đa thức, ln ứng với số lần lấy nguyên hàm Cách chọn u dv lần sau theo cách chọn + Nếu   ta biến đổi I  2ax  b dx  q  b.p  p dx     2 2a  2a   ax   bx  c  ax   bx  c A NGUYÊN HÀM - HÀM SỐ HỮU TỶ  HÀM SỐ VÔ TỶ Trong đó: P x  Q x  đa thức (không chứa căn)    Nếu bậc tử P x  bậc mẫu Q x Chẳng hạn   Nếu gặp nguyên hàm chứa thức dạng x  3x  x  dx Ta tiến hành chia đa x2 thức, dùng công thức bảng nguyên hàm để tính    Nếu bậc tử P x  bậc mẫu Q x Q x có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích P x  Q x  A B   x  a x  b  x  a x  b x  m ax  bx  c x  a  x  b  2    A Bx  C  , với   b  4ac  x m ax  bx  c   A B C D    x  a x  a  x  b x  b 2 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia  Trường hợp 1:   Trường hợp 2:   Trường hợp 3:   Trường hợp 4:  thành tổng 1    f  u x  v x dx PP 90% đặt t  u x  Trừ  sáu trường hợp sau: nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Chẳng hạn như: I 0 Tìm A : Đổi biến đặt t  ax  bx  c Tìm I : Tính loại   P x  dx Q x  đặt: x   Cách chọn: u dv “Nhất log - Nhì đa - Tam Lượng - Tứ Mũ” Bài toán: Tìm nguyên hàm hàm số có dạng      , đổi biến số cách 2a   4a  24 x  a tan t PP Đổi biến, đặt  ; x  a dx  x  a cot t  x  a  2 sin t f x ; x  a dx  PP Đổi biến, đặt  x  a  cos t  x  a sin t f x ; a  x dx  PP Đổi biến, đặt  x  a cos t dx PP Đổi biến, đặt x  a    t x  a  ax  bx  c f x       Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 25 [...]... ln a  log 1 b   loga b a 1 1 1  loga c logb c  a log c log a b c b 1.3/ Đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp   x   .x , x  0 a   a ln a  x ' '  1 x Đạo hàm hàm số hợp    a   a ln u.u ' '  u   .u 1.u ' u ' Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia u 12 Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 37 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Để... nghiệm: a 2  b2  c2 4 phương pháp thường dùng tính thể tích Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 28 Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 21 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Tính diện tích bằng công thức + Tính các yếu tố cần thi t: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,… + Sử dụng công thức tính thể tích  Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối...  Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 26 Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 23 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học  Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, logarit nhân lượng giác, đa thức nhân mũ,…)  Cách chọn: u và dv + Nếu nguyên hàm chứa ln  đặt u  ln và dv là phần còn lại + Nếu nguyên hàm không chứa ln  đặt u... đường thẳng d : Ax  By  C  0 thì ta cần tính: P  Ax A  By A  CAx B  By B  C Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 1   Lưu ý: 36 Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 13 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717  Hàm số bậc nhất: y  ax  b , a  0  Thầy Chinh - Phù thủy dạy học Hàm số mũ: y  a  Đồng biến khi: a  0  Nghịch biến khi : a  0 x PT - BPT MŨ VÀ LOGARIT CÁCH...  y ● x3  y3  x  y  x  y 2 ● 2 3  x  y  4xy  S2  4P 2  ● x 4  y 4  x2  y2 Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 16  2  2x2 y2  S4  4S2P  2P2 Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 33 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học Không có một công cụ vạn năng nào trong việc xử lý các hệ phương trình Ta phải căn cứ vào đặc điểm của hệ phương trình... thì ()    Sx // a // b HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN   Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 6/ Chứng minh mp    mp      d   Chứng minh   mp    mp   (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia) d      Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 900  32 Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 17 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy... X   a  d tan2 X  b tan X  c  d  0  Bước 3: Đặt t  tan X để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải  Phương pháp 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 20 Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 29 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học a sin2 x  b sin x  c  0 a cos2 x  b cos x  c  0 t  sin x 1... tổng quát của đường thẳng Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia a n  a a.a a 38  a x a y  a x y  x  x a     a  b  bx x y y  a  ax ax 1  a x y  a n  n y a a   0 u x   1  x 0  1 , u x    x  0   a    a.b  x y x    ay x  a x b x  a x y  n a n b  n ab   n Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia a m  n am 11 VIOLET - 26 Trương... S ABC  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 2 2 abc  - Sthpt  , Gia S ABC  p.r CẩmBNang ôna thi 9 điểm C Toán ABC Quốc 4R p – nửa chu vi  a  b  c   A  Bước 3 Giải phương trình hoặc hệ trên, ta nhận được tọa độ điểm M   Lưu ý    Để D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD  AD  BC 14 Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 35 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717  ● x 4 ... M d     Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song  ,  PHẦN 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH lần lượt chứa d và d ' Một số ý tưởng giải hệ phương trình: d' Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 18 Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia 31 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học 1  cos 2X 1  cos 2X sin 2X và sin X cos X  vào 1 và ; cos2 X  2 2 2 rút gọn lại, ... ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 16   2x2 y2  S4  4S2P  2P2 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 33 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học Không có công... 1.3/ Đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp   x   .x , x  0 a   a ln a  x ' '  1 x Đạo hàm hàm số hợp    a   a ln u.u ' '  u   .u 1.u ' u ' Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc. .. CAx B  By B  C Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 1   Lưu ý: 36 Cẩm Nang ôn thi điểm Toán - thpt Quốc Gia 13 VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717  Hàm số bậc nhất: y  ax  b