Thuật toán xác định cha chung gần nhất của hai nút trong cây ứng dụng phân tích đa dạng loại vi sinh vật

Đặc biệtlà các thuật toán trên đồ thị đã có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: Mạng máy tính, Lý thuyết mã, Tối ưu hoá, Kinh tế học, tìm đường đi ngắn nhất, bài toán luồn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG

NINH QUANG TRUNG

THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH CHA CHUNG GẦN NHẤT CỦA HAI NÚT TRONG CÂY ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH ĐA DẠNG

LOÀI VI SINH VẬT

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên, năm 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG

NINH QUANG TRUNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CHA CHUNG GẦN NHẤT CỦA HAI NÚT TRONG CÂY, ỨNG DỤNG PHÂN

TÍCH ĐA DẠNG LOÀI VI SINH VẬT

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Cường

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự

của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ

Nguyễn Cường Các số liệu, những kết luận nghiên cứu được trình bày

trong luận văn này trung thực và chưa từng được công bố dưới bất cứ hình thức nào

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Học viên

Ninh Quang Trung

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Cường

người đã trực tiếp huớng dẫn tôi hoàn thành luận văn Với những lời chỉ dẫn, những tài liệu, sự tận tình hướng dẫn và những lời động viên của Thầy

đã giúp tôi vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy (Cô) giảng dạy chương trình cao học

“Khoa học máy tính” đã truyền dạy những kiến thức quý báu, những kiến thức này rất hữu ích và giúp tôi nhiều khi thực hiện nghiên cứu

Xin cảm ơn các quý Thầy (Cô) công tác tại Trường Đại học Công nghệ thông tin và truyền thông – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi được tham gia và hoàn thành khóa học

Tôi xin chân thành cảm ơn

Học viên

Ninh Quang Trung

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN iv

MỤC LỤC v

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH vii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU viii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT-THUẬT NGỮ ix

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ CÂY 6

1.1 Các khái niệm cơ bản về đồ thị 6

1.1.1 Định nghĩa đồ thị (Graph) 6

1.1.2 Các khái niệm 6

1.1.3 Các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị 8

1.1.4 Độ phức tạp tính toán của BFS và DFS 15

1.2 Các khái niệm cơ bản về cây đồ thị 15

1.2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản: 15

1.2.2 Một số khái niệm 16

CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CHA CHUNG GẦN NHẤT CỦA HAI NÚT TRONG CÂY 17

2.1 Giới thiệu bài toán LCA 17

2.2 Mối quan hệ giữa LCA và RMQ 19

2.3 Các phương pháp tiếp cận 42

2.3.1 Bài toán hà tiện 43

2.3.2 Một số phương pháp giải bài toán LCA 45

2.4 Lựa chọn phương án cài đặt thuật toán cho bài toán LCA 515

CHƯƠNG III: KẾT QUẢ CÀI ĐẶT VÀ ĐÁNH GIÁ 54

3.1 Cây phân loài và ứng dụng bài toán phân tích đa dạng loài vi sinh vật 548

3.2 Cài đặt phần mềm 59

3.3 Đánh giá chất lƣợng dữ liệu trình tự 63

3.4 Lắp ráp trình tự 65

3.5 Dự đoán gen 66

3.6 Phân tích đa dạng loài vi sinh 67

KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 1.1: Ví dụ về mô hình đồ thị 6

Hình 1.2: Ví dụ về phân loại đồ thị 7

Hình 1.3 Ví dụ về thuật toán tìm kiếm DFS 9

Hình 1.4 Xác định đỉnh kề trong thuật toán DFS 11

Hình 1.5 Đường đi bắt đầu từ A và kết thúc tại G 12

Hình 1.6 Bắt đầu từ A nhưng đi theo trình tự tập các cạnh đã thăm 12

Hình 1.7 Duyệt các đỉnh trong cây 13

Hình 1.8 Ví dụ thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu 14

Hình 1.9 Cây đồ thị 16

Hình 2.1 Vị trí của các phần tử trong bài toán RQM 19

Hình 2.2 Ví dụ về bài toán RQM 21

Hình 2.3: Cấu trúc cây phân đoạn 23

Hình 2.4 Hình cây của thuật toán LCA 29

Hình 2.5 Phân chia đoạn trong bài toán LCA 30

Hình 2.6 Chuyển từ bài toán LCA về bài toán RQM 35

Hình 2.8 Ví dụ đưa vài toán từ RQM về bài toán LCA 37

Hình 2.9 Cây tiến hóa 43

Hình 3.1 Quy trình phân tích và xử lý dữ liệu 55

Hình 3.2 Chất lượng tính theo vị trí trình tự 59

Hình 3.3 Chất lượng theo từng đoạn trình tự 60

Hình 3.4 Cây phân loài 63

Hình 3.5 Biểu đồ thể hiện sự đa dạng sinh vật trong mẫu dữ liệu 63

Hình 3.6 Số lượng các đoạn ORF có liên quan đến các quy trình chyển hóa 65

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1 Bảng lập lịch duyệt các đỉnh trong cây 14

Bảng 3.1 Kết quả lắp ráp trình tự 61

Bảng 3.2 Tổng quan kết quả dự đoán gen 61

Bảng 3.4 Đa dạng loài đã đƣợc đinh tên theo từng cấp độ khác nhau 64

Bảng 3.5 Kết quả phân loại theo cơ sở dữ liệu KEGG 64

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT-THUẬT NGỮ Cụm từ viết tắt Cụm từ chi tiết

ASCII American Standard Code for Information Interchange BFS Breadth First Search

DFS Depth – First – Search

DNA Deoxyribo Nucleic Acid

HGP Human Genome Project

LCA Lowest Common Ancestor

MEGAN MetaGenomeANalyzer

NCBI National Center for Biotechnology Information

NGS Next Genration Sequencing

PCR Polymerase chain reaction

để giải quyết bài toán thực tế nhờ vào việc tìm ra ngày càng nhiều của các định lý, công thức và thuật toán

Đặc biệt trong những năm trở lại đây, cùng với sự ra đời của máy tính điện tử và sựphát triển nhanh chóng của Tin học, Lý thuyết đồ thị càng được quan tâm đến nhiều hơn Đặc biệtlà các thuật toán trên đồ thị đã có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: Mạng máy tính, Lý thuyết mã, Tối ưu hoá, Kinh tế học, tìm đường đi ngắn nhất, bài toán luồng cực đại, bài toán vận chuyển, bài toán luồng tổng quát và bài toán xác định cha chung gần nhất của hai nút trong câycũng là một ứng dụng trong lý thuyết đồ thị Hiện nay, lý thuyết đồ thị là một trong những kiến thức cơ sở của bộ môn khoa học máy tính

Trong phạm vi một đề tài không thể nói kỹ và nói hết những vấn đề của lý thuyết đồ thị Luận văn này trình bày lý thuyết đồ thị dưới góc độ khảo sát những thuật toán cơ bản nhất có thể cài đặt được trên máy tính một số ứng dụng của nó

Trong khuôn khổ luận văn học viên ứng dụng lý thuyết đồ thị để giải bài toán xác định cha chung gần nhất của hai nút trong cây nhằm mục đích phân tích đa dạng loài vi sinh sử dụng công nghệ đọc trình tự thế hệ mới

Ngày nay thông tin về trình tự gen rất hữu ích trong những nghiên cứu về sinh học phân tử và trong nhiều lĩnh vực ứng dụng như chuẩn đoán, sinh học pháp y, hệ thống sinh học…Quá trình đọc trình tự hay giải trình tự

gen (DNA sequencing) là việc xác định thứ tự các nucleotide gắn kết với nhau dọc theo chiều dài của gen (DNA) và trình tự gắn kết nhau của các nucleotide được gọi là trình tự gen

Từ những năm đầu của thập niên 70 của thế kỷ trước, các nhà khoa học đã thu được thành công đầu tiên về trình tự gen bằng phương pháp thủ công Cho đến năm 1990, dự án giải mã toàn bộ hệ genome người (HGP)

đã được khởi động nhằm tìm hiểu cơ sở di truyền bệnh, kết quả của dự án

là một hệ genngười với độ chính xác cao Ngày nay, các công ty thương mại đã cho ra đời các thế hệ máy đọc trình tự dựa trên nhiều công nghệ mới Các kỹ thuật đọc trình tự gen đã trở nên đơn giản và nhanh chóng hơn nhiều nhờ sự ứng dụng huỳnh quang phân tích tự động [36] Tuy nhiên tại thời điểm đó, đọc trình tự DNA gặp phải vấn đề là các thiết bị chi phí quá đắt đỏ và mất thời gian để đọc nguyên vẹn hệ gen Chúng chỉ phù hợp cho kiểm tra các gen riêng lẻ, một số xét nghiệm phân tử, di truyền dược học, bệnh về máu và vi sinh

Với mong muốn hiểu chi tiết về gen, các nhà nghiên cứu luôn mong muốn giải trình tự hoàn chỉnh các DNA hoặc gen của nhiều loài trong cuộc sống Thiết bị đọc trình tự thế hệ mới (Next Genration Sequencing - NGS) là một bước tiến vượt bậc về công nghệ đọc trình tự

Từ khả năng đọc trình tự đoạn ngắn 1500bp (Sanger) hay 100 bp (pyrosequencing), thiết bị đọc trình tự thế hệ mới cho phép đọc được từ 8Gb đến 600Gb, có nghĩa là cho phép đọc trình tự nguyên bộ gen với số lần rất lớn từ 10 cho đến 500 lần Vì thế, đọc trình tự thế hệ mới còn được gọi là đọc trình tự bộ gen (whole genome sequencing) Đọc trình tự thế hệ mới là công cụ mạnh nhất để phát hiện tác nhân gây bệnh, vì với khả năng đọc hàng trăm ngàn đoạn DNA có trong mẫu thử công nghệ này dễ dàng phát hiện bất cứ một trình tự nucleic acid của bất cứ tác nhân gì có mặt trong mẫu thử lấy từ vật chủ hay bệnh nhân

Với các thiết bị đọc trình tự thế hệ mới, các phân tử DNA sẽ được cắt nhỏ bằng các enzyme đặc thù tạo lên các phân đoạn có độ dài từ 50 cho đến 200 cặp trình tự (basepair - bp) Các phân đoạn ngắn này sẽ được đưa vào thiết bị khuếch đại lên hàng trăm lần rồi tiến hành đọc trình tự bởi thiết

bị đọc trình tự thế hệ mới Do đó, dữ liệu thu được là một tập với số lượng lớn, có thể lên tới hàng trăm triệu các đoạn trình tự ngắn có độ dài từ 50bp cho đến 200bp Để có thể tiến hành các phân tích dữ liệu như dự đoán gen, chú giải gen, tìm đột biến SNP…

Sự ra đời của thiết bị đọc trình tự gen thế hệ mới đã đánh dấu một bước tiến vượt bậc trong nghiên cứu phân tử, y sinh, pháp y, nhân chủng học với hàng loạt các dự án giải mã toàn bộ hệ gen động thực vật như người, chó, khỉ, gà, khoai tây, lúa… Cùng với các quy trình chuẩn đoán bệnh hướng tới cá nhân cụ thể (personalized treament) Bên cạnh đó, các thiết bị đọc trình tự gen thế hệ mới cũng bắt đầu được áp dụng vào nghiên cứu tính đa dạng loài và phân tích chức năng của các hệ vi sinh vật có trong môi trường như trong ruột người bị bệnh [5], hệ vi sinh trong dạ dày bò [8], ruột gà [7], trong môi trường đất [7]… Phân tích tính đa dạng loài và chức năng của hệ vi sinh vật từ dữ liệu trình tự là một trong những đề tài nóng hiện nay trên thế giới

Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề và với sự định hướng của giáo

viên hướng dẫn, tôi chọn đề tài “Các phương pháp xác định cha chung

gần nhất của hai nút trong cây, ứng dụng trong phân tích đa dạng loài

vi sinh vật” Đề tài này sẽ xây dựng quy tình phân tích dữ liệu trình tự hệ

gen vi sinh vật và chương trình đánh giá mức độ đa dạng loài

Nội dung chính của luận văn được chia làm 3 chương

- Chương I: Lý thuyết đồ thị và cây: Trình bày các khái niệm cơ bản

nhất về lý thuyết đồ thị và cây ứng dụng trong việc giải quyết một số bài toán trong lý thuyết đồ thị

- Chương II: Các phương pháp xác định cha chung gần nhất của hai

nút trong cây: Trình bày mối liên hệ giữa các bài toán xác định hai nút trong cây và các phương pháp giải bài toán

- Chương III: Kết quả cài đặt và đánh giá: Trình bày quy trình và

các yêu cầu cần thiết của các chương trình được sử dụng thí nghiệm

1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý thuyết đồ thị và cây

- Nghiên cứu các thuật toán xác định cha chung gần nhất của hai nút trong cây ứng dụng trong phân tích đa dạng loài vi sinh sử dụng công nghệ đọc trình tự thế hệ mới

- Nghiên cứu quy trình phân tích dữ liệu trình tự hệ gen vi sinh vật

và đánh giá đa dạng loài

2 Hướng nghiên cứu của đề tài

1 Nghiên cứu về lý thuyết đồ thị

2 Nghiên cứu thuật toán xác định cha chung gần nhất của hai nút trong cây Lowest Common Ancestor (LCA) ứng dụng trong phân tích đa dạng loài vi sinh sử dụng công nghệ đọc trình tự thế hệ mới

3 Nghiên cứu phương pháp phân tích dữ liệu trình tự hệ gen vi sinh vật

và đánh giá đa dạng loài

3 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các nội dung về lý thuyết đồ thị

- Nghiên cứu lý thuyết thuật toán xác định cha chung gần nhất của hai nút trong cây Lowest Common Ancestor (LCA) ứng dụng trong phân tích

đa dạng loài vi sinh sử dụng công nghệ đọc trình tự thế hệ mới

- Thiết kế, đặc tả, xây dựng chương trình xử lý, phân tích dữ liệu trình

tự và đánh giá đa dạng loài

4 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Đề tài nghiên cứu thuật toán xác định cha chung gần nhất của hai nút trong cây Lowest Common Ancestor (LCA) ứng dụng trong phân tích đa dạng loài vi sinh sử dụng công nghệ đọc trình tự thế hệ mới Cung cấp công

cụ đánh giá đa dạng loài vi sinh vật giúp cho các nhà sinh học tiến hành các nghiên cứu đánh giá sự đa dạng loại vi sinh vật có trong môi trường sống như đất, nước, cũng như trong các mẫu bệnh phẩm của bệnh nhân như ruột người, màng nhầy, …

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ CÂY

1.1 Các khái niệm cơ bản về đồ thị

Sơ đồ giao thông Mạng máy tính

Hình 1.1: Ví dụ về mô hình đồ thị

1.1.2 Các khái niệm

Như trên định nghĩa đồ thị G = (V, E) là một cấu trúc rời rạc, tức là các tập V và E hoặc là tập hữu hạn, hoặc là tập đếm được, có nghĩa là ta có thể đánh số thứ tự 1, 2, 3 cho các phần tử của tậpV và E Hơn nữa, đứng trên phương diện người lập trình cho máy tính thì ta chỉ quan tâm đến cácđồ thị hữu hạn (V và E là tập hữu hạn) mà thôi, chính vì vậy từ đây về sau, nếu không chú thích gì thêm thì khi nói tới đồ thị, ta hiểu rằng đó là

nhiều nhấtlà 1 cạnh trong E nối từ u tới v

- Đa đồ thị: G được gọi là đa đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có thể

có nhiều hơn 1 cạnh trong E nối từ u tới v

- Đồ thị vô hướng: G được gọi là đồ thị vô hướng nếu các cạnh trong

E là không định hướng, tức là cạnh nối hai đỉnh u, v bất kỳ cũng là cạnh nối hai đỉnh v, u Hay nói cách khác, tập E gồm các cặp (u, v) không tính thứ tự (u, v) (v, u)

- Đồ thị có hướng: G được gọi là đồ thị có hướng nếu các cạnh trong

E là có định hướng, có thể có cạnh nối từ đỉnh u tới đỉnh v nhưng chưa chắc đã có cạnh nốitừ đỉnh v tới đỉnh u Hay nói cách khác, tập E gồm các cặp (u, v) có tính thứ tự:(u, v) ≠ (v, u) Trong đồ thị có hướng, các cạnh được gọi là các cung Đồ thị vôhướng cũng có thể coi là đồ thị có hướng nếu như ta coi cạnh nối hai đỉnh u, vbất kỳ tương đương với hai cung (u, v) và (v, u)

Ví dụ:

Hình 1.2: Ví dụ về phân loại đồ thị

Đối với đồ thị vô hướng G = (V, E) Xét một cạnh e E, nếu e=(u,v) thìta nói hai đỉnh u và v là kề nhau (adjacent) và cạnh e này liên thuộc (incident)với đỉnh u và đỉnh v

Với một đỉnh v trong đồ thị, ta định nghĩa bậc (degree) của v,

ký hiệu deg(v) là số cạnh liên thuộc với v Dễ thấy rằng trên đơn đồ thị thì

số cạnh liên thuộc với v cũng là số đỉnh kề với v

Đối với đồ thị có hướng G = (V, E) Xét một cung e E, nếu e=(u,v) thìta nói u nối tới v và v nối từ u, cung e là đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v.Đỉnh u khi đó được gọi là đỉnh đầu, đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của cung e

Với mỗi đỉnh v trong đồ thị có hướng, ta định nghĩa: Bán bậc ra của

v kýhiệu deg+(v) là số cung đi ra khỏi nó; bán bậc vào ký hiệu deg-(v) là số cung đi vàođỉnh đó

- Đường đi: Một đường đi độ dài k từ đỉnh u đến đỉnh v là dãy

(u=x0, x1, , xk = v) thoả mãn (xi, xi+1) E (là 1 cạnh của đồ thị) với

i:(0 ≤ i ≤ k).Đỉnhu gọi là đỉnh xuất phát, v gọi là đỉnh kết thúc của đường

đi Đường đi không cócạnh nào đi qua hơn 1 lần gọi là đường đi đơn

- Chu trình: Đường đi có đỉnh xuất phát trùng với đỉnh kết thúc gọi

là chu trình Tương tự ta có khái niệm chu trình đơn

1.1.3 Các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị

a Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu DFS (Depth – First – Search)

Là một thuật toán duyệt hoặc tìm kiếm trên một cây hoặc một đồ thị Thuật toán khởi đầu tại gốc (hoặc chọn một đỉnh nào đó coi như gốc) và phát triển xa nhất có thể theo mỗi nhánh

Thông thường, DFS là một dạng tìm kiếm thông tin không đầy

đủ mà quá trình tìm kiếm được phát triển tới đỉnh con đầu tiên của nút đang tìm kiếm cho tới khi gặp được đỉnh cần tìm hoặc tới một nút không có con Khi đó giải thuật quay lui về đỉnh vừa mới tìm kiếm ở bước trước Trong dạng không đệ quy, tất cả các đỉnh chờ được phát triển được bổ sung vào một ngăn xếp Last In First Ount (LIFO)

Ví dụ:

Hình 1.3 Ví dụ về thuật toán tìm kiếm DFS

Tìm kiếm ưu tiên chiều sâu bắt đầu thăm đỉnh A, đi theo cạnh trái, tiếp tục tìm kiếm xong ở cây con trái mới chuyển sang tìm kiếm ở cây con phải Thứ tự thăm viếng các đỉnh là: A, B, D, F, E, C, G

Quá trình viếng thăm các đỉnh diễn ra như sau: Sau khi thăm đỉnh A, vì

B chưa được thăm nên theo cạnh AB ta thăm B, tiếp tục theo cạnh BD tới viếng thăm D Từ D không thể tiếp tục đi xa hơn, ta quay lại B Từ B, theo

BF đến thăm F, từ F đến thăm E Từ E vì A đã viếng thăm nên ta quay lại

F, rồi quay lại B Tại B vì tất cả các khả năng từ B đã xem xét nên ta quay lại A Từ A, quá trình tiếp tục với các đỉnh C và G

Kết quả của thuật toán:

- Duyệt các đỉnh:Có thể dùng giải thuật này để tạo một danh sách tuyến

tính các đỉnh của một đồ thị (hoặc cây) Có ba cách hiện thực phương pháp này:

 Duyệt tiền thứ tự (preordering): Tạo ra một danh sách mà trong

đó các đỉnh xuất hiện theo đúng trật tự nó được thăm đến khi chạy thuật toán Đây chính là biểu diễn tự nhiên của quá trình thực hiện giải thuật tìm kiếm theo chiều sâu Một biểu thức ở dạng tiền thứ tự được gọi là ký pháp tiền tố

 Duyệt hậu thứ tự (postordering): Tạo ra một danh sách mà trong đó

các đỉnh xuất hiện theo thứ tự của lần duyệt đến sau cùng khi thực hiện giải

thuật Một lần duyệt hậu thứ tự một cây biểu thức sẽ cho ra một ký pháp hậu tố

 Duyệt đảo hậu thứ tự (reverse postordering): Kết quả của cách duyệt

này là sự đảo ngược lại thứ tự trong kết quả duyệt hậu thứ tự Thông thường, khi duyệt cây, cách này cho ra cùng kết quả với duyệt tiền thứ tự, nhưng xét tổng quát, khi duyệt một đồ thị, tiền thứ tự và đảo hậu thứ tự cho

ra kết quả khác nhau Với các đồ thị có hướng và không có vòng, cách duyệt đảo hậu thứ tự cho ra một trât tự tô-pô của đồ thị đó

Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu của đồ thị vô hướng:

- Ý tưởng thuật toán:DFS trênđồ thị vô hướng cũng giống như khám phá mê cung với một cuộn chỉ và một thùng sơn đỏ để đánh dấu, tránh bị lạc Trong đó mỗi đỉnh s trong đồ thị tượng trưng cho một cửa trong mê cung

Ta bắt đầu từ đỉnh s, buộc đầu cuộn chỉ vào s và đánh đấu đỉnh này này "đã thăm" Sau đó ta đánh dấu s là đỉnh hiện hành u

 Bây giờ, nếu ta đi theo cạnh (u,v) bất kỳ

 Nếu cạnh (u,v) dẫn chúng ta đến đỉnh "đã thăm" v, ta quay trở về u

 Nếu đỉnh v là đỉnh mới, ta di chuyển đến v và lăn cuộn chỉ theo Đánh dấuv là "đã thăm" Đặt v thành đỉnh hiện hành và lặp lại các bước

 Cuối cùng, ta có thể đi đến một đỉnh mà tại đó tất cả các cạnh kề với nó đều dẫn chúng ta đến các đỉnh "đã thăm" Khi đó, ta sẽ quay lui bằng cách cuộn ngược cuộn chỉ và quay lại cho đến khi trở lại một đỉnh với một đỉnh còn chưa được khám phá Lại tiếp tục quy trình khám phá như trên

 Khi chúng ta trở về s và không còn cạnh nào kề với nó chưa bị khám phá là lúc DFS dừng

- Độ phức tạp của thuật toán:

 DFS được gọi đúng 1 lần ứng với mỗi đỉnh

 Mỗi cạnh được xem xét đúng 2 lần, mỗi lần từ một đỉnh kề với nó

 Với ns đỉnh và ms cạnh thuộc thành phần liên thông chứa s, một phépDFS bắt đầu tại s sẽ chạy với thời gian O(ns + ms) nếu:

 Đồ thị đƣợc biểu diễn bằng cấu trúc dữ liệu dạng danh sách kề

 Đặt nhãn cho một đỉnh là "đã thăm" và kiểm tra xem một đỉnh "đã thăm chƣa tốn chi phí O(degree)

 Bằng cách đặt nhãn cho các đỉnh là "đã thăm", ta có thể xem xét một cách hệ thống các cạnh kề với đỉnh hiện hành nên ta sẽ không xem xét một cạnh quá 1 lần

- Xác định đỉnh kề trong DFS

 Kết quả của DFS phụ thuộc vào cách ta chọn đỉnh kế tiếp

Hình 1.4 Xác định đỉnh kề trong thuật toán DFS

 Nếu ta bắt đầu tại A và thử cạnh nối đến F, sau đó đến B, rồi

đến E, C, cuối cùng là G ta đƣợc:

Hình 1.5 Đường đi bắt đầu từ A và kết thúc tại G

 Nếu cũng bắt đầu từ A nhưng đi theo trình tự, tập các cạnh đã

thăm,backedge và các điểm đệ quy sẽ khác trước

Hình 1.6 Bắt đầu từ A nhưng đi theo trình tự tập các cạnh đã thăm

b Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng

Tìm kiếm theo chiều rộngBreadth First Search (BFS) là một thuật toán tìm kiếm trong đồ thị trong đó việc tìm kiếm chỉ bao gồm 2 thao tác: (a) thăm một đỉnh của đồ thị; (b) thêm các đỉnh kề với đỉnh vừa thăm vào danh sách có thể thăm trong tương lai Có thể sử dụng thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng cho hai mục đích: tìm kiếm đường đi từ một đỉnh gốc cho trước tới một đỉnh đích, và tìm kiếm đường đi từ đỉnh gốc tới tất cả các đỉnh khác Trong đồ thị không có trọng số, thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng luôn tìm ra đường đi ngắn nhất có thể Thuật toán BFS bắt đầu từ đỉnh gốc

và lần lượt thăm các đỉnh kề với đỉnh gốc Sau đó, với mỗi đỉnh trong số

đó, thuật toán lại lần lượt thăm các đỉnh kề với nó mà chưa được thăm trước đó và lặp lại Trong thuật tìm kiếm theo chiều sâu, trong đó cũng sử dụng 2 thao tác trên nhưng có trình tự thăm các đỉnh khác với thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng

- Cài đặt bằng hàng đợi:

Cơsởcủaphươngphápcàiđặtnàylà"lậplịch"duyệtcácđỉnh.Việcthămmộtđỉnhsẽlênlịch

duyệtcácđỉnhkềnósaochothứtựduyệtlàưutiênchiềurộng(đỉnhnàogầnShơnsẽđượcduyệt

trước).Vídụ:BắtđầutathămđỉnhS.ViệcthămđỉnhSsẽphátsinhthứtựduyệtnhữngđỉnh(x1,x2, ,xp)kềvớiS(nhữngđỉnhgầnSnhất).Khithămđỉnhx1

sẽlạiphátsinhyêucầuduyệtnhữngđỉnh(u1,u2

,uq)kềvớix1.Nhưngrõràngcácđỉnhunày"xa"Shơnnhữngđỉnhxnênchúngchỉ đượcduyệtkhitất cảnhữngđỉnhx đãduyệtxong.Tứclàthứtựduyệt đỉnhsaukhiđãthămx1 sẽlà:(x2, x3 , xp, u1, u2, , uq)

Hình 1.7 Duyệt các đỉnh trong cây

Giảsửtacómộtdanhsáchchứanhữngđỉnhđang"chờ"thăm.Tạimỗibước,tathămmộtđỉnhđầu

danhsáchvàchonhữngđỉnhchưa"xếphàng"kềvớinóxếphàngthêmvàocuốidanhsách.Chínhvìnguyêntắcđónêndanhsáchchứanhữngđỉnhđangchờsẽđượctổchứcdướidạnghàngđợi(Queue)

Ta sẽ dựng giải thuật như sau:

Bước 2: Lặp các bước sau đến khi hàng đợi rỗng:

- Lấy u khỏi hàng đợi, thông báo thăm u (Bắt đầu việc duyệt đỉnh u)

- Xét tất cả những đỉnh v kề với u mà chưa được đánh dấu, với mỗi đỉnh v đó:

Ví dụ: Xét đồ thị dưới đây, Đỉnh xuất phát S = 1

Hình 1.8 Ví dụ thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu

Cơ sở của thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng là lập lịch duyệt cácđỉnh.Việc thăm một đỉnh sẽ lên lịch duyệt tất cả các đỉnh kề của nósao cho thứ tự duyệt là ưu tiên chiều rộng (nghĩa là đỉnh nào gần Shơn sẽ được duyệt trước)

Bảng 1.1 Bảng lập lịch duyệt các đỉnh trong cây

Hàng đợi

Đỉnh u (Lấy ra từ hàng đợi)

Hàng đợi (Sau khi lấy u ra)

Các đỉnh v

kề u mà chưa lên lịch

Hàng đợi sau khi đẩy những đỉnh vào

(4,5) 4 (5) 6 (5,6)

Đểýthứtựcácphầntửlấyrakhỏihàngđợi,tathấytrướchếtlà1;sauđóđến2,3;rồimớitới4,5;cuốicùnglà6.RõrànglàđỉnhgầnShơnsẽđượcduyệttrước.Vànhưvậy,tacónhậnxét:nếukết

hợplưuvếttìmđườngđithìđườngđitừStớiFsẽlàđườngđingắnnhất(theonghĩaquaítcạnh nhất)

1.1.4Độ phức tạp tính toán của BFS và DFS

Quátrìnhtìmkiếmtrênđồthịbắtđầutừmộtđỉnhcóthểthămtấtcảcácđỉnhcònlại,khiđócách biểu diễn đồ thị có ảnh hưởng lớn tới chi phí về thời gian thực hiện giải thuật:

- Trong trường hợp ta biểu diễn đồ thị bằng danh sách kề, cả hai thuật toán BFS vàDFSđềucóđộ phức tạp tính toán là O(n + m) = O(max(n, m)).Đây là cách cài đặt tốt nhất

- Nếu ta biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề như ở trên thì độ phức tạp

tính toán trong trường hợp này là O(n + n2) = O(n2)

- Nếu ta biểu diễn đồ thị bằng danh sách cạnh, thao tác duyệt những đỉnh kề với đỉnh u sẽ dẫn tới việc phải duyệt qua toàn bộ danh sách cạnh, đây là cài đặt tồi nhất, nó có độ phức tạp tính toán là O(n.m)

1.2 Các khái niệm cơ bản về cây đồ thị

1.2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản:

Cây là một đồthịmà trong đó hai đỉnh bất kì đều được nối với nhau bằng đúng một đường đi Nói cách khác một đồ thị vô hướng liên thông không chứa chu trình là một cây

Rừng là hợp (disjoint union) của các cây

Ví dụ:

Hình 1.9 Cây đồ thị

1.2.2Một số khái niệm

Cho T là một cây có gốc, v là một đỉnh khác gốc của T

- Cha của v là đỉnh u T sao cho có một cạnh có hướng duy nhất

từ u v Khi đó, u được gọi là cha của v; v là con của u

- Các đỉnh có cùng cha được gọi là anh em

- Tổ tiên của một đỉnh khác gốc là các đỉnh trên đường đi từ gốc đến đỉnh đó

- Con cháu của v là các đỉnh có v là tổ tiên

- Các đỉnh của cây không có con được gọi là lá

- Các đỉnh có con được gọi là đỉnh trong

- Trong một cây, cho a là một đỉnh Cây con với gốc a là đồ thì con của cây đang xét, bao gồm a và các con cháu của nó cùng tất cả các cạnh liên thuộc với các con cháu của a

- Mức của một đỉnh v trong một cây có gốc T là khoảng cách từ gốc đến v

- Mức lớn nhất của một đỉnh bất kỳ trong cây gọi là chiều cao của cây

CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CHA CHUNG GẦN

NHẤT CỦA HAI NÚT TRONG CÂY 2.1 Giới thiệu bài toán LCA

Tìm kiếm tổ tiên chung thấp nhất Lowest Common Ancestor (LCA) của hai nút trong cây đã được nghiên cứu, ứng dụng từ những năm của thế

kỷ 20 và ngày nay được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết đồ thị Đây là vấn đề thú vị không chỉ cho các thuật toán phức tạp để giải quyết nó mà còn đối với nhiều ứng dụng trong xử lý chuỗi và sinh học tính toán

Bài toán LCA và bài toán RMQ - Range Minimum Query là hai bài toán cổ điển nhưng những nghiên cứu mới về mở rộng của hai bài toán này vẫn được phát triển bởi phạm vi ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết cũng như trong thực tế Tầm quan trọng của bài toán LCA và RMQ thể hiện ở 3 điểm: (1) Những thuật toán kinh điển giải quyết bài toán LCA và RMQ đều

là những thuật toán mẫu mực về tính hiệu quả, được chứng minh và đánh giá rõ ràng trong các giáo trình cấu trúc dữ liệu và giải thuật; (2) Rất nhiều thuật toán và ứng dụng thực tế khác cần trả lời truy vấn LCA và RMQ bên trong để tiền xử lý dữ liệu hoặc sử dụng kết quả để xử lý tiếp, việc tăng tốc thuật toán LCA và RMQ sẽ làm tăng tốc thuật toán tổng thể; (3) Có phương pháp quy dẫn tuyến tính từ bài toán LCA sang bài toán RMQ và ngược lại, cho phép phát triển những thuật toán chung cho cả hai bài toán

Bài toán tìm tổ tiên chung gần nhất (Lowest Common Ancestors - LCA) phát biểu như sau: Cho một cây có gốc và một loạt các truy vấn Mỗi truy vấn nhận vào một cặp nút (u,v) và trả về nút tổ tiên chung của cả u và

có hướng của cây rồi liệt kê các nút theo đúng thứ tự được thăm trong một danh sách, khi đó tiền bối chung gần nhất của hai nút bất kỳ sẽ là đỉnh có

độ sâu nhỏ nhất nằm giữa hai nút trong danh sách Lúc này, truy vấn LCA trở thành truy vấn tìm giá trị nhỏ nhất trong một phạm vi (Range-Minimum Query - RMQ)

Bài toán RMQ quản lý một danh sách A gồm n phần tử và trả lời một loạt các truy vấn Mỗi truy vấn có dạng RMQ(i, j) nhận vào một cặp số (i,j)

là chỉ số của hai phần tử trong mảng và trả về chỉ số của phần tử nhỏ nhất trong mảng con A[i j] Trong thuật toán quy dẫn từ bài toán LCA về bài toán RMQ sử dụng chu trình Euler, mỗi bài toán LCA tổng quát sẽ được quy dẫn về một trường hợp hạn chế của bài toán RMQ - khi danh sách là số nguyên mà hai phần tử liên tiếp hơn kém nhau đúng 1 đơn vị

Gabow, Bentley và Tarjan lại đề xuất phép quy dẫn tuyến tính theo hướng ngược lại - từ bài toán RMQ về bài toán LCA - bằng cách sử dụng một cấu trúc dữ liệu là cây Trước khi có kết quả này, hầu hết các thuật toán RMQ như sử dụng bảng thưa (sparse tables) hay cây quản lý đoạn (segment trees) đều không đạt được yêu cầu: Thời gian tiền xử lý O(n) và thời gian trả lời mỗi truy vấn O(1) Kết quả của Gabow, Bentley

và Tarjan cho phép quy dẫn tuyến tính bài toán RMQ về bài toán LCA, sau đó bài toán LCA lại có thể quy dẫn tuyến tính về một trường hợp hạn chế của bài toán RMQ bằng chu trình Euler Như vậy người ta chỉ cần phát triển các thuật toán RMQ trong trường hợp hạn chế và đã có những thuật toán trả lời truy vấn RMQ trong thời gian O(1) sau một phép tiền

xử lý trong thời gian O(n) Để hiểu rõ hơn nữa ta cùng đi tìm hiểu mối quan hệ giữa LCA và RMQ

2.2 Mối quan hệ giữa LCA và RMQ

Bài toán LCA ( Least Common Ancestor ) :

Đầu vào : 1 cây với n đỉnh

Bài toán: với 2 nút u, v bất kỳ của cây T, chất vấn LCA(u,v) cho biết cha

chung gần nhất của 2 đỉnh u,v trong cây T, tức là cho biết đỉnh xa gốc nhất

là cha của cả u, v

Bài toán RMQ (Range Minimum Query ) :

Đầu vào: 1 mảng A với n số

Chất vấn: Với 2 chỉ số i và j, chất vấn RMQ(i,j) cho biết chỉ số của phần tử

nhỏ nhất trong mảng con A[i…j]

Giả sử rằng một thuật toán có thời gian tiền xử lý f(n) và thời gian truy vấn g(n) Các ký hiệu cho sự phức tạp tổng thể cho các thuật toán là

<f(n), g(n)>

Nút xa nhất từ gốc là tổ tiên của cả u và v trong một số cây bắt nguồn từ T là LCAT (u,v)

Bài toán Range Minimum Query (RMQ) được phát biểu như sau:

Cho một mảng A[0,N-1] tìm vị trí của các phần tử có giá trị nhỏ nhất giữa hai chỉ số nhất định

Hình 2.1 Vị trí của các phần tử trong bài toán RQM

Đối với mỗi cặp chỉ số (i,j) lưu giữ những giá trị của RMQA(i,j) trong một bảng M[0,N-1] [0,N-1] Độ phức tạp của thuật toán sẽ là

<O(N3),O(1)> Tuy nhiên, bằng cách sử dụng phương pháp tiếp cận động

dễ dàng chúng ta có thể giảm bớt sự phức tạp <O (N2), O (1)> Các chức năng tiền xử lý sẽ được viết như sau:

void process1(int M[MAXN][MAXN], int A[MAXN], int N)

Hình 2.1 Ví dụ về phân chia đoạn trong bài toán RQM

để có đƣợc tối thiểu chung từ sqrt (N) phần nằm bên trong các khoảng phần tử cuối và đầu tiên Để có đƣợc RMQA(2,7) trong ví dụ trên, chúng ta nên so sánh A[2], A[M [1]], A[6] và A[7] và có đƣợc vị trí của các giá trị tối thiểu

Thật dễ dàng để thấy rằng thuật toán này không làm cho hơn 3*sqrt (N) hoạt động trên truy vấn

Ưu điểm của phương pháp này là mã hóa nhanh và có thể thay đổi các yếu tố của các mảng giữa các truy vấn

Một cách tiếp cận tốt hơn là để xử lý trước RMQ cho mảng phụ của chiều dài 2k sử dụng lập trìnhđộng Ta sẽ giữ một mảng M[0,N-1] [0,logN] nơi M [i] [j] là chỉ số của các giá trị tối thiểu trong các mảng tiểu bắt đầu từ

i có độ dài 2j Dưới đây là một ví dụ:

Hình 2.2 Ví dụ về bài toán RQM

Đối với máy tính M[i][j], chúng phải tìm kiếm các giá trị tối thiểu trong nửa đầu tiên và thứ hai của khoảng Rõ ràng rằng các mảnh nhỏ có 2j- 1 chiều dài, vì vậy sự tái phát là:

Khi những giá trị này đã đƣợc xử lý, ta có thể sử dụng chúng để tính

và tìm thấy những tối thiểu giữa chúng k = [log (j - i + 1)] Đối với máy tính

Vì vậy độ phức tạp của thuật toán là <O(N logN), O(1)>

Để giải quyết bài toán RMQ ta có thể sử dụng cây phân đoạn Cây phân đoạn là một cấu trúc dữ liệu có thể đƣợc sử dụng để làm các hoạt động cập nhật/truy vấn trong mảng trong khoảng thời gian thực hiện thuật toán Ta xác định các cây phân đoạn cho khoảng [i, j] theo cách đệ quy nhƣ sau:

- Nút đầu tiên sẽ tổ chức thông tin cho khoảng [i, j]

- Nếu i <j bên trái và bên phải con sẽ giữ thông tin cho các khoảng [i, (i + j) / 2] và [(i + j) / 2 + 1, j]

Chiều cao của một cây phân đoạn cho mỗi khoảng với các yếu tố N

là [logN] + 1 Đây là cách một cây phân đoạn cho khoảng [0, 9] sẽ nhƣ sau:

Hình 2.3: Cấu trúc cây phân đoạn

Cây phân đoạn có cấu trúc giống nhƣ hình trên, vì vậy nếu chúng ta có một số nút x đó không phải là lá con còn lại của x là 2*x và lá con phải 2*x+1

Để giải quyết bài toán RMQ sử dụng cây phân đoạn ta nên sử dụng một mảng M [1, 2 * 2 [logN] + 1] trong đó M [i] chứa các vị trí có giá trị tối thiểu trong khoảng đƣợc giao đến nút i Các cây phải đƣợc khởi tạovới hàm sau(b và e là những giới hạn của khoảng thời gian hiện tại):

void initialize(intnode, int b, int e, int M[MAXIND], int A[MAXN], int N)

//search for the minimum value in the first and

//second half of the interval

if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])

đó gọi hàm với node = 1, b = 0 và e = N-1

Bây giờ có thể bắt đầu thực hiện các truy vấn Nếu muốn tìm vị trí của giá trị tối thiểu ở một số khoảng thời gian [i, j] ta sử dụng hàm sau:

int query(int node, int b, int e, int M[MAXIND], int A[MAXN], int i, int j)

{

int p1, p2;

//if the current interval doesn't intersect

//the query interval return -1

if (i > e || j < b)

return -1;

//if the current interval is included in

//the query interval return M[node]

if (b >= i && e <= j)

return M[node];

//compute the minimum position in the

//left and right part of the interval

p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);

p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);

//return the position where the overall

Sử dụng cây phân đoạn có độ phức tạp của thuật toán là<O (N), O(logN)> Cây phân đoạn đang được sử dụng rất phổ biến, không chỉ bởi

vì chúng có thể được sử dụng cho bài toán RMQ Chúng là một cấu trúc dữ liệu rất linh hoạt, có thể giải quyết ngay cả những phiên bản động của bài toán RMQ, và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực và phạm vi tìm kiếm

Bổ đề:

Nếu có 1 thuật toán với độ phức tạp là <f(n),g(n)> cho bài toán LCA thì sẽ có 1 thuật toán với độ phức tạp là <f(n)+n,g(n)+1> cho bài toán RMQ

Chứng minh:

Giả sử ta có mảng A[1…n] là mảng đầu vào của bài toán RMQ Ta

sẽ xây dựng 1 cây theo cách sau: gốc của cây sẽ tương ứng với phần tử nhỏ nhất của mảng A; sau khi loại bỏ phần tử này đi, mảng A sẽ chia thành 2 phần; con trái và con phải của gốc được xây dựng tương tự từ 2 mảng con bên trái và bên phải mảng ban đầu

Để xây dựng được cây này ta mất thời gian là O(N) Gọi Ti là cây tương ứng với mảng A[1…i], để xây dựng cây Ti+1 ta để ý rằng nút i+1 sẽ thuộc đường đi xuất phát từ gốc và luôn đi sang bên phải (gọi là đường Pr)

Vì thế ta sẽ đi theo đường này từ dưới lên trên cho đến khi gặp vị trí thích hợp để chèn nút i+1 vào Các nút bên dưới sẽ trở thành con trái của nút i+1

Để ý rằng mỗi lần kiểm tra xem 1 vị trí có thích hợp để chèn nút mới vào không, ta sẽ thêm vào hoặc loại bỏ 1 nút từ đường Pr, và 1 nút chỉ có thể được thêm vào và loại bỏ khỏi đường Pr nhiều nhất 1 lần Vì thế ta xây dựng cây sẽ mất O(N)

Sau khi xây dựng cây, gọi k = LCA(i,j) với i,j bất kỳ Như thế k sẽ là nút đầu tiên chia cắt i,j Theo cách xây dựng cây thì k chính là phần tử nhỏ nhất của mảng con A[i…j] Vì thế RMQ(i,j) = LCA(i,j)

Như thế để tính RMQ(i,j) ta mất O(N) ở bước chuẩn bị để xây dựng cây và O(1) để gọi thủ tục LCA(i,j) trên cây Bổ đề được chứng minh

Bổ đề:

Nếu có 1 thuật toán với độ phức tạp là <f(n),g(n)> cho bài toán RMQ

thì sẽ có 1 thuật toán với độ phức tạp là <f(n)+n,g(n)+1> cho bài toán LCA

Chứng minh:

Giả sử ta có 1 cây T là cây đầu vào của bài toán LCA Dùng thủ tục DFS cho cây này và viết ra các đỉnh của cây mỗi khi đỉnh đó được đi qua Khi đó ta sẽ nhận được 1 dãy 2*n-1 số bởi vì chúng ta bắt đầu liệt kê từ đỉnh gốc, với mỗi cạnh ta sẽ liệt kê được 2 đỉnh ( ở lần đi và lần về ) Có n-

Thực hiện thao tác i = RMQ(R[u], R[v]) trên mảng L, khi đó i sẽ là chỉ số của phần tử nhỏ nhất trong khoảng L[R[u]…R[v]], E[i] cho ta kết của của phép chất vấn LCA(u,v)

Như thế để tính LCA(u,v) ta mất O(n) để khởi tạo các mảng E,L,R

và mất O(1) để gọi thủ tục RMQ(R[u],R[v]) Bổ đề được chứng minh

Nhận xét : bài toán RMQ phát sinh khi giải bài toán LCA chỉ là 1

trường hợp đặc biệt của bài toán RMQ tổng quát bởi các phần tử liên tiếp nhau trong mảng hơn kém nhau đúng 1 đơn vị ( Do 2 phần tử liên tiếp là khoảng cách tới gốc của 2 nút có quan hệ cha con với nhau ) Bài toán này gọi là ±1RMQ

Để giải bài toán RMQ ta có thể sử dụng cấu trúc dữ liệu Interval Tree Khi đó thuật toán sẽ có độ phức tạp là <NlogN,LogN> và sử dụng O(N) bộ nhớ Một thuật toán khác nhanh hơn với độ phức tạp là

<NlogN,1> sẽ được trình bày dưới đây:

Gọi F[i,j] = RMQ(i,i+2^j-1) Ta có thể khởi tạo mảng F trong thời gian NlogN bằng cách sử dụng QHĐ Khi đó RMQ(i,j) = F[i,t] nếu A[F[i,t]] < A[F[j-2^t+1,t]] và RMQ(i,j) = F[j-2^t+1,t] nếu ngược lại với t = Trunc(Log(j-i+1))

Cũng với phương pháp trên và một số cải tiến ta có thể giải bài toán

±1RMQ trong <N,1> như sau :

Giải sử A là mảng đầu vào của bài toán ±1RMQ Chia mảng A thành các block liên tiếp với độ dài là logN/2 Định nghĩa mảng A’[1…2*N/LogN] với A’[i] cho ta biết giá trị nhỏ nhất của block thứ i và B[1…2*N/LogN] với B[i] là vị trí mà giá trị A’[i] xuất hiện trong block đó

Sử dụng thuật toán trên với mảng A’ ta sẽ có thuật toán với độ phức tạp là

<N,1> Để thực hiện chất vấn RMQ(i,j) trên mảng A, nếu i,j thuộc các block khác nhau thì ta sẽ làm như sau :

- Tìm Min của đoạn từ i đến phần cuối của block chứa i

- Tìm Min của các block nằm giữa block chứa i và block chứa j

- Tìm Min của đoạn từ đầu block chứa j đến j

Thao tác thứ 2 hoàn toàn có thể thực hiện trong <N,1> dựa vào mảng A’ và B Vì vậy ta chỉ cần quan tâm đến trường hợp i,j nằm trên cùng 1 block

Để ý 1 block có 2 đặc trưng : 1 là giá trị của phần tử đầu tiên, 2 là dãy nhị phân ứng với mỗi phần tử của block cho ta biết nó lớn hơn hay nhỏ hơn phần tử trước Nếu 2 block có cùng đặc trưng 2 thì ta có thể sử dụng kết quả chất vấn của block này để xác định kết quả chất vấn của block kia

Số đặc trưng 2 chỉ vào khoảng 2^(logN/2-1) = O(sqrt(N)) là rất nhỏ, vì thế

ta có thể xác định trước các đặc trưng 2 cũng như kết qủa của tất cả các câu chất vấn chỉ mất O( sqrt(N)*LogN*LogN) Với N đủ lớn ta có thể coi sqrt(N)*Log(N)*Log(N) < N ( nếu muốn ta có thể sử dụng các block với

độ dài là LogN/3, LogN/4 để đạt được bất đẳng thức này) Để xác định đặc trưng 2 của các block trong A cũng chỉ mất O(N) khi khởi tạo Vì thế bài toán ±1RMQ có thể giải quyết trong <N,1> với bộ nhớ là O(N)

Với thuật toán ±1RMQ <N,1> ta có thể đưa ra được thuật toán LCA

<N,1> và thuật toán RMQ tổng quát cũng với thời gian <N,1>

Trong lý thuyết đồ thị và khoa học máy tính, tổ tiên thấp nhất (LCA) của hai nút u và v trong một câylà thấp nhất (tức là sâu nhất) nút đó có cả u

và v là con cháu, mà mỗi nút là một hậu duệ của chính nó (vì vậy nếu v có một kết nối trực tiếp từ v thì v là tổ tiên chung thấp nhất)

Ví dụ:

Hình 2.4 Hình cây của thuật toán LCA

- Ở ví dụ trên node 9 và 12 có tổ tiên chung thấp nhất là node 3

Giải quyết bài toán bằng <O (N), O (sqrt (N))>

Chia đầu vào của cây thành những phần kích thước bằng nhau, chứng tỏ là một cách để giải quyết các vấn đề RMQ Phương pháp này có thể được điều chỉnh để giải quyết cho các vấn đề của bài toán LCA Ý tưởng là để phân chia câysqrt(H) thành các bộ phận, là H là chiều cao của cây Như vậy, phần đầu tiên sẽ chứa các mức đánh số từ 0 đến sqrt (H) - 1, thứ hai sẽ chứa các mức đánh số từ sqrt (H) 2 * sqrt (H) - 1, và như vậy Đây là cách các cây trong ví dụ này nên được phân chia: