khai triển mac - laurin của lời giải

trình bày về khai triển mac - laurin của lời giải

CHUtING 3 KHAI THIEN MAC-LAURIN CUA LOI GtAI

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Tit day trd di ta xet 1= [-b, b] va cac s6 thlfc aUk'bijk, Cijknhu trong

dinh ly 2.3 Gia sa g E Cl(I; RO) va gQi f E Cl(I; RO) Ia Wi giai duy nhcft cua h~ (2.11) tuong ling vdi g

duQc

B[ing cach d:~l0ham hai v€ cua (2.11) ta

n m f/ (x) = LLaijkbijkfj (Sijk(X))+ g{(x),

)=1k=l

1 ~ i ~ n, XE I,

trong d6 (( -b), ((b) ky hi~u chI cac d:;toham bell phai t:;ti-b va bell trai t:;tib cua fj, HinluQt

£>~t

(1) - ~

b a' k -a" k "

k ' l} l} l}

Ta c6 tit (2.10), (2.13) r[ing

n m

i,)=lk=l

Do dinh ly 2.3, t6n t:;tiduy nhcft

=

(3.5 )

(3.6)

(3.7)

(3.8)

n m

~[lJ(X) = L2:a&~FpJ(Sijk(X» + g; (x),

j=l k=l

1 ::;; i ::;;n,

Hon mla, do tinh duy nh:1t, Wi giai nay cling tIling vdi d~o ham

e =(f/, , in/) cua f, 1.e.. Pi[IJ--i,l-, ,n.f/ '- 1

XE I,

Tu'ong hI, n€u f E Cr(I; Rn) l?t Wi giai cua h~ (2.11) tu'ong ling vdi

g E CreI; Rn) Ta c6 sau day khi d~o ham cua (3.1) d€n r -11~n

n In J;(r) (x) =LLGijkb;kfY) (Sijk(x» + gY\x),

j=1 k=1

1::;; i ::;;n,

Tli (2.10), (2.13) ta suy ra

n m jJ(r) := LLIGijkb~kl::;; jJ < 1

i,j=Ik=1

Do d6 h~ phu'ong trlnh sau

n m

~[rJ(x) =LLaijkb~kFY](Sijk(X)) + g;r) (x),

j=lk=l

1::;; i ::;;n,

t6n t~i duy nh:1t mQt Wi giai

p[r] = (PIle], , purr]) E C(I;Rn)

XE 1.

XE I,

va Wi giai nay trung voi d~o ham ca'p r

(f) = (f1(f), ,fn(f») cua Wi giai f

Do d6, ta c6 dinh ly san

Dinh If 3.1:

Cho g E Cr(/; Rn).

Khi do t6n t()i f E Cr (I; Rn) va F[rJ E C(/; Rn) Ian Iu(ft Ia cac Iai gidi duy nh{i't cua cac h~ phudng trlYlh ham (2.11) va (3.7), d6ng thai F[r]

trung vai d()o ham cap r cua f

Chu thich 3.1:

(3.9)

(3.10)

Trong tru'ong h<;1pI=R, ta gia thiSt them r~ng cac sa thljc aUk'bijb

Cijkthoa di~u ki~n

n m

max I I !aijkb;kI < 1

O:::;s:::;r i,j=lk=l.

Khi do, nSu

g E Cbf (I; Rn) =={g E Cb (I; Rn) / g', gOO, , g(f) E Cb (I; Rn) },

thl kSt lu~n cua dinh ly 3.1 viin con dung, trong d6 cac khong gian

ham C(I; Rn) va Cr(l; Rn) xua"thi~n trong dinh Iy 3.1 du'Qcthay the boi Cb(I; Rn) va Cbr(l; Rn), I:1nIu'Qt.Chung minh ket qua nay tu'dng tV'nhu' chung minh cua dinh Iy 3.1

Bay giG tro I<;litru'ong hQp 1= [-b, b] Gia sa g E CP(I; Rn) va gQi f E CP(I; Rn) Ia Wi giai duy nha"t cua (2.11) tu'dng ung vdi g

V di m6i 1 ~ r ~ P, ta co p[r] nhu'trong dinh Iy 3.1

Khi do theo cong thuc Maclaurin ta co

(3.11)

p-l

1: (r)(0) 1 x

f(x)= Ir=O r. i , xr +(p-l).o ,f(X-ty-lf(P)(t)dt, l~i~n.

M(tt khac, ta co:

(3.12) p[r] = rr) , V r =1, , P

Ta co til' ,:3.11), (3.12) ding

(3.13)

p-l F[r] (0) I x fJx) = Ir=O r i , xr + (p - I) 0 I f(X-t)P-l f';[P](t)dt,

l~i~n.

Bao I<;li,gia sa mQt ham f = (f;, ,fJ E C(I; Rn) cho boi cong thuc

(3.14)

/;(x)=I r=O r. i I xr+ (p - 1) 0 ,f(X-ty-1F}P](t)dt, l~i~n

Khi do, til' (3.12), (3.14) ta co

(3.15) ];(x) = I J;<r);o) xr + 1 I f(X-t)P-l t;<P)(t)dt

Do d6, ta c6 dinh Iy sau day

Dinh If 3.2:

trang dtnh ly 2.3.

Cho g E Cpr/;Rn) Khi do, liJigiai f E cpr/; Rn)cua (2.11)du(fcbiiu

diln dutJi dqng (3.13), trang do Ffr] E C(/; Rn) la liJi giai duy nhdt cua (3.7) Dao lqi, mQi ham f E Cpr/; Rn) du(fC biiu dien dutJi dqng (3.14) diu

la liJi giai cua (2.11)

Chu thich 3.2:

Tru'ong hQpI =R va cac s6 thlfc (j'iik'bijk.Cjjktho a man di€u kic$n (3.9).

N€u g E CbP(I;Rn) thl k€t ku~n cua dinh Iy 3.2 v~n dung, trong d6 cac thong gian ham C(I; Rn) va CP(I; Rn) xuftt hic$ntrong dinh Iy 3.2 du'Qc thay bdi Cb(I; Rn) va CbP(I;Rn) I~n Iu'Qt

Trd vS tru'ong hQp1= [-b, b], tit dinh ly 3.2, ta co ht$qua sau:

He Qua 3.1:

Gid sit I =[-b, b] va cac s6 th1!C aUk'bjjk,Cjjk nhll trang djnh Iy 2.3.

Khi do, ne'u gJ, ,; gn Ia cac da thac bqc ~ r -1, thlliJi gidi f cua (2.11) ding Ia da thac bqc ~ r -1.

Chung minh:

Ta co

(3.16) gj(r)(x) = 0, 1 :::;;i:::;; n, '\j x E [-b, b]

Khi do p[r](x) = 0 la Wi giai duy nh1t cua ht$ (3.7)

Ap dvng (3.13) voi p =r, ta co

(3.17) f(x) =f F;[S] (0) Xl

.

Dinh If 3.3:

Gid sit I =[-b, b], va cac s6 th1!C aiik' bUb C!jk nhll trang djnh Iy 2.3.

Cho g E CP(I;Rn) GQi f E CP(I;Rn) cua (2.11) zIng vai g va gQi f

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

g;(X) = "g;L (0) x r

Khi d6 ta c6

II

(p)

11

III- It ~ 1- Pp! g x'

Chung minh:

Khai trien Maclaurin cho gj(x) ta co

gi(X) = gJx) + (p ~ I)! r(x - t)p-l g;p) (t)dt

Ap dl;mg danh gia (2.7) yoi a =~ ta co

III- It ~ 1~p jig- gllx

Do (3.20) ta duQc

n

JIg- gllx ~ sup Ilgi(X) - gJx)1

!xl:;;bi=l

Ta danh gia t6ng cu6i cling cua (3.22) ,

Truoc he't, yoi 0 ~ x ~ b:

(3.24)

tl r(x - tV-1 g;p) (t)dtl :s;r(x - t)p-ll1g(p) (t)lldt

P

:s;IlgCP)!Ix r (x - tV-1 dt =IIg(p)!Ix xp

bP

:s; IIg(p) !Ix.p

Tu'dng hf, b1t d~ng thuc (3.23) cling v~n luon luon dung

voi -b :s;x :s;o

Do do tu (3.22), (3.23) ta co

jig- gl!x:s;IIg(pjllx ~p!

va tu (3.21) ta co (3.19)

.

;He Qua 3.2:

(3.25)

Gid sa 1= [-b, bj, va cac s{f th1!c aUk'bi}",Cijknhu trong djnh Iy 2.3.

Cho g E CCO(I;Rn) saD cho

3d> 0 IIg(pjllx::;;dP, 'Vp 2: 0

GQi f Ia liJi gidi cua h~ (2.11) ling WJig va gQi ][P], Ia liJi gidi da thac b(ic ::;;p -1 cua h~ (3.11) ling WJida thac g, nhu trong djnh Iy 3.3.

Khi do

Hrnll! - ][PJ

II

=0 .

p~CIJI X

HCInnila, ta con co dank gia

Ilf-][p]11 x ~~1- fJ '~' (bd)P p 'rip=1, 2,

Chung minh:

Hi€n nhien tu (3.19) va (3.25) , ta d~n den (3.26)

.

He gmi 3.3:

(3.27)

Gid sa / =[-b, b], va cac sa th1!C aUk'bijktCijknhu trang dink ly 2.3.

Cho g E C(/; Rn) va! la liJigidi cua h~ (2.11) ang vai g

Khi do, t6n tc;zimQtday cac da thac bqc ::;;p -1 :

saDcho

p~roIlf - 7[P]!Ix =0

Chung minh:

Theo dinh ly Weierstrass, m6i ham gi duQc xa'p Xlbdi mOt day cac

da thuc hQi tv d€u p/p] khi b~c p-1 ~ 00

Do d6 p[p]=(Pl[P], ,Pn[p]) hQi tv trong C(l; Rn) v€ g khi p~ 00

GQi ][P] la Wi giai da thuc cua (2.11) ung voi g=p[p].

Thea danh gill (2.7) vdi a =p ta co:

111[p]- it ~ 1~ fJ llp[p]- gllx ~ 0 khi P-7 00

.