www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng ________________________________________________________________________________ Câu I. 1) Bạn tự giải nhé! 2) Hàm số cho viết dỷỳỏi dạng: y = - xcos + 2(cos - sin) - 4(cos - sin) + . x + Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên 4(cos - sin) + cos 0. Phỷơng trình tiệm cận xiên y = - xcos + 2(cos - sin). Tiệm cận xiên đồ thị cắt trục tung điểm A(0 , 2(cosa - sina)) cắt trục hoành điểm B (2(1 - tga) , 0). Khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên (chính bán kính đỷờng tròn có tâm gốc tọa độ tiếp xúc với tiệm cận xiên) h = OH : h= = OA . OB = AB |4(cos - sin )(1 - tg )| 4[(cos - sin ) + (1 - tg) ] 2(cos - sin ) |cos | (cos - sin ) + cos = 2 = (tg - 1) (tg - 1) - sin2 . =2 = tg + 2(tg + 2) cos2 + Đỷờng tròn tâm gốc tọa độ tiếp xúc với tiệm cận xiên có bán kính lớn h lớn nhất. Đặt tg = t, ta có h = (t - 1) . t2 + h đạt giá trị lớn f(t) = f(t) = (t - 1) đạt giá trị lớn nhất. t2 + 2(t - 1)(t + 2) ; f(t) = t = - t = 1. (t + 2) Lập bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn t = - giá trị lớn f(- 2) = Khi tg = - = tg với - < < 0. Vậy = + k ; k = 0, 1, 2, . hmax = 6. www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng ________________________________________________________________________________ Câu II. 1) Ta viết phỷơng trình dỷỳỏi dạng 2cos2x + cotg2x = sinx + + cotg2x 2(1 - sin2x) = sinx + (2sinx - 1) (sinx + 1) = 0. Giải 2sinx - = ta có x1 = + 2k; x2 = + 2k. 6 Với x1 nghiệm thỏa mãn Ê x Ê 40 ứng với k = ; ; ; ; ; 6. Tính theo cách tìm tổng cấp số cộng có số hạng đầu 13p/6, số hạng cuối 73p/6, công sai 2p ; ta có: Tổng nghiệm x họ x1 thỏa mãn điều kiện toán 43p Tỷơng tự, tổng nghiệm x họ x2 thỏa mãn điều kiện toán 35p. Giải sinx + = ta có họ x3 = + 2m (m ẻ Z). Tỷơng tự, tổng nghiệm thuộc họ thỏa mãn điều kiện toán 39. Kết : Tổng tất nghiệm x phỷơng trình cho thỏa mãn Ê x Ê 40 43 + 35 + 39 = 117. 2) Với a = 0, ta có: log2( - x) = log (3 - x - 1). 6-x>0 Điều kiện : Ê x < 6. x-10 3- x - 1>0 Ta có - x = - x - 1. (1) Với điều kiện , ta có (1) x - + - x = (x - 1)(6 - x) = www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng ________________________________________________________________________________ x2 - 7x + 10 = x1 = x2 = 5. Với x1 = 2, ta có log2(2 - 12a2) = log 2+a2 không với giá trị a Chẳng hạn a2 = vế trái vế phải log2+(1/12) 0. 12 Với x2 = 5, ta có log2(125a2 - 125a2 + 1) = log 2+a2 với a.Kết luận : x = 5. Câu III. 1) Vì a, b, c, d lập thành cấp số cộng, ta có: a + d = b + c. Biến đổi : (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) + m2 = [x2 - (a + d)x + ad] [x2 - (b + c)x + bc] + m2 = = (t + ad) (t + bc) + m2= t2 + (ad + bc)t + m2 + adbc = f(t) (với t = x2 - (a + d)x = x2 - (b + c)x). Xét tam thức bậc hai f(t). Ta thấy lấy m cho 2m | ad - bc |, ta có 4m2 (ad - bc)2 Mặt khác, biệt thức = (ad + bc)2 - 4m2 - 4abcd = (ad - bc)2 - 4m2. Do Ê 0, f(t) = t2 + (ad + bc)t + m2 + abcd với t. Đó điều phải chứng minh. 2) Gọi A vế trái bất đẳng thức cho. Ta có b - c2 c2 - a a - b2 A = = + + ab bc ca |c(a - b2 ) + a(b2 - c2 ) + b(c2 - a )| = abc |(a - b)(b - c)(c - a)| . = abc = Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác, nên | a - b | < c, | b - c | < a, | c - a | < b ; suy A < 1. www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng ____________________________________________________ Câu IVa. Nguyên hàm I = sin cosx + sin x cos dx = sin cos x x cos = sin ln tg + + +C cosx dx sin x cosx + cos cos2 xdx Câu Va. 1) x2 + y2 (m 2)x + 2my = . Ta có : B2 + C 4AD = (m 2)2 + (2m)2 + > với m nên phơng trình phơng trình đờng tròn thực. Tọa độ tâm I đờng tròn : m2 x = a = 2x + y + = 2m y = b = = m Vậy tập hợp tâm I đờng thẳng 2x + y + = 0. 2) Ph-ơng trình đ-ờng tròn viết lại d-ới dạng : (x 2y)m = x2 + y2 + 2x . Vậy tọa độ điểm cố định mà đờng tròn qua nghiệm hệ : x 2y = x2 + y2 + 2x = x = y = x = / y = 1/ Nh đờng tròn qua hai điểm cố định m thay đổi : A1 (2, 1) B1 (2/5, 1/5) 3) Khi m = 2, đờng tròn có phơng trình x2 + y2 + 4x 4y = có tâm (2, 2) bán kính R = 3. Đờng thẳng () qua A(0, 1) không song song với trục tung có phơng trình y + = kx hay kx y = 0. Khoảng cách từ () đến I d= 2k k2 + = 2k k2 + . Để () tiếp xúc với ( C ) : d=R 2k k2 + = k = 0, k = Vậy tiếp tuyến với đờng tròn (C ) xuất phát từ A(0, 1) 12 . www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng ____________________________________________________ : y + = 0, : 12x 5y = 0. Câu IVb. 1) Theo giả thiết n = 90o . CS = CA = a, SA = a SCA n = 90o . Vậy R = SA = a . Tơng tự SBA n = 90 2) Vì OS = OA nên DSA o SD = AD SA = (a 3)2 (a 2)2 = a ABCD hình thoi BD = CD = a. Vậy SBCD tứ diện cạnh a. 3) Thiết diện tam giác DMN có MN // BC. Hạ OK DJ ; OK MN (OK (SAD) BC, BC // MN) OK (DMN). Tịnh tiến OK để O trùng với B. Khi E hình chiếu B thiết diện n = 30o BE = OK = a BDE n =. n = , JDO Đặt JOD áp dụng định lí hàm số sin ta có DJ JO DO = = (*) sin sin sin( + ) (vì sin(180o ) = sin( + )). 2 OH OK = = sin = ( nhọn), sin = cos = ( nhọn). 3 OS OD 3a 3a , OJ = . Thế vào (*), ta đợc DJ = 10 SJ SO JO 2a Từ : MN = BC. = BC. = SO SO Ta có cos = Vì MN (SAD) MN DJ (SAD) nên DJ đờng cao thiết diện. Vậy 1 2a 3a 3a 2 S td = MN.DJ = . . = 2 5 25 f'(x) = x n = (c x)n (1) Để giải phơng trình (1) ta xét trờng hợp : n chẵn n lẻ. . 39. Kết quả : Tổng tất cả các nghiệm x của phỷơng trình đã cho thỏa mãn 2 Ê x Ê 40 là 43 +35 +39 = 117 . 2)Vớia=0,tacó: log 2 (6-x)=log(3- x-1) 2 . Điều kiện : 6-x> 0 x-1 0 1 Ê x < 6. 3- x-1 >. : x 2y = 0 22 xy2x10++= x2 y1 = = hoặc x2/5 y1/5 = = Nh vậy các đờng tròn này đều đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi : 1 A (2, 1) hoặc 1 B (2/5, 1/5) 3) Khi m = 2, đờng. 90= SD = 22 2 2 AD SA (a 3) (a 2) a == ABCD là hình thoi BD = CD = a. Vậy SBCD là tứ diện đều cạnh a. 3) Thiết diện là tam giác DMN có MN // BC. Hạ OK DJ ; vì OK MN (OK (SAD) BC,