Đề thi olympic truyền thống 30 tháng 4 năm 2013

WWW.VNMATH.COM Sở Giáo Dục Đào Tạo TP. HỒ CHÍ MINH KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 LẦN XIX – NĂM 2013 Trường THPT Chuyên  Lê Hồng Phong Môn thi : Toán - Khối : 11 Ngày thi : 06-04-2013 Thời gian làm : 180 phút Ghi : Thí sinh làm câu hay nhiều tờ giấy riêng ghi rõ câu số …….ở trang tờ giấy làm bài. Đề có 01 trang. Bài 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình  x  3y  2y  .  36(x x  3y )  27(4y  y)  (2  9) x   Bài 2: (4 điểm) Cho dãy số  x1    xn  :  x  14 xn1  51 n     n xn 1  18  a. Tính x2013 b. Tính lim xn Bài 3: (3 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3; BC = 5; CA = 7. Một đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự M N. Tìm giá trị lớn biểu thức P = BM .CN AM . AN Bài 4: (3 điểm) Tìm tất cặp hàm số f , g : R  R thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i. f ( x  1)  g (2 x  1)  x ii. f (2 x  2)  g (4 x  7)  x  1, x  R Bài 5: (3 điểm) Cho x số thực. Chứng minh  x  x  x 2013     x số nguyên, kí hiệu t  để phần lẻ số thực t. Bài 6: (3 điểm) Có hai đống đá, đống có n đống có k hòn. Cứ phút máy tự động lại chọn đống có số đá chẵn chuyển nửa số đá đống đá chọn sang đống (Nếu hai đống có số đá chẵn máy chọn ngẫu nhiên đống). Nếu hai đống số đá lẻ máy ngừng làm việc. Hỏi tồn cặp thứ tự (n, k), với n k số nguyên dương không vượt 2013, để máy tự động sau khoảng thời gian hữu hạn dừng. Hết. WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN: Bài 1: Giải hệ phương trình  x  3y  2y  .  36(x x  3y )  27(4y  y)  (2  9) x   điểm  x  3y  2y  (1) (I)  36(x x  3y )  27(4y  y)  (2  9) x   Điều kiện x ≥ 0. Ta có (1)  ( 3x )  (3y  1)  . điểm  3x  sin t  Do ta đặt 3y   cos t .  t  [0; ]  sin2 t  cos2 t   (I)  4 3sin3 t  4(1 cost)3 12(1 cost)2  9(1 cost)  (2  3)sint 1  . t [0; ]  4cos3 t  3cos t  3sin3 t  3sin t  2sin t    t [0; ] cos 3t  sin 3t  2sin t    .  t  [0; ]   t   k       12 (k, m  Z) sin(3t  )  sin t    19       t  ; ;  m . 12 24 24   t  [0; ]   t  24    t  [0; ] Do ta (I) có ba nghiệm là: 1 2 = . sin 3 12  cos    y  12 7  cos 1 7 12    * x = sin = . 24 24 7  cos 24 =  2(4   6) y = 12 7  cos 19 12    * x = sin = . 24 24 19  cos 24   2(4   6) . y = 12 *x= điểm điểm điểm  cos  12    . 12 WWW.VNMATH.COM Bài Cho dãy số điểm  x1   xn  :  x  14 xn 1  51 n     n xn 1  18  a. Tính x2013 b. Tính lim xn Đặt xn  un   un   1,5 điểm 14  u n 1  3  51 un 1  un    5 un 1  un 1    18 5un 1  un  1 5  5   3         3n1 un  un1  un  u1  11.3n1  10 4    un   xn  u n   3 n 1 n 1 un 11.3  10 11.3  10  x2013  3 2012 11.3  10  lim xn  3 điểm  a) b) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm WWW.VNMATH.COM Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3; BC = 5; CA = 7. Một đường điểm thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự M N. Tìm giá trị lớn biểu thức P= BM .CN AM . AN 0,5 điểm Gọi I tâm, r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có: MN qua I  S IAM  S IAN  S AMN .S ABC S ABC  1 AM . AN . r  AB  BC  CA  rAM  rAN  2 AB. AC  AB. AC AB. AC   AB  BC  CA AN AM  AB.CN AC.BM AB.CN AC.BM   BC   1 AN AM BC . AN BC. AM 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Theo bất đẳng thức AM – GM 1 Suy AB.CN AC .BM AB.CN AC.BM  2 . BC. AN BC. AM BC. AN BC. AM P= AB.CN AC.BM   BC. AN BC. AM Đẳng thức xảy hay 0,5 điểm 25 BM .CN BC hay P   AM . AN AB. AC 84 AM AC 14 AN AB 2  2  BM BC CN BC Vậy giá trị lớn P 25 AM 14 AN   84 BM CN A N I M B C 0,5 điểm WWW.VNMATH.COM Bài 4: Tìm tất cặp hàm số f , g : R  R thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i. f ( x  1)  g (2 x  1)  x ii. f (2 x  2)  g (4 x  7)  x  1, x  R Đặt x   u   x   2u  thay vào ( ii ) ta u 5 x5 f (u  1)  g (2u  1)  hay f ( x  1)  g (2 x  1)  (*) 2 Từ (*) (i) ta x5 g (2 x  1)   x   (2 x  1)  4  g ( x)   x  4 x5 Thay g (2 x  1)   x vào i) 7 x5  x  x   ( x  1)  f ( x  1)  x  2 2  f ( x)  x  7 Vậy f ( x)  x  6; g ( x)   x  4 điểm điểm 1điểm 1điểm WWW.VNMATH.COM Bài     Cho x số thực. Chứng minh  x  x  x 2013 x điểm số nguyên, kí hiệu t để phần lẻ số thực t. Kí hiệu [x] để phần nguyên số thực x. Ta có:  x  x   x  , x  x   x  , x 2013  x 2013   x 2013  .    Theo đề ta có:  x   x    x  .  2013 Suy : x  x  a (1) x 2013  x  b (2) , a   x    x  , b   x 2013    x  . điểm Từ (1) ta có:    4a   a  (do a  Z ). + Nếu a = x  x  x   x  số nguyên. + Nếu a > tồn số nguyên cn  d n  cho : x n  cn x  d n , n  . (*) . Thật vậy, với n = từ (1) ta có: x  x  a  x  x  ax  x  a  ax  1  a  x  a . Ta chọn: c3   a  1, d  a  . Giả sử (*) với n  k  . Tức ta có: x k  ck x  d k , với điểm ck , dk  Z , ck  1, dk  . (3) Suy ra: x k 1  x.x k  ck x  dk x  ck  x  a   dk x   ck  d k  x  ck a . Ta chọn : ck 1  ck  d k , d k 1  ck a . Do (3) a  N * nên ck 1 , d k 1  Z ck 1  1, d k 1  . Vậy theo nguyên lí qui nạp ta có (*) mệnh đề đúng. Nói riêng, với n = 2013, tồn số nguyên c2013  d2013  cho : x 2013  c2013 x  d 2013 . Do đó, từ (2) suy ra: c2013 x  d 2013  x  b  x  b  d 2013  Q (do b  Z ). c2013  Như x nghiệm hữu tỉ phương trình : X  X  a  nên số nguyên. Vậy ta có đpcm. 1đ WWW.VNMATH.COM Bài 6: Có hai đống đá, đống có n đống có k hòn. Cứ phút máy tự động lại chọn đống có số đá chẵn chuyển nửa số đá đống đá chọn sang đống (Nếu hai đống có số đá chẵn máy chọn ngẫu nhiên đống). Nếu hai đống số đá lẻ máy ngừng làm việc. Hỏi tồn cặp thứ tự (n, k), với n k số nguyên dương không vượt 2013, để máy tự động sau khoảng thời gian hữu hạn dừng. Giả sử n  a u k  2b v , với u, v số lẻ. Chúng ta chứng minh máy tự động sau khoảng thời gian hữu hạn dừng cặp số cặp số (n, k) với a = b. Nếu a = b = 0, n k lẻ, máy dừng. Nếu a = b > từ cặp (n, k) máy tự động nhận cặp 2 a 1 u,2a 1 (u  2v )  2 a 1 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (2u  v ),2a 1 v  . Vì số (u  2v ) (2u  v ) lại số lẻ, nên máy tự động làm giảm số mũ xuống đơn vị. Qua a bước số trở nên máy tự động dừng. Bây giờ, xét a  b , không tổng quát, giả sử a  b  Nếu a  b  , từ cặp (n, k) máy tự động nhận cặp  (u  a b 1a điểm v ),2b1 v  với số mũ luỹ thừa khác nhau.  Nếu a  b  , từ cặp (n, k) máy tự động nhận cặp  (u  v), v    a a am . uv a  u v , v  , m  N * với m số lẻ, lại có m 2  số mũ luỹ thừa khác nhau. Dễ dàng thấy trường hợp máy tự động làm việc mãi không dừng. Chỉ việc đếm cặp số (n, k) = (2 a u, 2a v) với 2a.u  2013, 2a.v  2013 + Có 1007 số lẻ không vượt 2013, số cặp với a = 10072 ; + 503 số không vượt 2013 chia hết cho không chia hết cho 4, số lượng cặp với a =1 503 ; … + Cứ tiếp tục vậy, ta nhận đáp số toán là: 1007  5032  2522  1262  632  312  162  82  42  2  12  1351709 . điểm . Sở Giáo Dục và Đào Tạo KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 TP. HỒ CHÍ MINH LẦN XIX – NĂM 2013 Trường THPT Chuyên  Lê Hồng Phong Môn thi : Toán - Khối : 11 Ngày thi : 06-04-2013 Thời. Thời gian làm bài : 180 phút Ghi chú : Thí sinh làm mỗi câu trên 1 hay nhiều tờ giấy riêng và ghi rõ câu số …….ở trang 1 của mỗi tờ giấy làm bài. Đề này có 01 trang. Bài 1: (4 điểm) Giải. đống đá được chọn sang đống kia (Nếu cả hai đống đều có số hòn đá là chẵn thì máy sẽ chọn ngẫu nhiên một đống). Nếu trong hai đống số hòn đá đều là lẻ thì máy sẽ ngừng làm việc. Hỏi tồn tại