Một đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự tại M và N.. Cứ mỗi phút một máy tự động lại chọn một đống có số hòn đá là chẵn và chuyển một nửa
Trang 1Sở Giáo Dục và Đào Tạo KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4
Lê Hồng Phong Môn thi : Toán - Khối : 11
Ngày thi : 06-04-2013
Thời gian làm bài : 180 phút Ghi chú : Thí sinh làm mỗi câu trên 1 hay nhiều tờ giấy riêng và ghi rõ câu số …….ở trang 1 của mỗi tờ giấy làm bài Đề này có 01 trang
Bài 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình
2
x 3y 2y 0 36(x x 3y ) 27(4y y) (2 3 9) x 1 0
Bài 2: (4 điểm)
Cho dãy số
1
1 1
1
2
n n
x
x
a Tính x2013
b Tính limx n
Bài 3: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3; BC = 5; CA = 7 Một đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự tại M và N
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = .
BM CN
AM AN
Bài 4: (3 điểm)
Tìm tất cả các cặp hàm số f g R, : R thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
( 1) (2 1) 2 (2 2) 2 (4 7) 1,
Bài 5: (3 điểm)
Cho x là một số thực Chứng minh rằng nếu x x2 x2013 thì x là một số nguyên, trong đó kí hiệu t để chỉ phần lẻ của số thực t
Bài 6: (3 điểm)
Có hai đống đá, một đống có n hòn và đống kia có k hòn Cứ mỗi phút một máy tự động lại chọn một đống có số hòn đá là chẵn và chuyển một nửa số hòn đá của đống
đá được chọn sang đống kia (Nếu cả hai đống đều có số hòn đá là chẵn thì máy sẽ chọn ngẫu nhiên một đống) Nếu trong hai đống số hòn đá đều là lẻ thì máy sẽ ngừng làm việc Hỏi tồn tại bao nhiêu cặp sắp thứ tự (n, k), với n và k là các số nguyên
dương không vượt quá 2013, để máy tự động sau một khoảng thời gian hữu hạn sẽ dừng
Trang 2ĐÁP ÁN:
Bài 1: Giải hệ phương trình
2
36(x x 3y ) 27(4y y) (2 3 9) x 1 0
4 điểm
2
36(x x 3y ) 27(4y y) (2 3 9) x 1 0
(1)
(I) Điều kiện x ≥ 0 Ta có (1) 2 2
( 3x ) (3y 1) 1
Do đó ta đặt
3x sin t 3y 1 cos t [0; ]
t
1 điểm
(I)
sin t cos t 1
4 3sin t 4(1 cost) 12(1 cost) 9(1 cost) (2 3 3)sin t 1 0
t [0; ]
4cos t 3cos t 4 3sin t 3 3sin t 2sin t 0
t [0; ]
cos 3t 3 sin 3t 2 sin t 0
t [0; ]
1 điểm
sin(3t 6) sin t
t [0; ]
t
24 2
t [0; ]
t ;7 ;19
12 24 24
1 điểm
Do đó ta được (I) có ba nghiệm là:
* x = 1 2
sin
=
1 cos
12
y
* x = 1 27
sin
=
7
1 cos
và y =
7
1 cos 24 3
= 4 2(4 2 6)
12
* x = 1 219
sin
=
7
1 cos
và y =
19
24
1 điểm
Trang 3Bài 2 Cho dãy số
1
1 1
1
2
n
n
x
x
a Tính x2013
b Tính limx n
4 điểm
Đặt x n u n3
1,5 điểm
1
n
1 điểm
1
1
n
n n n
u u
4
11.3 10
n n n
0,5 điểm
a)
4
3 11.3 10
x
0,5 điểm
Trang 4Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3; BC = 5; CA = 7 Một đường
thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, cắt cạnh AB, AC theo thứ
tự tại M và N Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = .
BM CN
AM AN
3 điểm
Gọi I là tâm, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Ta có: MN đi qua I AMN
IAM IAN ABC
ABC
S
S
0,5 điểm
AM AN
AB AC
0,5 điểm
BC
Theo bất đẳng thức AM – GM
1 . . 2 . .
0,5 điểm
Suy ra P =
2
84
P 0,5 điểm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . . 1
BC AN BC AM
hay 2 14
5
5
Vậy giá trị lớn nhất của P là 25
84 khi 14
5
AM
5
AN
CN
0,5 điểm
N
I A
M
Trang 5Bài 4:
Tìm tất cả các cặp hàm số f g R, : R thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
sau:
( 1) (2 1) 2
(2 2) 2 (4 7) 1,
3 điểm
Đặt 2x 2 u 1 4x 7 2u thay vào ( ii ) ta được 1
( 1) 2 (2 1) hay ( 1) 2 (2 1) (*)
1 điểm
Từ (*) và (i) ta được
( )
x
1điểm
Thay (2 x 1) 5 2
2
x
g x vào i) được
7
2
x
Vậy ( ) 7 6; ( ) 3 7
f x x g x x
1điểm
Trang 6Bài 5 Cho x là một số thực Chứng minh rằng nếu 2 2013
x x x thì x là một
số nguyên, trong đó kí hiệu t để chỉ phần lẻ của số thực t
3 điểm
Kí hiệu [x] để chỉ phần nguyên của số thực x
Ta có: x x x , 2 2 2
x x , x 2013 2013 2013
Theo đề bài ta có: 2 2013
Suy ra : 2
x xa (1) và 2013
x xb (2) , trong đó
ax x bx x
Từ (1) ta có: 1 4a 0 a0 (do aZ)
+ Nếu a = 0 thì x2 xx 0 x1 đều là số nguyên
1 điểm
+ Nếu a > 0 thì khi đó tồn tại 2 số nguyên c n 1và d n 0 sao cho :
n
n n
x c xd , (*) n 3
Thật vậy, với n = 3 thì từ (1) ta có:
2
1
x x axxaax a xa
Ta chọn: c3 1 a1,d3a0
Giả sử (*) đúng với nk Tức là ta có: 3 k
k k
x c xd , với
k k k k
c d Z c d (3)
k k
k k k k k k k
x x x c x d xc xa d x c d xc a
Ta chọn : c k1c k d d k, k1c a k Do (3) và *
aN nên c k1,d k1Z và
1 1, 1 0
c d
Vậy theo nguyên lí qui nạp ta có (*) là mệnh đề đúng
1 điểm
Nói riêng, với n = 2013, tồn tại 2 số nguyên c20131và d20130 sao cho :
2013
2013 1
b d
c
(do bZ)
Như vậy x là một nghiệm hữu tỉ của phương trình : 2
0
X X a nên nó
là một số nguyên Vậy ta có đpcm
1 đ
Trang 7Bài 6: Có hai đống đá, một đống có n hòn và đống kia có k hòn Cứ mỗi phút một
máy tự động lại chọn một đống có số hòn đá là chẵn và chuyển một nửa số
hòn đá của đống đá được chọn sang đống kia (Nếu cả hai đống đều có số
hòn đá là chẵn thì máy sẽ chọn ngẫu nhiên một đống) Nếu trong hai đống
số hòn đá đều là lẻ thì máy sẽ ngừng làm việc Hỏi tồn tại bao nhiêu cặp
sắp thứ tự (n, k), với n và k là các số nguyên dương không vượt quá 2013,
để máy tự động sau một khoảng thời gian hữu hạn sẽ dừng
3 điểm
Giả sử n 2auvà k 2bv, với u, v là các số lẻ Chúng ta sẽ chứng minh
rằng máy tự động sau một khoảng thời gian hữu hạn sẽ dừng đối với các
cặp số và chỉ các cặp số (n, k) với a = b
0,5 điểm
Nếu a = b = 0, n và k lẻ, máy dừng
Nếu a = b > 0 thì từ cặp (n, k) máy tự động có thể nhận được cặp
2a u ,2a ( u 2 ) v hoặc 1 1
2a (2 u v ),2a v Vì các số ( u 2 ) v và (2 u v ) lại là số lẻ, nên máy tự động làm giảm số mũ của 2 xuống 1 đơn
vị Qua a bước thì số này trở nên bằng 0 và máy tự động sẽ dừng
0,5 điểm
Bây giờ, xét ab, không mất tổng quát, giả sử a b
Nếu a b 2, thì từ cặp (n, k) máy tự động có thể nhận được cặp
2 (a u 2b av ),2b v với các số mũ trong luỹ thừa của 2 khác nhau
Nếu a b 1, thì từ cặp (n, k) máy tự động có thể nhận được cặp
2
m
u v
u v v v m N
với
2m
uv
là số lẻ, lại có các số mũ trong luỹ thừa của 2 khác nhau Dễ dàng thấy rằng trong trường hợp này máy tự động làm việc mãi mãi không dừng
1 điểm
Chỉ còn việc đếm các cặp số (n, k) =(2au 2 ) , av với 2 a 2013, 2 a 2013
+ Có 1007 số lẻ không vượt quá 2013, bởi vậy số cặp với a = 0
bằng 10072;
+ 503 số không vượt quá 2013 chia hết cho 2 và không chia hết
cho 4, bởi vậy số lượng cặp với a =1 bằng 5032; …
+ Cứ tiếp tục như vậy, ta nhận được đáp số của bài toán là:
1 điểm