PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH LỚP VÒNG 2 NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề). Câu 1 (4,5 điểm) a) Tìm các số nguyên x sao cho 6 2 ++ xx là số chính phương b) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: 2222 )( cbacba ++=++ Tính giá trị của biểu thức: P= abc c acb b bca a 222 2 2 2 2 2 2 + + + + + Câu 2 (4,5 điểm) a) Tìm các số nguyên x;y;z thỏa mãn: 222 zyx ++ <xy+3y+2z-3 b) Giải phương trình: 2 7 4 3 1 =++++ xxx Câu 3 (4,5 điểm) a) Cho a;b là các số không âm. Chứng minh: 233 32 abba ≥+ b) Cho x;y;z là các số dương và x+y+z=3. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức: P= 2 3 2 3 2 3 x z z y y x ++ Câu 4 (4,5điểm) Cho ABC ∆ đều, đường cao AH; M là một điểm thuộc cạnh BC(M khác B ;C).Kẻ ME vuông góc với AB; MF vuông góc với AC. Gọi I là trung điểm của AM. a) Tứ giác HEIF là hình gì? vì sao? b) Gọi G là trọng tâm của ABC ∆ . Chứng minh EF; HI; MG đồng qui c) Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho độ dài EF đạt giá trị bé nhất. Tính giá trị bé nhất đó khi cho cạnh của tam giác đều bằng a. Câu 5 (2.0 điểm) Cho ABC ∆ có góc A bằng 60 0 , phân giác AD, cạnh AB=2 cm; AC=4cm. Tính độ dài đường phân giác AD. Hết Họ và tên thí sinh: SBD: ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH LỚP 9 VÒNG 2 NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN Câu Ý Nội dung Điểm 1 4,5đ a 2,5đ ))((66)(6 2222 xnxnxxnxZnnxx +−=+⇔−=+⇒∈=++ 0,5 * −= = ⇔ += −=+ 5 3 8 1 6 x n xn xnx không thỏa mãn 0,5 * = = ⇔ −= +=+ 5 6 1 6 x n xn xnx thỏa mãn 0,5 * = −= ⇔ +−= −−=+ 5 6 )(1 )(6 x n xn xnx thỏa mãn 0,5 * −= −= ⇔ −−= +−=+ 3 5 3 8 )(1 )(6 x n xn xnx không thỏa mãn * x+6=0 3666 2 =++⇒−=⇒ xxx (thỏa mãn) Vậy x=5 và x=-6 là giá trị cần tìm 0,5 b 2đ (a+b+c) 2 = 0 222 =++⇔++ bcacabcba 0,25 ))((2 2 2 2 2 2 caba a bcacaba a bca a −− = +−− = + 0,5 tương tự: ))(2 2 2 2 cbab b acb b −− = + 0,25 ))(2 2 2 2 bcac c acc c −− = + 0,25 1 ))()(( ))()(( ))(())(())((222 222 2 2 2 2 2 2 = −−− −−− = −− + −− − −− = + + + + + = cbcaba cbcaba cbca c cbba b caba a abc c acb b bca a P 0,75 a 10; −≤⇒<∈ aaZa 0,5 0423323 222222 ≤+−−−++⇒−++<++ zyxyzyxzyxyzyx 0,5 0)1()1 2 (3) 2 ( 222 ≤−+−+−⇒ z yy x 0,5 HƯỚNG DẪN CHẤM 2 4,5đ 2đ = = = ⇔ = = = ⇒ 1 2 1 1 1 2 2 z y x z y y x Vậy = = = 1 2 1 z y x l à giá trị cần tìm 0,5 b 2,5đ ĐKXĐ :x 4 3 −≥ 0,5 pt 2 7 2 1 4 3 2 7 ) 2 1 4 3 ( 2 =+++⇔=+++⇔ xxxx 3 4 3 =++⇔ xx 1,0 2 2 1 4 3 4) 2 1 4 3 ( 2 =++⇔=++⇔ xx 0,5 2 3 4 9 4 3 =⇔=+⇔ xx (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của phương trình là : S= 2 3 0,5 3 4.5đ a 2,5đ ⇔+≥+⇔≥+ 2233233 2232 ababbaabba 0,5 0)(2)( 222 ≥−−−⇔ babbaa 0,5 0)2)(( 22 ≥−+−⇔ bababa 0,5 0)2)()(( ≥+−−⇔ bababa 0,5 0)2()( 2 ≥+−⇔ baba đúng, dấu = xảy ra khi a=b 0,5 b 2đ Theo câu a yx y x xyyx 2332 2 3 233 −≥⇒≥+⇒ 0,5 tương tự zy z y 23 2 3 −≥ 0,5 xz x z 23 2 3 −≥ 0,5 3=++≥⇒ zyxP dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1.Vậy giá trị bé nhất của P=3 khi x=y=z=1 0,5 4 4,5đ F E Q K O G I H M C B A a 1,5đ IE=IH=IF=AM/2 0,5 góc EIM=2EAI (góc ngoài tam giácEAI) ; góc MIH=2IAH ( góc ngoài tam giácAIH) 0,5 EIHviBAHEAHEIH ∆⇒===⇒ 00 30602 đều HEIHIE ==⇒ tương tự : IH=ÌF=HF ⇒ tứ giác HEIF là hình thoi 0,5 b 1đ Gọi O là giao điểm của IH và EF;.MO cắt AH tại G .Kẻ IK vuông góc với MH,IK cắt MG tai Q HOGIOQ =∆⇒ (g.c.g) 0,5 2 1 ==⇒ GA IQ GA GH (vì I là trung điểm của AM) ⇒ G là trọng tâm của ABC∆ ⇒ E F;HI;MG đồng qui 0,5 c 2đ E F bé nhất EO ⇔ bé nhất EI ⇔ bé nhất AM ⇔ bé nhất(vì ∆ EIO vuông tại O và góc EIO =60 0 HM a AHAM ≡⇒==⇔ 2 3 1,0 Khi đó : aAM EI EOEF 4 3 3 2 1 2 3.2 2 ==== 1,0 5 H D C B A 32 2 1 . 2 1 === ∆ SinAABACBHACS ABC 0,5 2 2 1 , 2 2 1 A SinADACS A SinADABS ADCABD == ∆∆ 0,5 ADCABDABC SSS ∆∆∆ +=⇒ 0,5 3 34 34 2 .).( =⇒=+⇒ AD A SinADACAB 0,5