Nanophotonics - Chương 1-Vật lí sóng

Phần I : VẬT LÝ SÓNG I-PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐIỆN TỪ : 1.Các phương trình Maxwell: Trường điện từ trong chân không vào thời điểm t nào đó được xác đònh bởi vectơ cường độ điện trươ øng ),( trE   và vectơ cảm ứng từ ),( trB   với r  là vectơ vò trí tại điểm đang xét Lực tác dung lên điện tích thử Q chuyển động với vận tốc v  được biểu diễn thông qua E  và B  như sau: )( BvQEQF     Nguồn của trường điện từ là các điện tích và dòng điện ,để đặc trưng cho các đại lượng đó người ta dùng mật độ điện tích và vectơ mật độ dòng điện j  . Các phương trình Maxwell biểu diễn mối liên hệ giữa sự biến thiên của trường điện từ ),( BE  với các nguồn của nó (điện tích ,dòng điện) o Pt M-Φ : div B  = 0 bảo toàn từ thông o Pt M-F : t B Erot      cảm ứng điện từ o Pt M-G : div E  =   0 o Pt M-A : t E jBrot         0 00 j  : dòng điện dẫn t E     0 : dòng điêïn dòch ε 0 = 36 1 .10 -9 (F.m -1 ) :hằng số điện µ 0 = 4  .10 -7 H.m -1 2.Các phương trình lan truyền sóng: )()()( Brot tt B rotErotrot          Mặt khác )( )( )( )( )()( )()( )( )()( 0 2 2 0 0 2 2 0 00 2 2 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 2 2 0 0 2 2 0 00 bjrot t B B t B jrotBBdivgrad t B Erot t FM Erot t jrot t E rotjrotBrotrotAM a t j grad t E E t E t j Brot t AM AAdivgradArotrot                                                                            (a) và (b) là phương trình lan truyền của trường 3.Trường hợp không có nguồn :( )0,0  j   Các pt lan truyền của điện trường E và từ trường B lúc đó có dạng của pt D’Alembert: 0 1 2 2 2     t E C E   ; 0/1 2 2 2     t B CB   (c) Với C 2 = 1/ 00  :vận tốc truyền trong chân không.  Toán tử D’Alemert:  = t C    2 2 /1   E  =0 ;  B  = 0  Đối với moat thành phần của trường (a),có thể biểu diễn dưới dạng a =0 4.Các thế của trường: Div(rot A  ) = 0 0:  BdivM  =>tồn tại moat trường vectơ A  : )(ArotB    0)( )()(              t A Erot t A rotArot tt B ErotFM       =>trường xoáy tồn tại trường vô hướng V : )0)((      gradVrot gradV t A E   Tóm lại ,trường điện từ ( E  ,ø B  ) có moat cặp thế ( A  ,V) liên hệ với chúng qua biểu thức : E  = - t A    gradV ; B  = rot A  Nếu A  là vectơ thế của trường điện từ thì : A  ’ = A  + gradf cũng là vectơ thế V là thế của trường thì V’ = V - t f   cũng là thế. Trong số những cặp thế của m ột trường điện từ xác đònh tồn tại moat cặp thế thoả điều kiện chuẩn Lorentz : 0 0 0     t V Adiv    j t A A t A AdivgradjAAdivgrad t A t V gradj t E j t E jArotrotBrot t V V Adiv t V t A gradVdivEdiv               0 2 2 00 2 2 000 2 2 00000 00000 0 2 2 00 0 )()( )( )()( )()(                                       II- SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG CHẠY ĐIỀU HOÀ LIÊN TIẾP:(OPPH) 1.Mở đầu: - Mặt sóng : là tập hợp các vò trí mà độ lớn của trường không đổi vào thời điểm xác đònh. - Sóng phẳng (OP) là sóng có mặt sóng là một họ các mp vuông góc với phương truyền sóng xác đònh )1( uu  - Sóng phẳng liên tiếp (OPP) là sóng phẳng truyền theo phương và chiều xác đònh ,hàm sóng có dạng: a(M,t) = ).( ctruf   Nghiệm của phương trình D’Alembert là tộ hợp các sóng phẳng liên tiếp theo một phương u  nào đó . - Sóng phẳng điều hoà liên tiếp :là sóng phẳng liên tiếp mà hàm sóng có dạng sin hoặc cos. )cos(),(  rktAtra     Số sóng k=  /2/ C Vectơ sóng k  = k .u  - Sóng điện từ phẳng điều hoà liên tiếp là nghiệm của phương trình Maxwell mà 6 thành phần của trường điện từ có cùng tần số góc  và cùng vectơ sóng k  Có thể biểu diễn trường điện từ dưới dạng phức : )( 0 rktj eEE       )( 0 rktj eBB       Các toán tử đạo hàm tác dụng l ên trường phức tương đương với phép nhân : j t    ; kj    2.Cấu trúc của OPPH trong chân không : Biểu diễn pt Maxwell bằng cách sử dụng toán tử rabla   0 0   B E   tEB TBE   / / 00    =>Dưới dạng phức : )2(0. )1(0.   Bkj Ekj     )4( )3( 00 EjBkj BjEkj         (1)=> 00)Re().Re( 00.   EuEuoEu EuEk           Một ách tương tự => .0Bu    Sóng điện từ phẳng đều hoà liên tiếp trong chân không là sóng ngang. (3) => )'3(. EukEkB       )'4( ˆ )4( 2 E C Buk     Thế (3’) vào (4’) : E C Eu k uk   2 )(.    Ta có: EEuuuEuEuu        )) () ()(. => 2 2 2 c k   (3’) => c Eu Eu k B         Lấy phần thực : c Eu c Eu B          )Re( => ),,( BEu   tạo thành một tam diện thuận Mặt khác tỷ số giữa trường điện và từ là: c tMB tME  ),( ),( Điện trường và từ trường của OPPH đồng pha .Các tính chất trên cũng đúng với OPP. 3.Sự phân cực của OPPH : Trong OPPH phương của điện trường E  trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng u  chưa được xác đònh .Phương của vectơ E  được gọi là phương phân cực của sóng Xét trong hệ toạ độ Descartes ,giả sử sóng truyền theo phương z )cos( 0 xx kztE   E  = )cos( 0 yy kztE   0 Một khi biết được điệ n trường E  ta có thể xác đònh được từ trường bởi cấu trúc OPPH. Tại một vò trí z = z 0 cố đònh ,ta có thể viết sự biến thiên của điện trường như sau : E x = )cos( 0 tE x  E y = )cos( 0  tE y Với  =  x -  y : độ trễ pha của E y đối với E x Đầu mút của vectơ điện trường dòch chuyển trong mp (xOy) ,hình chữ nhật có cạnh 2E 0x và 2E 0y trên đường ellipse có pt:  2 00 2 0 2 0 sincos))((2)()(  y y x x y y x x E E E E E E E E Để xác đònh chiều chuyển động dọc theo ellipse ,ta xét vào thời điểm t=0 ,khi đó E x = E 0x và :  sin.)( 00 yt y E dt dE    chiều quay được chỉ ra bởi d ấu của sin  .  Nếu chiều quay thuận chiều kim đồng hồ :sóng phân cực ellipse trái, sin  > 0  Nếu  = 0 hoặc  =  ,đầu mút của E dòch chuyển trên đường thẳng xác đònh ,ta có phân c ực thẳng Nói chung một sóng phân cực ellipse có thể xem là tổng của 2 sóng phân cực thẳng theo hai phương vuông góc với nhau => mọi sóng điện từ trong chân không là sự tổng hợp của các sóng phẳng điều hoà liên tiếp phân cực thẳng.  Nếu  =  /2 và E 0x = E 0y ta có phân cực tròn. 4.Sự truyền năng lượng của OPPH : Mật độ năng lượng của trường điện từ: e = 0 2 2 0 .22   B E  Đối với OPPH : B = E/c => e = 2 0 E = 0 2  B  năng lượng được phân bố đều dưới dạng điện và từ. Đối với một sóng OPPH truyền theo phương của trục Ox ,trường điện từ có dạng: )( 0 kxtj eEE     )( 0 kxtj x e c Eu B        Giá trò trung bình của e:  <e> = < 2 0 E > = Re( 2 1 0  E  . * E  ) = 2 0  2 0 E  *Vectơ Poynting: Công suất của sóng điện từ (W) đi qua một diện tích S bằng dòng của vectơ poymting 0   BE    (vectơ dòng năng lượng W m đi qua diệm tích đo =   S Sd   . ) Đối với OPP . )( 2 0 00 uEc c EuEBE             Đối với sóng OPPH có tần số  , giá trò trung bình <  > của công suất truyền qua mặt S vuông góc với phương truyền u  <  > = <   >. S  = 1/2Re( SEcS BE . 2 1 ). 2 00 0 *        Ta có: < )()( tBtE   > = )()(Re( 2 1 ))()(Re( 2 1 ** tBtEtBtE m m   ) )cos( 2 1 )Re( 2 1 21 )( 21     mm j mm BEeBE  *Vận tốc truyền năng lượng: V e : vận tốc truyền năng lượng. tS   : năng lượng truyền qua diện tích S vuông góc với phương truyền sóng trong khoảng thời gian t  etvS e  : năng lượng chứa trong thể tích tvS e   etvS e  tS   =>    e v e  Đối với OPPH : v e = c. zzyy ukxtEukxtEE   )sin()cos( 00   =>    )sin()(cos 2 0 22 0 00 2 kxtEkxtE c u u c E zy       = u c EE zoy  . 2 0 2 0 2           2 )sin()(cos 2 0 2 0 0 2 0 22 00 2 0 zy zy EE kxtEkxtEEe      Vecto Poynting phức : 0 *  BE         rktjEE     exp. 0 Đối với OPPH :     rktj c Eu B         exp. 0     rktj c Eu B         exp. * 0 * => u c E u c EE c Eu E BE       .). . ()( 0 2 0 0 * 00 0 * 0 0 0 *       => Sdd     OPPH: u Ec u c E   2 2 00 0 2      • Chúng tôi đã dịch được một số chương của một số khóa học thuộ c chương trình học liệu mở của hai trường đại học nổi tiếng thế giới MIT và Yale. • Chi tiết xin xem tại: • http://mientayvn.com/OCW/MIT/Vat_li. html • http://mientayvn.com/OCW/YALE/Ki_thuat_ y_sinh.html . : 0 0 0     t V Adiv    j t A A t A AdivgradjAAdivgrad t A t V gradj t E j t E jArotrotBrot t V V Adiv t V t A gradVdivEdiv               0 2 2 00 2 2 000 2 2 00000 00000 0 2 2 00 0 )()( )( )()( )()(                                       II- SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG CHẠY ĐIỀU HOÀ LIÊN TIẾP:(OPPH) 1.Mở đầu: - Mặt sóng : là tập hợp các vò trí mà độ lớn của trường không đổi vào thời điểm xác đònh. - Sóng phẳng (OP) là sóng có mặt sóng. hợp các sóng phẳng liên tiếp theo một phương u  nào đó . - Sóng phẳng điều hoà liên tiếp :là sóng phẳng liên tiếp mà hàm sóng có dạng sin hoặc cos. )cos(),(  rktAtra     Số sóng k= . một họ các mp vuông góc với phương truyền sóng xác đònh )1( uu  - Sóng phẳng liên tiếp (OPP) là sóng phẳng truyền theo phương và chiều xác đònh ,hàm sóng có dạng: a(M,t) = ).( ctruf   Nghiệm