Lược đồ giải phương trình logarit Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện Phương pháp 1: Biến đổi tương đương Phương pháp 2: Logarit hoá và đưa về cùng cơ số Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ a. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ b. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x c. Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt với k ẩn phụ Phương pháp 4: Hàm số bao gồm: a. Sử dụng tính liên tục của hàm số b. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Bài toán 1: Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số) Dạng 1: Phương trình: a log f x b b 0 a 1 f x a Dạng 2: Phương trình: aa log f x log g x 0 a 1 f(x) g(x) 0 Ví dụ 1: Giải phương trình: Log x (x 2 + 4x – 4) = 3 Biến đổi tương đương pt về dạng: Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số) Ví dụ 2: Giải phương trình: Biến đổi tương đương pt về dạng: 23 0 x 1 x 4x 4 x 32 0 x 1 x x 4x 4 0 2 0 x 1 x 1 x 4 0 0 x 1 x1 x2 x2 32 13 3 log 2 x x 2 log 2x 2 0 32 33 log 2 x x 2 log 2x 2 32 2x 2 0 2 x x 2 2x 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: Điều kiện: Viết lại pt dưới dạng: Hãy nhớ rằng: 32 x1 x x x 2 2 2 0 2 x1 x 2 x 2 1 x 2 0 2 x1 x 2 x 2 1 x 2 0 2 x1 x 2 0 x 2 1 x 2 0 x2 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log (x 2) 3 log (4 x) log (x 6) 2 2 x 2 0 6 x 2 4 x 0 2 x 4 x 6 0 1 1 1 4 4 4 3log x 2 3 3log (4 x) 3log (x 6) 1 1 1 4 4 4 log x 2 1 log (4 x) log (x 6) 11 44 log 4 x 2 log (4 x) x 6 4 x 2 (4 x) x 6 4(x 2) (4 x) x 6 4(x 2) (4 x) x 6 x2 x8 x 1 33 x 1 33 x2 x 1 33 c a log b a clog b 2 aa a b a.b Ví dụ 4: Giải phương trình: Điều kiện: Viết lại pt dưới dạng: Ví dụ 5: Giải phương trình: Điều kiện: Viết lại pt dưới dạng: 32 1 lg x 8 lg x 58 lg x 4x 4 2 3 2 x 8 0 x 58 0 x 2 x 4x 4 0 2 3 1 lg x 8 lg x 58 lg x 2 2 3 lg x 8 lg x 58 lg x 2 3 lg x 8 lg x 58 x 2 3 x 8 x 58 x 2 2 x 3x 54 0 x9 x6 x9 2 9 3 3 2 log x log x.log 2x 1 1 x0 2x 1 0 2x 1 1 0 x0 2 3 3 3 1 log x log x.log 2x 1 1 2 2 3 3 3 1 2 log x log x.log 2x 1 1 2 2 3 3 3 log x 2log x.log 2x 1 1 3 3 3 log x 2log 2x 1 1 .log x 0 3 2 33 log x 0 log x log 2x 1 1 0 2 x1 x 2x 1 1 2x 1 2 2x 1 1 x1 2 2x 1 x 2 x1 2 2x 1 x 2 Ví dụ 6: Giải phương trình 2 2 3 2 3 7 4 3 log x 3x 2 log x 1 log x 2 Điều kiện: 2 x 3x 2 0 x 1 0 x 2 x2 Nhận xét rằng: 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 và 2 7 4 3 2 3 Khi đó phương trình có dạng: 2 2 3 2 3 2 3 1 log x 3x 2 log x 1 log x 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2log x 3x 2 2log x 1 log x 2 2 2 3 2 3 2 3 log x 3x 2 log x 1 log x 2 2 2 3 2 3 x1 log log x 2 x 3x 2 2 x1 x2 x 3x 2 1 x2 x2 2 x 4 1 x 5 x 5 Ví dụ 7: Giải phương trình: 3 4 5 log x log x log x Điều kiện: x > 0 Ta biến đổi về cùng cơ số 3: 4 4 3 5 5 3 log x log 3.log x log x log 3.log x Khi đó phương trình có dạng: 3 4 3 5 3 log x log 3.log x log 3.log x 3 4 5 log x 1 log 3 log 3 0 3 log x 0 x 1 Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 cosx cos x log 4.log 2 1 Biến đổi phương trình về dạng: x0 2 x1 4 2x 1 x 2 x 0 x 0 2 x1 x1 x4 x 4x 0 cosx cosx cosx cosx 0 cosx 1 0 cosx 1 0 cosx 1 cosx 2 log 2 1 log 2.log 2 1 1 log 2 1 cosx 2 1 co1sx x k2 ,k Z. 23 Ví dụ 9: Giải phương trình: 3 2x 3 log x 21 Điều kiện: 2x 3 0 x Biến đổi phương trình về dạng: 3 2x 3 log 0 x 3 2x 3 2x 3 2 2 log 0 1 2x 3 x x 3 xx Ví dụ 10: Giải phương trình: 2 3 22 log x 1 2log x x 1 Biến đổi phương trình về dạng: 3 22 2log x 1 2log x x 1 3 x 1 x x 1 33 33 x 1 0 x 1 x 1 x x 1 x 2 0 x0 x 1 0 x 1 x 1 x x 1 x 2x 0 Ví dụ 11: Giải phương trình: 2 21 2 log x 1 log x 1 Điều kiện: 2 x 1 0 x1 x 1 0 Biến đổi phương trình về dạng: 2 22 log x 1 log x 1 2 2 log x 1 x 1 0 2 x 1 x 1 1 3 2 2 13 x x x 0 x x 1 0 x 2 Ví dụ 12: Giải phương trình: 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 log x x 1 log x x 1 log x x 1 log x x 1 Biến đổi phương trình về dạng: 4 2 4 2 4 2 2 2 2 log x x 1 log x x 1 log x x 1 4 2 4 2 2 x0 log x x 1 0 x x 1 1 x1 Ví dụ 13: Giải phương trình: 22 2 2 2 log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3 Điều kiện: 2 2 x4 x 3x 2 3 x 2 x 7x 12 0 x1 Viết lại phương trình dưới dạng: 22 22 log x 3x 2 . x 7x 12 log 24 22 x 3x 2 x 7x 12 24 x 1 x 2 x 3 x 4 24 22 x 5x 4 x 5x 6 24 2 Đặt t = x 2 + 5x + 4, điều kiện 9 t 4 Khi đó (2) có dạng: 2 t t 2 24 t 2t 24 0 t 4 Với t = 4: 2 x0 x 5x 4 4 x5 thỏa điều kiện (*) Ví dụ 14: Giải phương trình 2 3 4 log x log x log x lgx Điều kiện: x > 0 Ta biến đổi về cùng cơ số 10: 22 33 44 log x log 10.lgx log x log 10.lgx log x log 10.lgx Khi đó phương trình có dạng: 2 3 4 log 10.lgx log 10.lgx log 10.lgx lgx 2 3 4 lgx log 10 log 10 log 10 1 0 lgx 0 x 1 Ví dụ 15: Giải phương trình: x x lg 1 2 xlg5 lg6 Viết lại phương trình dưới dạng: x lg 1 2 lg6 x lg5 1 x x 1 2 1 lg lg 62 x x 1 2 1 62 Đặt t = 2 x , điều kiện t > 0, khi đó phương trình có dạng: 2 t 3 loai 1 t 1 t t 6 0 6t t2 x 2 2 x 1 Ví dụ 16: Giải phương trình: x 1 x 5 5 5 x 1 log 3 log 3 3 log 11.3 9 1 1 x1 x 1 x 5 5 5 log 3 log 3 3 log 11.3 9 x1 x 1 x 3 . 3 3 11.3 9 1 1 2 3 . 3 3 11.3 9 3 10.3 9 0 x xx xx 3 9 2 0 31 x x x x Ví dụ 17: 23 48 2 log 1 2 log 4 log 4 1x x x Điều kiện: 2 10 4 0 4 1 1 4 40 x x x x x 1 22 4 log 4 1 log 4 x x x 4 41 4 x x x 2 2 10 1 4 41 4 19 12 0 4 10 41 4 4 19 20 0 41 4 x x x x xx x x x x xx x x 3 4 19 41 8 x x 3 4 19 41 8 x x . log x 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2log x 3x 2 2log x 1 log x 2 2 2 3 2 3 2 3 log x 3x 2 log x 1 log x 2 2 2 3 2 3 x1 log. 22 22 log x 3x 2 . x 7x 12 log 24 22 x 3x 2 x 7x 12 24 x 1 x 2 x 3 x 4 24 22 x 5x 4 x 5x 6 24 2 Đặt t = x 2 . x1 2 2x 1 x 2 x1 2 2x 1 x 2 Ví dụ 6: Giải phương trình 2 2 3 2 3 7 4 3 log x 3x 2 log x 1 log x 2 Điều kiện: 2 x 3x 2