hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 1 x 3 + − (C) a*) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b*) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị (C) bằng 4. Câu 2 (1,0 điểm). a*) Giải phương trình: 2(cos sin 2 ) 1 4sin (1 cos 2 )x x x x + = + + b*) Giải phương trình:. ( ) ( ) 1 5 1 5 1 2 x x x+ + + − = Câu 3* (1,0 điểm). Tính tích phân 2 1 1 ln e x x I dx x + = ∫ Câu 4* (1,0 điểm). a) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: 2 3 2z z i + = − b) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam , 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn. Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a. Câu 6* (1,0 điểm). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ) 3; 2; 4A − − , song song với mặt phẳng ( ) :3 2 3 7 0P x y z − − − = và cắt đường thẳng ( ) 2 4 1 : 3 2 2 x y z d − + − = = − . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x-y-7=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2. Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 4 2 6 5 2 2 13 2( ) ( 2 ) 2 4 . 8 . 2 2 x xy y x xy y x y x y x y y y y x − + + + + = + + + − = − + . Câu 9 (1,0 điểm). Cho , ,a b c là các số thực dương và 3a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 1 1 abc P ab bc ca a b c = + + + + + + + Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…… …………………….; Số báo danh:………………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 2 KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Câu Nội dung Điểm 1a Cho hàm số y = x 1 x 3 + − (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 1,00 • Tập xác định: D=R\{3} • Sự biến thiên: ( ) 2 4 ' 0, . 3 y x D x = − < ∀ ∈ − - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;3 −∞ và ( ) 3; +∞ . 0,25 - Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1; x x y y →−∞ →+∞ = = tiệm cận ngang: 1y = . ( ) ( ) 3 3 lim ; lim ; x x y y − + → → = −∞ = +∞ tiệm cận đứng: 3x = . 0,25 -Bảng biến thiên: x −∞ 3 +∞ y’ - - y 1 +∞ 0,25 • Đồ thị: 0,25 1 −∞ hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 1b Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị (C) bằng 4. 1,00 Gọi − + 3 1 ; 0 0 0 x x xM , (x 0 ≠3) là điểm cần tìm, ta có: Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: y =1 là = − 0 4 d x 3 . 0,5 = = ⇔ − = ⇔ − = 0 0 0 0 x 2 4 4 x 3 1 x 3 x 4 025 Với 0 2x = ; ta có ( ) − M 2; 3 . Với 0 4x = ; ta có ( ) M 4;5 Vậy điểm M cần tìm là ( ) − M 2; 3 và ( ) M 4;5 . 0,25 2a a) Giải phương trình: 2(cos sin 2 ) 1 4sin (1 cos 2 )x x x x + = + + 0,5 Phương trình đã cho tương đương với: 2cos 2sin 2 1 4sin 2 .cosx x x x + = + (1 2cos )(2sin 2 1) 0x x ⇔ − − = 2 1 3 cos 2 1 12 sin 2 5 2 12 x k x x k x x k π π π π π π = ± + = ⇔ ⇔ = + = = + ( k Z ∈ ) Vậy pt có nghiệm là: 2 3 x k π π = ± + ; 12 x k π π = + ; 5 12 x k π π = + ( k Z ∈ ) 0,25 0,25 5 -5 y x O 3 1 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2b a) Giải phương trình:. ( ) ( ) 1 5 1 5 1 2 x x x+ + + − = 0,5 5 1 5 1 2 2 2 x x PT + − ⇔ + = ÷ ÷ ÷ ÷ Đặt 5 1 ( 0) 2 x t t + = > ÷ ÷ ta có phương trình: 1 2 1t t t + = ⇔ = 0,25 Với t=1 5 1 1 0 2 x x + ⇒ = ⇔ = ÷ ÷ Vậy phương trình có nghiệm x=0 0,25 3 Tính tích phân 2 1 1 ln e x x I dx x + = ∫ 1 2 1 1 1 1 ln 1 ln e e e x x I dx dx x xdx x x + = = + ∫ ∫ ∫ 1 1 ln 1 1 e e A dx x x = = = ∫ 2 1 1 ln ln 2 e du dx u x x B x xdx Dat dv xdx x v = = = ⇔ = = ∫ 2 2 2 2 1 1 .ln .ln 1 1 1 2 2 2 4 4 4 e e e e x x x x e B x dx x⇒ = − = − = + ∫ 2 5 4 4 e I ⇒ = + 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4a Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: 2 3 2z z i + = − 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Gọi , ( ) = + ∈ => = − z a bi a b R z a bi Ta có : 3a + bi = 3-2i 0,25 Suy ra : a=1 và b = -2 Vậy phần thực là 1 và phần ảo là -2 0,25 4b Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam , 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn. 0,5 Ta có : 4 16 1820C Ω = = Gọi A: “2nam toán ,1 lý nữ, 1 hóa nữ” B: “1 nam toán , 2 lý nữ , 1 hóa nữ” C: “1 nam toán , 1 lý nữ , 2 hóa nữ “ Thì H= A B C ∪ ∪ : “Có nữ và đủ ba bộ môn” 0,25 2 1 1 1 2 1 1 1 2 8 5 3 8 5 3 8 5 3 3 ( ) 7 C C C C C C C C C P H + + = = Ω 0,25 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a. 1,00 Gọi H là trung điểm AB. Do SAB cân tại S,suy ra SH ⊥ AB, mặt khác (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) và 0 60 =∠ SCH . Ta có .1560tan.60tan. 0220 aBHCBCHSH =+== 0,25 . 3 154 4.15 3 1 3 1 32 . aaaSSHV ABCDABCDS === 0,25 Qua A vẽ đường thẳng ∆ song song với BD. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên ∆ và K là hình chiếu của H lên SE, khi đó ∆ ⊥ (SHE) ⇒ ∆ ⊥ HK suy ra HK ⊥ (S, ∆ ). Mặt khác, do BD//(S, ∆ ) nên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 2 ( ,( . )) 2 d BD SA d BD S d d B S d H S HK = = ∆ = ∆ = 0,25 Ta có 0 45 =∠=∠ DBAEAH nên tam giác EAH E k A H B D C S hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán vuông cân tại E, suy ra 22 aAH HE == ( ) 2 2 2 2 . 15 . 15 2 . 31 15 2 a a HE HS HK a HE HS a a ⇒ = = = + + ÷ Vậy ( ) . 31 15 2, aSABDd = 0,25 6 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ) 3; 2; 4A − − , song song với mặt phẳng ( ) :3 2 3 7 0P x y z − − − = và cắt đường thẳng ( ) 2 4 1 : 3 2 2 x y z d − + − = = − . 1,00 Ta có ( ) 3; 2; 3 P n − − uur . Giả sử B(2 + 3t ; –4 – 2t ; 1 + 2t) là giao điểm của ∆ và d . 0,25 Khi đó ( ) 1 3 ; 2 2 ;5 2AB t t t− + − − + uuur , ( ) || . 0 2 P P AB P AB n AB n t⇒ ⊥ ⇔ = ⇔ = uuur uur uuur uur . 0,25 Vậy (8; 8;5)B − và ( ) 5; 6;9AB − uuur . 0,25 Vậy phương trình đường thẳng ( ) 3 2 4 : 5 6 9 x y z − + + ∆ = = − . 0,25 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x-y-7=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2. 1,00 Gọi I là tâm đường tròn đường kính AM thì I là trung điểm AM. Dễ thấy · ¼ · 0 2 90MIN sd MN MBN= = = Điểm C ∈ d: 2x-y-7=0. ⇒C(c;2c-7) Họi H là trung điểm của MN =>H(11/2; 9/2) Phương trình đường thẳng ∆ trung trực của MN đi qua H và vuông góc với MN là d: x-5y+17=0 Điểm I∈∆ => I(5a - 17;a) 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ( ) ( ) 2 2 (1; 5) 26 (22 5 ;7 ) 22 5 7 MN MN IM a a IM a a = − ⇒ = = − − ⇒ = − + − uuuur uuur Vì ∆MIN vuông cân tại I và ( ) ( ) 2 2 2 26 13 22 5 7 13 5 26 234 520 0 4 MN IM a a a a a a = ⇒ = ⇔ − + − = = ⇔ − + = ⇔ = Với a=5 =>I(8;5) => A(11;9) (loại) Với a=4 =>I(3;4) => A(1;1) (t/m) 0,25 Gọi E là tâm hình vuông nên 1 11 ( ; 3) ;5 2 2 c c E c EN c + − − ⇒ = − ÷ uuur Vì AC⊥BD . 0AC EN = uuur uuur ( ) ( ) 2 11 ( 1). 2 8 . 5 0 2 7( / ) 5 48 91 0 13 ( ) 5 c c c c c t m c c c loai − ⇔ − + − − = = ⇔ − + = ⇔ = Suy ra: C(7;7) => E(4;4) 0,25 Pt BD: x+y−8=0, pt BC:x−7=0 ⇒B(7,1)⇒D(1,7) 0,25 8 Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 4 2 6 5 2 2 13 2( ) (1) ( 2 ) 2 4 . 8 . 2 2 (2) x xy y x xy y x y x y x y y y y x − + + + + = + + + − = − + 1,00 Điều kiện: 2 0 0 x y x y ≥ − ≥ + ≥ Xét y = 0, hệ vô nghiệm nên y khác 0 . Chia cả 2 vế của (1) cho y ta được: 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2 2 2 6 5 2 2 13 2( 1) Dat t= ( 1) x x x x x y y y y y x t y − + + + + = + ÷ ÷ > − ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 2 : 2 6 5 2 2 13 2( 1) t 2 3 4 4 0 1( i) 1 2 0 2( / ) PT t t t t t t t t t loa t t t t m − + + + + = + ⇔ − − + + = = − ⇔ + − = ⇔ = 0,25 Với t = 2 => x=2y, thế vào (2) ta được: ( ) ( ) 2 4 4 2 3 3 4 2 2 4 . 8 . 2 2 2 4 2 2 2 2 2 8 . 4 . 2 2 2 4 2 2 8 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 2 (3) y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y + − = − + ⇔ + + + = + ⇔ + + + = + ⇔ + + + + = + ÷ Xét hàm số f(u)=u 3 +2u với u>0; có f’(u) = 3u 2 +2>0, mọi u>0 => hàm số đồng biến Từ (3) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0 1f f y y y y y y y ⇒ + = ⇔ + = ⇔ − − = ⇔ = ÷ ÷ 0,25 Hệ có nghiệm duy nhất (2;1) 0,25 9 Cho , ,a b c là các số thực dương và 3a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 1 1 abc P ab bc ca a b c = + + + + + + + 1,00 Áp dụng Bất đẳng thức: 2 ( ) 3( )x y z xy yz zx+ + ≥ + + , , ,x y z ∀ ∈ℜ ta có: 2 ( ) 3 ( ) 9 0ab bc ca abc a b c abc+ + ≥ + + = > 3ab bc ca abc⇒ + + ≥ Ta có: 3 3 (1 )(1 )(1 ) (1 ) , , , 0a b c abc a b c + + + ≥ + ∀ > . Thật vậy: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 3 3 ( ) (1 )a b c a b c ab bc ca abc abc abc abc abc + + + = + + + + + + + ≥ + + + = + 0,25 Khi đó: 3 3 2 3(1 ) 1 abc P Q abc abc ≤ + = + + (1). 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Đặt 6 abc t = ; vì a, b, c > 0 nên 3 0 1 3 a b c abc + + < ≤ = ÷ Xét hàm số ( ] 2 3 2 2 , 0;1 3(1 ) 1 t Q t t t = + ∈ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ] 5 2 2 3 2 2 1 1 ( ) 0, 0;1 1 1 t t t Q t t t t − − ′ ⇒ = ≥ ∀ ∈ + + . Do đó hàm số đồng biến trên ( ] 0;1 ( ) ( ) 1 1 6 Q Q t Q ⇒ = ≤ = (2). Từ (1) và (2): 1 6 P ≤ . 0,25 Vậy maxP = 1 6 , đạt được khi và và chi khi : 1a b c = = = . 0,25 Hết . Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số. 3x = . 0,25 -Bảng biến thi n: x −∞ 3 +∞ y’ - - y 1 +∞ 0,25 • Đồ thị: 0,25 1 −∞ hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 1b Tìm điểm. 4a Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: 2 3 2z z i + = − 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Gọi , ( ) = + ∈ =>