KIỂM TRA HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 11 ( thời gian 90 phút ) A/ PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7điểm ) Câu 1: ( 2 điểm ) Giải các phương trình sau: 1) 3 sin cos 2sin 4 x x x π − = − ÷ 2) sin 4 3sin 2 4cos 2 2 3 0x x x− + − = Câu 2: ( 2 điểm ) Một lớp có 48 học sinh, trong đó có 20 học sinh giỏi môn toán, 16 học sinh giỏi môn văn và 12 học sinh giỏi môn lịch sử, (giả sử mỗi học sinh giỏi không quá một môn).Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. 1) Tính xác suất cả ba học sinh đều giỏi môn toán. 2) Tính xác suất có ít nhất một học sinh giỏi toán. Câu 3: ( 1 điểm ) Tìm * n∈¥ , biết hệ số của 2 x trong khai triển của biểu thức ( ) 1 4 n x + là 240. Câu 4: ( 2 điểm ) 1) Cho hai tam giác đều ABC và ECF như hình vẽ. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và AF . Chứng minh rằng tam giác CMN là tam giác đều. 2) Cho tứ diện ABCD, gọi I , J lần lượt là trung điểm của AC và BC . Gọi K là điểm trên BD sao cho 3BK KD = . Tìm giao điểm của AD với mặt phẳng ( )IJK và suy ra thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ( )IJK . B/ PHẦN TỰ CHỌN ( 3 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần sau: Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu 5a: ( 2 điểm ) 1) Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau và trong đó mỗi số phải có mặt chữ số 9. 2) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi công thức 1 2 1 3 7 n n u u u + = = + Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng ( ) n u là dãy số tăng. Câu 6a: ( 1 điểm ) Cho đường tròn (C) có phương trình 2 2 6 4 12 0x y x y + − + − = . Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo ( 1;1)v = − r . Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu 5b: ( 2 điểm ) 1) Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau và trong đó mỗi số phải có mặt chữ số 3 và chữ số 5. 2) Xác suất trúng máy bay của mỗi quả đạn là 0,3, biết rằng muốn hạ máy bay cần ít nhất một quả trúng. Tính xác suất hạ được máy bay khi bắn ba quả đạn. Câu 6b: ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng (O )xy ,cho phép vị tự tâm O tỉ số 0k ≠ biến ba điểm thẳng hàng , ,A B C lần lượt thành ba điểm ', ', 'A B C . Chứng minh rằng ', ', 'A B C thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó. … Hết… ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM - HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2010- 2011 Ghi Chú: Nếu học sinh nào làm cả hai phần tự chọn thì phần tự chọn không được tính điểm N M E A C B F A Phần chung dành cho tất cả thí sinh Nội Dung Điểm Câu1.1 Giải các phương trình 2 điểm 3sin cos 2sin 4 x x x π − = − ÷ 3 1 sin os sin 2 2 4 x c x x π ⇔ − = − ÷ os sin sin os sin 6 6 4 c x c x x π π π ⇔ − = − ÷ sin sin 6 4 x x π π ⇔ − = − ÷ ÷ 2 6 4 2 6 4 x x k x x k π π π π π π π − = − + ⇔ − = − + + 17 24 x k π π ⇔ = + k ∈ ¢ 0,25 0,25 0,5 Câu1.2 sin 4 3 sin 2 4cos 2 2 3 0x x x− + − = 2sin 2 cos2 3 sin 2 4cos 2 2 3 0x x x x⇔ − + − = ( ) ( ) 2cos 2 sin 2 2 3 sin 2 2 0x x x⇔ + − + = ( ) ( ) sin 2 2 2cos 2 3 0x x⇔ + − = sin 2 2 3 cos2 2 x x = − ⇔ = 3 cos2 2 x ⇔ = 12 12 x k k x k π π π π = + ⇔ ∈ = − + ¢ 0,25 0,25 0,5 Câu2.1 Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong 48 học sinh ,các kết quả đồng khả năng xảy ra 3 48 ( ) 17296n C Ω = = Gọi A là biến cố chọn ba học sinh đều giỏi toán Tacó 3 20 ( ) 1140n A C = = Suy ra ( ) 285 ( ) ( ) 4324 n A P A n = = Ω 0,25 0,25 0,5 Câu2.2 Gọi B là biến có ít nhất là một học sinh giỏi toán. Suy ra B là biến cố không có học sinh giỏi toán và 3 28 ( ) 3276n B C = = Suy ra ( ) 3276 819 ( ) ( ) 17296 4324 n B P B n = = = Ω Do đó 819 3505 ( ) 1 ( ) 1 4324 4324 P B P B = − = − = 0,5 0,25 0,25 Câu3 Ta có ( ) ( ) 0 1 2 2 3 3 1 4 4 16 64 4 n n n n n n n n x C C x C x C x C x + = + + + + + Suy ra hệ số chứa 2 x là 2 16 n C . Theo giả thiết hệ số của 2 x là 240 nên ta có ( ) 2 1 16 240 15 2 n n n C − = ⇔ = 2 6 30 0 5 n n n n = ⇔ − − = ⇔ = − 6n ⇔ = 0,5 0,25 0,25 Câu4.1 Ghi Chú: Nếu học sinh nào làm cả hai phần tự chọn thì phần tự chọn không được tính điểm (loại) Vô nghiệm (loại) Ta có · 0 ; 60CA CB ACB = = và · 0 ; 60CF CE FCE = = nên thực hiện phép quay tâm C góc quay 0 60 , biến F thành E và A thành B Suy ra phép 0 ( ;60 )C Q biến AF thành BE nên biến trung điểm N của AF thành trung điểm M của BE . Do đó · 0 ; 60CN CM NCM = = CMN ⇒ ∆ là tam giác đều 0,5 0,25 0,25 Câu4.2 Hình vẽ (0,25) Trong mặt phẳng (BCD), ta có 1, 3 JB KB JC KD = = nên JB KB JC KD ≠ suy ra JK không song song với CD nên JK cắt CD tại E, do đó ( ); ( )E ACD E IJK ∈ ∈ . Trong ( )ACD , gọi F là giao điểm của AD và IE mà ( )IE IJK ⊂ . nên F là giao điểm của AD và ( )IJK Mặt khác ( ) ( )IJK ABC IJ ∩ = ( ) ( )IJK BCD JK ∩ = ( ) ( )IJK ABD KF ∩ = ( ) ( )IJK ACD FI ∩ = Vậy thiết diện thu được là tứ giác IJKF 0,25 0,25 0,25 B. Tự chọn Phần1: Theo chương trình chuẩn Câu5a1 Số có năm chữ số khác nhau được lập từ các số { } 1;2;3;4;5;6;7;8;9 là 5 9 15120A = số mà trong đó số có năm chữ số khác nhau được lập từ các số { } 1;2;3;4;5;6;7;8 không có mặt chữ số 9 là 5 8 6720A = số Vậy số có năm chữ số khác nhau mà mỗi số có phải có mặt chữ số 9 là 15120 6720 8400 − = 0,25 0,25 0,5 Câu5a2 Để ( ) n u là dãy số tăng ta cần chứng minh 1 * , n n u u n + > ∀ ∈ ¥ (1) Với 1n = ta có 2 1 4 3u u = > = ,suy ra (1) đúng với n=1 Giả sử (1) đúng với , , 1n k k k = ∈ ≥ ¥ , nghĩa là 1k k u u + > ta cần chứng minh (1) đúng với 1n k = + , tức là 2 1k k u u + + > Thật vậy , 2 2 2 1 1 7 7 k k k k u u u u + + + = + + = > (đpcm) Vậy 1 n n u u + > đúng * n ∀ ∈ ¥ n u ⇒ là dãy số tăng. 0,25 0,25 0,5 Ghi Chú: Nếu học sinh nào làm cả hai phần tự chọn thì phần tự chọn không được tính điểm N M E A C B F F E I J A B C D K Câu 6a Đường tròn (C) có tâm (3; 2)I − và bán kính 5R = Ta có ' 3 1 2 ( ) '( '; ') ' 2 1 1 v x T I I x y y = − = = ⇔ = − + = − r và ' 5R R = = Vậy phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép V T ur là: 2 2 ( 2) ( 1) 25x y− + + = 0,25 0,25 0,5 Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu5b1 Vì số có năm chữ số khác nhau mà mỗi số có mặt chữ số 3 và chữ số 5, nên ta cần chọn bộ ba số trong các số { } 1;2;4;6;7;8;9 có 3 7 C cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn một bộ ba số cùng với chữ số 3 và chữ số 5 ta lập được 5! số có năm chữ số khác nhau có mặt 3 và 5. Vậy số cố năm chữ số cần tìm là 3 7 .5! 4200C = số 0,25 0,25 0,5 Câu5b2 Gọi i A là các biến cố quả đạn thứ i bắn trúng máy bay, 1, 2,3i = và ( ) 0,3 i P A = ; các biến cố i A độc lập. Gọi B là biến cố hạ được máy bay B ⇒ là biến cố không hạ được máy bay. và 1 2 3 A AB A = Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 3 1 2 3 . . (1 0,3) 0,343P B P A A A P A P A P A= = = − = Vậy xác suất hạ được máy bay là ( ) ( ) 1 1 0,343 0,657P B P B= − = − = 0,25 0,25 0.25 0,25 Câu 6b Ta có A;B;C thẳng hàng ,giả sử B nằm giữa A và C nên (1)AB BC AC + = Phép vị tự tâm O tỉ số 0k ≠ biến A,B,C lần lượt thành A’, B’, C’ ta có 1 ' ' ' 'A B k AB AB A B k = ⇒ = 1 ' ' ' 'B C k BC BC B C k = ⇒ = 1 ' ' ' 'A C k AC AC A C k = ⇒ = Thay vào (1) ta được 1 ' 'A B k + 1 ' 'B C k = 1 ' ' ' ' ' ' ' 'A C A B B C A C k ⇔ + = Vậy ', ', 'A B C thẳng hàng và 'B nằm giữa 'A và 'C . 0,5 0,5 Ghi Chú: Nếu học sinh nào làm cả hai phần tự chọn thì phần tự chọn không được tính điểm . KIỂM TRA HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2 010 – 2 011 MÔN TOÁN LỚP 11 ( thời gian 90 phút ) A/ PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7điểm ) Câu 1: ( 2 điểm ) Giải các phương trình sau: 1) 3 sin. chọn Phần1: Theo chương trình chuẩn Câu5a1 Số có năm chữ số khác nhau được lập từ các số { } 1; 2;3;4;5;6;7;8 ;9 là 5 9 15 120A = số mà trong đó số có năm chữ số khác nhau được lập từ các số { } 1; 2;3;4;5;6;7;8 . ) Một lớp có 48 học sinh, trong đó có 20 học sinh giỏi môn toán, 16 học sinh giỏi môn văn và 12 học sinh giỏi môn lịch sử, (giả sử mỗi học sinh giỏi không quá một môn) .Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. 1)