Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 3

1 UBND TỈNH BẮC GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán-Khối THPT Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 29/12/2012 ĐIỂM TOÀN BÀI Các giám khảo (họ tên và chữ kí) SỐ PHÁCH (do chủ tịch hội đồng chấm ghi) Bằng số Bằng chữ Chú ý: - Đề thi này có 06 trang với 10 bài, tổng 50 điểm; - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này, những phần không yêu cầu trình bày lời giải thì điền kết quả vào ô trống tương ứng. - Nếu không có yêu cầu gì thêm, hãy tính chính xác đến 4 chữ số thập phân. - Các đoạn thẳng được đo theo cùng một đơn vị dài. Bài 1: (5 điểm) a) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 33 3cos 2sin cos 4sin 0x x x x    . Cách giải Kết quả b) Cho ()fx là đa thức bậc 2011 thỏa mãn 1 ( ) ,fn n  với 1,2,3 ,2012.n  Tính (2013)f . Cách giải Kết quả 2 Bài 2: (5 điểm) a) Cho hàm số 32 ( ) 4 1 và f x x x x    đường thẳng : 3 2d y x   . Tính gần đúng tọa độ giao điểm của d và đồ thị hàm số f(x). Cách giải Kết quả b) Tìm gần đúng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ( ) 1 4 3f x x x x      . Cách giải Kết quả Bài 3.(5 điểm) a) Cho dãy số ( ), n a với * 1 2 2 1 11 1, 2 và , 43 n n n a a a a a n        . Lập quy trình 15 tính a . b) Cho một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 7 viên bi trắng và 8 viên bi vàng, không có hai viên bi cùng mầu nào giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi. Tìm gần đúng xác suất để số bi lấy ra không có đủ 3 mầu. Cách giải Kết quả 3 Bài 4: (5 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài các đường trung tuyến là 4,56( ), 5,52( ), 3,25( ) a b c m cm m cm m cm   . Tìm gần đúng diện tích tam giác ABC. Cách giải Kết quả Bài 5: (5 điểm) a) Tính gần đúng giá trị của a và b sao cho đường thẳng y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 2 4 2 5 1 xx y x    tại tiếp điểm có hoành độ là 15x  . Cách giải Kết quả b) Tìm gần đúng độ dài của dây cung chung của hai đường tròn cho bởi các phương trình sau: 2 2 2 2 2 4 1 0 và 2 2 6 4 3 0x y x y x y x y          Cách giải Kết quả 4 Bài 6. (5 điểm) Để tạo ra một hình lục giác từ một tờ giấy hình chữ nhật kích thước a, b (a>b>0) ta có thể làm như sau: Gấp tờ giấy ấy dọc theo một đường chéo hình chữ nhật rồi cắt bỏ hai tam giác ở hai bên, mở ra được hình thoi. Lại tiếp tục gấp hình thoi ấy dọc theo đoạn thẳng nối hai trung điểm của một cặp cạnh đối rồi cũng cắt bỏ đi hai tam giác ở hai bên, mở ra được hình lục giác. Tìm giá trị gần đúng của tỷ số b a để lục giác nói trên là một lục giác đều. Cách giải Kết quả Bài 7. (5 điểm) a) Tìm chữ số thập phân thứ 2012 2013 sau dấu phẩy trong phép chia 10000:53. b) Tìm số các chữ số khi viết trong hệ thập phân của số tự nhiên 20 2 2012 . Cách giải Kết quả 5 Bài 8 (5 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có 5, 6 và AA' 7AB AD   . Có một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. a) Tìm gần đúng thể tích của khối đa diện chiếm phần không gian nằm ngoài hình hộp và trong mặt cầu. b) Tìm gần đúng bán kính và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’B’D’. Cách giải Kết quả Bài 9 (5 điểm) Tính gần đúng diện tích hình nằm phía trong hình thang và ngoài các hình tròn (phần màu đậm của hình dưới) biết độ dài hai đáy hình thang là 3m và 5m, diện tích hình thang bằng 20m 2 . Cách giải Kết quả 6 Bài 10 (5 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = 312 , BC = 76 ,CD = 57 , BD = 69 và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam giác BCD. Tính gần đúng thể tích tứ diện ABCD. Cách giải Kết quả Hết 7 UBND TỈNH BẮC GIANG HDC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán-Khối THPT Bài 1: (5 điểm) a) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 33 3cos 2sin cos 4sin 0x x x x    . Cách giải Kết quả Điểm Phương trình trở thành cos 0x  không thỏa mãn 0,5đ cos 0x  , pt trở thành 32 2tan tan 2tan 2 0 tan 1.142138769 x x x x        1đ Từ đó suy ra x 00 48 47'46'' .180 () xk k     1đ b) Cho ()fx là đa thức bậc 2011 thỏa mãn 1 ( ) ,fn n  với 1,2,3 ,2012.n  Tính (2013)f . Cách giải Kết quả Điểm Xét đa thức ( ) ( ) 1g x xf x Từ giả thiêt suy ra g(x) có bậc 2012 và có 2012 nghiệm là 1,2,3…,2012 Do đó ( ) ( 1)( 2) ( 2012)g x a x x x    1đ (0) 1g  và (0) .2012!ga Từ đó suy ra 1 2012! a  1 (2013) 2012! 1 2012! g     1đ Dẫn đến f(2013) 0.0000 0.5đ Bài 2: (5 điểm) a) Cho hàm số 32 ( ) 4 1 và f x x x x    đường thẳng : 3 2d y x   . Tính gần đúng tọa độ giao điểm của d và đồ thị hàm số f(x). Cách giải Kết quả Điểm Xét phương trình hoành độ giao điểm 32 1 4 1 =-3x+2 0.381966011 2.618033989 x x x x x x             1.đ (1;-1) (0.3820;0.8541) (2.6180;-5,8541) 1,5đ 8 b) Tìm gần đúnggiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ( ) 1 4 3f x x x x      . Cách giải Kết quả Điểm Ta có Điều kiện [1;3]x 2 2 '( ) 1 '( ) 0 2.707106781 43 x f x f x x xx           1,5đ (1) 0; (3) 2; (2.707106781) 2.414213562f f f   GTLN của f(x) bằng 2.4142 GTNT của f(x)bằng 0 1đ Bài 3.(5 điểm) a) Cho dãy số ( ), n a với * 1 2 2 1 11 1, 2 và , 43 n n n a a a a a n         . Lập quy trình 15 tính a . b) Cho một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 7 viên bi trắng và 8 viên bi vàng, không có hai viên bi cùng mầu nào giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi. Tìm gần đúng xác suất để số bi lấy ra không có đủ 3 mầu. Cách giải Kết quả Điểm a) n:=3: A:=1: B:=2 11 : 43 C B A A:=B B:=C n:=n+1 Bấm phím = liên tiếp đến khi n=15. 1,5đ 15 0.0193a  1đ b) Số khả năng có thể là 5 21 C 1đ S ố khả năng thuận lợi: 5 5 5 5 5 5 13 14 15 6 7 8 ( ) 6209C C C C C C      0.3051p  1.5đ Bài 4: (5 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài các đường trung tuyến là 4,56( ), 5,52( ), 3,25( ) a b c m cm m cm m cm   . Tìm gần đúng diện tích tam giác ABC. Cách giải Kết quả Điểm Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 24 24 27.23208889; 14.32968889; 40.87355556 c a b a b c m c b a m a c b m a b c                    1,5đ cos 0.577884203 sin 0.81611877 A A   1.5đ 1 sin 9.87558794 2 ABC S bc A 9.8756s  2đ 9 Bài 5: (5 điểm) a) Tính gần đúng giá trị của a và b sao cho đường thẳng y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 2 4 2 5 1 xx y x    tại tiếp điểm có hoành độ là 15x  . Cách giải Kết quả Điểm 32 2 2 2 4 3 6 1 ' ( 1) . 4 2 5 x x x y x x x         0,5đ '(1 5) 0.60626398ay   0.6063a  1đ (1 5) (1 5). 1.209356513b y a     1.9121b  1đ b) Tìm gần đúng độ dài của dây cung chung của hai đường tròn cho bởi các phương trình sau: 2 2 2 2 2 4 1 0 và 2 2 6 4 3 0x y x y x y x y          Cách giải Kết quả Điểm Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ 22 22 22 2 4 1 0 2 4 1 0 10 12 1 0 2 2 6 4 3 0 x y x y x y x y xy x y x y                           1đ 2 244 43 191 0 144 36 144 10 1 12 xx x y              0.5đ Tính đúng kết quả. 2.4794 1đ Bài 6. (5 điểm) Để tạo ra một hình lục giác từ một tờ giấy hình chữ nhật kích thước a, b (a>b) ta có thể làm như sau: Gấp tờ giấy ấy dọc theo một đường chéo hình chữ nhật rồi cắt bỏ hai tam giác ở hai bên, mở ra được hình thoi. Lại tiếp tục gấp hình thoi ấy dọc theo đoạn thẳng nối hai trung điểm của một cặp cạnh đối rồi cũng cắt bỏ đi hai tam giác ở hai bên, mở ra được hình lục giác. Tìm giá trị gần đúng của tỷ số b a để lục giác nói trên là một lục giác đều. Cách giải Kết quả Điểm J H I G E F C A B D Độ dài một đường chéo của hình thoi bằng độ dài đường chéo của hình chữ nhật và bằng 22 ab 1,5đ 10 Cạnh của hình thoi là: 22 2 ab c a   . Để lục giác tạo được là đều thì góc  0 60GAH  1đ Ta có 22 22 0 2 22 1 EF 1 2 2 tan30 1 2 2 1 3 ab ab a a ab AC b a        0.5774 b a  2,5đ Bài 7. (5 điểm) a) Tìm chữ số thập phân thứ 2012 2013 sau dấu phẩy trong phép chia 10000:53. b) Tìm số các chữ số khi viết trong hệ thập phân của số tự nhiên 20 2 2012 . Cách giải Kết quả Điểm a) Tìm số dư của phép chia 2013 2012 1 10 .10000:53  21 2013 2013 2012 12(mod52) 2012 12(mod52) 2012 3 52. 15q        1,5đ Ta có 2013 52 2012 3 15 10 1(mod53) 10 10 (mod53) 47(mod53)      Ta có 47 0.88679 53  Chữ số cần tìm là: 8 1đ b) Số các chữ số là 20 2 log2012 1    1,5đ 3464106 1đ Bài 8 (5 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có 5, 6 và AA' 7AB AD   . Có một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. a) Tìm gần đúng thể tích của khối đa diện chiếm phần không gian nằm ngoài hình hộp và trong mặt cầu. b) Tìm gần đúng bán kính và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’B’D’. Cách giải Kết quả Điểm a) Bán kính mặt cầu: 1 110 2 R  . 3 4 5.6.7 3 VR   394,0705 1,5đ 1đ b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’B’D’ là: 110 2 r  1đ [...]... nửa chu vi tam giác BCD: p = (b + c + d)/2 và S = p( p  b)( p  c)( p  d ) 1 Trung tuyến BB’ = 2c 2  2d 2  b 2 2 2 1  BG = BB’ = 2c 2  2d 2  b 2 3 3  AG = Vậy V = Kết quả Điểm 1 1 1 AB 2  BG 2 1 S.AG 3 1 Đáp số: VABCD  711 ,37 757 (đvtt) 711 .37 76 1 -Hết - 11 ... cần tìm: S = Shình thang – 2(Squạt lớn + Squạt nhỏ) Bài 10 (5 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB =12 7. 437 8cm2 1đ 1đ 3 , BC = 6 7 ,CD = 7 5 , BD = 9 6 và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam giác BCD Tính gần đúng thể tích tứ diện ABCD Cách giải Đặt a = AB = 12 3 ; b = CD = 7 5 ; c = BD = 9 6 ; d = BC = 6 7 Ta có nửa chu vi tam giác BCD: p = (b + c + d)/2 và S...Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’B’D’ là: S  4 r 2 34 5.5752 1.5đ Bài 9 (5 điểm) Tính gần đúng diện tích hình nằm trong hình thang và ngoài hình tròn (phần màu đậm) biết chiều dài hai đáy hình thang là 3m và 5m, diện tích hình thang bằng 20m2 Cách giải Diện tích hình thang: 20m Diện tích một quạt lớn: Squạt lớn = 4.2919 m2 Kết . .10000: 53  21 20 13 20 13 2 012 12(mod52) 2 012 12(mod52) 2 012 3 52. 15q        1,5đ Ta có 20 13 52 2 012 3 15 10 1(mod 53) 10 10 (mod 53) 47(mod 53)      Ta có 47 0.88679 53  . GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO NĂM HỌC 2 012- 20 13 Môn: Toán- Khối THPT Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 29 /12/ 2 012 ĐIỂM. 2 012 20 13 sau dấu phẩy trong phép chia 10000: 53. b) Tìm số các chữ số khi viết trong hệ thập phân của số tự nhiên 20 2 2 012 . Cách giải Kết quả Điểm a) Tìm số dư của phép chia 20 13 2012