UBND TNH HềA BèNH S GIO DC V O TO THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT, NM HC 2013-2014 Mụn: Toỏn Ngy thi: 25/12/2013 Thi gian lm bi: 180 phỳt Cõu 1 (4 im). Cho hm s 2 1 1 x y x + = + cú th (C). 1/ Tỡm cỏc khong n iu ca th hm s (C). 2/ Tỡm k ng thng 2 1y kx k= + + ct (C) ti hai im phõn bit A v B sao cho A, B cỏch u trc honh. Cõu 2 (6 im). 1/ Tỡm nghim x [ ] 0; ca phng trỡnh sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x + = 2/ Gii phng trỡnh ( ) ( ) 4 2 2 2 16 2 2 3 log 6 log 1 log 3x 4 x x x + + = + + 3/ Gii h phng trỡnh: 3 2 1 2 .( 1) 16 3 1 0 y x x y x y x + = + + + = Cõu 3 (4 im). Cho hỡnh chúp .S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang ( / /AD BC ), H l trung im ca AB . Bit rng tam giỏc SAB u cnh 2a v nm trong mt phng vuụng gúc vi ỏy, 5SC a= v khong cỏch t D ti mt phng ( ) SHC bng 2 2a . 1/ Tớnh khong cỏch t S ti mt phng ( ABCD ). 2/ Tớnh th tớch khi chúp .S ABCD . Cõu 4 (4 im). Trong mt phng vi h ta Oxy cho tam giỏc nhn ABC. Gi E; F ln lt l chõn ng cao h t B v C. Bit nh A(3; -7); trung im ca BC l M(-2; 3); ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF cú phng trỡnh l: 2 2 ( 3) ( 4) 9x y + + = . 1/ Tỡm ta trc tõm ca tam giỏc ABC. 2/ Xỏc nh ta nh B; C. Cõu 5 (2im). Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: ( ) 2 2 5 20 30 2 5 5x x m x x+ + = + + HT Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm Họ, tên thí sinh: , SBD Họ, tên giám thị 1: ; Họ, tên giám thị 2: HNG DN CHM MễN TON CHNH THC Câu Ý Nội dung Điểm Câu 1 1 Tập xác định { } \ 1D = −¡ , 2 1 0, ( 1) y x D x = > ∀ ∈ + 1,0 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1)−∞ − ; ( 1; )− + ∞ 1,0 2 Xét pt hoành độ giao điểm 2 1 2 1 1 x kx k x + = + + + Biến đổi được về: 2 (3 1) 2 0(1)kx x k k+ − + = Để pt (1) có hai nghiệm phân biệt thì 2 6 1 0k k− + > (*) 1,0 Các giao điểm 1 1 2 2 ( ; ); ( ; )A x y B x y , với 1 1 2 1y kx k= + + ; 2 2 2 1y kx k= + + Để A, B cách đều Ox thì 1 2 1 2 y y y y= ⇔ = − (Loại trường hợp 1 2 y y= vì khi đó 1 2 x x= , mà A, B phân biệt). 1 2 1 2 1 2 0 ( ) 4 2 0y y y y k x x k= − ⇔ + = ⇔ + + + = Sử dụng định lý Viet cho pt (1) ta được 3k = − (Thỏa mãn (*)). KL…. 0, 5 0,5 Câu 2 1 ( ) ( ) 4 2 2 2 16 2 2 3 log 6 log 1 log 3x 4 x x x + + = + + Điều kiện xác định 6; 0; 3x x x > − ≠ ≠ − 0,5 Biến đổi tương đương chuyển được về: ( ) 2 2 log 6 log 2 3x x + = + Giải ra tìm được 4x = − , thỏa mãn điều kiện. KL… 1,0 0,5 2 Giải phương trình: sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = Thay 2 cos 2 1 2sinx x= − , đưa về: 2 2sin sin (2cos 3) cos 2 0x x x x+ + − − = 1 sinx 2 sinx = -cos 2x = ⇔ − 1 sinx 2 sinx +cos 2x = ⇔ = − 1,0 + Với 1 sinx 2 = có các nghiệm trong khoảng cần tìm là 5 ; 6 6 π π . + sinx+cos 2x = − , vô nghiệm vì sinx+cos 2 os( ) 2 4 x c x π = − ≤ 0,5 0,5 3 ĐK: 1y ≥ (1) 3 4(2 ) 1.( 1)x x y y⇔ + = − + 2 2 (4 2) 1.( 1)x x y y⇔ + = − + (3) Xét hàm số 2 ( ) ( 2)f t t t= + trên R, chỉ ra f(t) đồng biến trên R. PT (3) (2 ) ( 1)f x f y⇔ = − 2 2 1 4 1x y y x⇔ = − ⇔ = + , thế vào (2) ta được pt 2 0 1( ) 3 3 0 1 5( ) x y TM x x x y TM = ⇒ = − + = ⇔ = ⇒ = Vậy hệ có 2 nghiệm (0;1) và (1;5) 1,0 1,0 Câu 3 1 Tìm được tâm đt ngoại tiếp tam giác AEF: I(3; -4); bán kính R = 3. Chỉ ra được tứ giác AEHF nội tiếp trong đường tròn đường kính AH. Từ đó H đối xứng với A qua tâm I, tìm được H(3; -1). 1,0 1,0 2 Đường thẳng BC qua M, vuông góc với AH, có pt: y = 3. Gọi B(b; 3) suy ra C(- 4 – b; 3) Do H là trực tâm của tam giác nên ta có: . 0 ( 7)( 3) 40 0HB CA b b= ⇔ + − − = uuur uuur Giải ra tìm được 2 65b = − ± , từ đó tọa độ điểm B, C cần tìm là: 1 1 ( 2 65;3); ( 2 65;3)B C− + − − và 2 2 ( 2 65;3); ( 2 65;3)B C− − − + . 1,0 0,5 0,5 Câu 4 1 H A D B S C Kẻ SH vuông góc với AB, suy ra H là trung điểm của BC Tính được 3SH a= . Theo gt ( ) ( ) ( )SAB ABCD SH ABCD⊥ ⇒ ⊥ , từ đó ( ,( ))d S ABCD SH= KL…. 1,0 1,0 2 Chứng minh được 1 2 HCD ABCD S S= , suy ra . . 2 S ABCD S HCD V V= Mặt khác . . 1 ( ; ). 3 S HCD D SHC SHC V V d D SHC S= = Xét tam giác SHC vuông tại H, 5; 3SC a SH a= = suy ra 2HC a= . Tính được 2 1 6 . . 2 2 SHC a S SH HC= = Thay số tính được 3 . 4 3. 3 S ABCD a V = (ĐVTT) 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 5 Biến đổi pt: ( ) ( ) 2 2 2 2 5 5 2 5 5x x m x x+ + + = + + (1) Nhận thấy 5 2 x = − không là nghiệm của pt, chia hai vế cho ( ) 2 2 5 5x x+ + (2) 2 2 2 5 5 2 5 5 x x m x x + + ⇔ + = + + Đặt 2 2 5 5 x t x + = + ; Xét ( ) 2 2 5 5 x f x x + = + 2 2 5 lim 2 5 x x x →+∞ + = ÷ + 2 2 5 lim 2 5 x x x →−∞ + = − ÷ + ( ) ( ) 3 2 10 5 ' 5 x f x x − = + Xét ( ) ' 0 2f x x= ⇔ = Lập bảng bt của f(x) và chỉ ra được [ ] { } 2;3 \ 0t ∈ − Xét ( ) 1 g x t t = + ( với ( ] { } ( 2;3 \ 0 )t ∈ − ); ( ) 2 1 ' 1g x t = − Xét ( ) 2 1 ' 1 1 t g x o t t = = ⇔ = ⇔ = − t -2 -1 0 1 3 ( ) 'f x + 0 - - 0 + ( ) f x -2 −∞ 5 2 − +∞ 5 2 2 Vậy m cần tìm là ( ] [ ) ; 2 2;m∈ −∞ − ∪ +∞ 0,5 0,5 0,5 0,5 Mọi lời giải đúng đều được xem xét và cho điểm tương ứng. −−−−− HẾT −−−−− . UBND TNH HềA BèNH S GIO DC V O TO THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT, NM HC 2013-2014 Mụn: Toỏn Ngy thi: 25 /12/ 2013 Thi gian lm bi: 180 phỳt Cõu 1 (4 im). Cho hm s 2 1 1 x y x + = + . 3) ( 4) 9x y + + = . 1/ Tỡm ta trc tõm ca tam giỏc ABC. 2/ Xỏc nh ta nh B; C. Cõu 5 (2im). Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: ( ) 2 2 5 20 30 2 5 5x x m x x+ + = + + HT Cỏn b coi thi khụng. thí sinh: , SBD Họ, tên giám thị 1: ; Họ, tên giám thị 2: HNG DN CHM MễN TON CHNH THC Câu Ý Nội dung Điểm Câu 1 1 Tập xác định { } 1D = −¡ , 2 1 0, ( 1) y x D x = > ∀ ∈ + 1,0 Vậy hàm số