Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU ——————– ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT,NĂMHỌC2013-2014 —————- MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài thi : 180 phút Ngày thi : 17/12/2013 Bài 1 (5.0 điểm) 1. Cho hàm số y = x + 1 x −1 có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M cùng với hai tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 2. Cho hàm số y = x 3 −3x 2 +6x +2 có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của m để (C) có 2 tiếp tuyến có cùng hệ số góc m. Gọi A, B là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên, tìm m để đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = 3x −1. Bài 2 (5.0 điểm) 1. Giải phương trình : 6  x 3 + 8 = 5x 2 −9x + 22 2. Giải phương trình : log 3 (tanx) = log 2 √ sinx Bài 3 (3.0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và góc B bằng 60 o , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABC D) bằng 60 o . Gọi M là trung điểm của đoạn SC. 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 2. Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (BMD) theo a. Bài 4 (3.0 điểm). 1. Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N là điểm cạnh AD sao cho AN = 2ND. Giả sử đường thẳng CN có phương trình : x + 2y −11 = 0 và M  5 2 ; 1 2  . Tìm tọa độ điểm C. 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C 1 ) : x 2 + y 2 = 9 và điểm M(2;−1). Viết phương trình đường tròn (C 2 ) có bán kính R 2 = 2 √ 5, biết (C 2 ) qua M và (C 2 ) cắt (C 1 ) theo dây cung bé nhất. Bài 5 (4.0 điểm). 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất    (x + y) 2 + 2x + 2015y + m ≤ y (x −y) 2 + 3x −2014y + m ≤ x 2. Cho a, b, c ∈  0; 1 2  và thỏa điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 5a −1 a −a 2 + 5b −1 b −b 2 + 5c −1 c −c 2 HẾT R T E X by Nguyễn Minh Tuấn (Popeye), thành viên www.k2pi.net 1 . TÀU ——————– ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT,NĂMHỌC2 013 -2 014 —————- MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài thi : 18 0 phút Ngày thi : 17 /12 / 2 013 Bài 1 (5.0 điểm) 1. Cho hàm số y. ∈  0; 1 2  và thỏa điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 5a 1 a −a 2 + 5b 1 b −b 2 + 5c 1 c −c 2 HẾT R T E X by Nguyễn Minh Tuấn (Popeye), thành viên www.k2pi.net 1 . thẳng CN có phương trình : x + 2y 11 = 0 và M  5 2 ; 1 2  . Tìm tọa độ điểm C. 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C 1 ) : x 2 + y 2 = 9 và điểm M(2; 1) . Viết phương trình đường tròn (C 2 )