Đề luyện thi đại học môn Toán số 4

ĐỀ SỐ 4 Ngày 23 tháng 2 năm 2014 Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức P = ( ) ( ) 2 1 2 3 1 1 x x x x x x x + − + − + − − a) Tìm điều kiện xác định của P b) Rút gọn P c) Tìm x để P > 0 Bài 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 x y x y  + + =   + − =   Bài 3. (2 điểm) 1) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = x + 6 và parabol y = x 2 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục Ox, trục Oy lần lượt tại các điểm A , B và ∆ AOB cân ( đơn vị trên hai trục Ox và Oy bằng nhau). Bài 4. (3,0 điểm) Cho ∆ ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm của AH, K là trung điểm của HC. Đường tròn đường kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại diểm M và N. a) Chứng minh ∆ ACB và ∆ AMN đồng dạng b) Chứng minh KN là tiếp tuýên với đường tròn (AH) c) Tìm trực tâm của ∆ ABK Bài 5. (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: x + y + x = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 1 1 16 4x y z + + Bài 6: (1,0 điểm) Dùng đồ thị để biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: 2 2 x 4x 4 4x 4x 1 x m − + + + + = + Hết Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 đường Lò Chum Thành Phố Thanh hóa 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ Bài 1 (2 điểm) a) (0,5 điểm) Điều kiện xác định của P là x 0 ≥ và x ≠ 1 b) (1 điểm)Vì ( ) 1 1 1 x x x x x + = − − Ta có P= ( ) 2 2 3 4 4 3 1 1 x x x x x x x x x − + − − + + − = − − 4 1 x x − = − Vậy P = 4 1 x− c) (0,5 điểm) P>0 1 0x⇔ − > 1 0 1x x⇔ < ⇔ ≤ < Bài 2 (1,5 điểm) Cộng hai phương trình ta có : ( ) 3 2 2 1 2x+ = + 1 2 1 2 1 3 2 2 1 2 x + ⇔ = = = − + + Với ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1x y= − ⇒ = + − − = − K/l Vậy hệ có nghiệm: 2 1 2 1 x y  = −   = −   Bài 3 (2 điểm) a) (1 điểm) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: x 2 = x + 6 2 6 0 2x x x⇔ − − = ⇔ = − hoặc x = 3 Với x = -2 4; 3 9y x y⇒ = = ⇒ = . Hai điểm cần tìm là (-2;4); (3;9) b) (1 điểm) Với y = 0 ( ) 2 3 1 2 3 0 1 m m m x m + ⇒ + + + = ⇔ = − + (với m ≠ -1) 2m+3 A - ;0 m+1   ⇒  ÷   Với x = 0 ( ) 2 3 B 0;2m+3y m⇒ = + ⇒ ∆ OAB vuông nên ∆ OAB cân khi A;B ≠ O và OA = OB 2 3 2 3 1 m m m + ⇔ − = + + + Với ( ) 2 3 1 2 3 2 3 1 0 0 1 1 m m m m m m +   = + ⇔ + − = ⇔ =  ÷ + +   hoặc m = 3 2 − (loại) + Với ( ) 2 3 1 2 3 2 3 1 0 2 1 1 m m m m m m +   − = + ⇔ + + = ⇔ = −  ÷ + +   hoặc m = 3 2 − (loại) K/l: Giá trị cần tìm m = 0; m = -2 Bài 4(3,5 điểm) E N M I K H C B A a) (1,5 điểm) ∆ AMN và ∆ ACB vuông đỉnh A. Có · · AMN AHN= (cùng chắn cung AN) · · AHN ACH= (cùng phụ với · HAN ) (AH là đường kính) · · AMN ACH⇒ = AMN ACB⇒ ∆ ∆: b) (1 điểm) ∆ HNC vuông đỉnh N vì · 0 ANH 90= có KH = KC ⇒ NK = HK lại có IH = IN (bán kính đường tròn (AH)) và IK chung nên ∆ KNI = ∆ KHI (c.c.c) · · 0 90KNI KHI⇒ = = · 0 90KNI⇒ = Có KN ⊥ In, IN là bán kính của (AH) ⇒ KN là tiếp tuyến với đường tròn (AH) Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 đường Lò Chum Thành Phố Thanh hóa 2 c) (1 điểm) + Gọi E là giao điểm của Ak với đường tròn (AH), chứng minh góc HAK= góc HBI Ta có AH 2 =HB.HC ⇒ AH.2IH = HB.2HK ⇒ HA HK HB HI = ⇒ ∆ HAK HBI∆: ⇒ · · HAK HBI= + Có · · HAK EHK= (chắn cung HE) ⇒ · · //HBI EHK BI HE= ⇒ Có · 0 90AEH = (AH là đường kính) BI AK⇒ ⊥ . ∆ ABK có BI AK⇒ ⊥ và BK AI⇒ ⊥ ⇒ I là trực tâm ∆ ABK Bài 5 (1 điểm) ( ) 1 1 1 1 1 1 21 P= 16x 4 16x 4 16 4 16 4 16 y x z x z y x y z y z y z x y x z y z         + + = + + + + = + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         Theo bất đẳng thức cô si với các số dương: 1 16 4 4 y x x y + ≥ dấu bằng xảu ra khi y=2x 1 16 2 z x x z + ≥ dấu bằng xảu ra khi z=4x 1 4 z y y z + ≥ dấu bằng xảu ra khi z=2y Vậy P ≥ 49/16 P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7.Vậy giá trị bé nhất của P là 49/16 Bài 6: Ta có: mxxxxx +=++++− 14444 22 x 2 2x 1 x m ⇔ − + + − = (*) Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị y x 2 2x 1 x = − + + − . Ta thấy y= m là đường thẳng song song với trục Ox. Dựa vào đồ thị hàm số y x 2 2x 1 x = − + + − = 1 4 3 2 1 x x −     −  nếu 1 2 1 2 2 2 x x x  ≤ −    − < <   ≥    ta có: + m < 3 thì PT vô nghiệm. + m = 3 thì PT có vô số nghiệm. + m > 3 thì PT có 2 nghiệm. Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 đường Lò Chum Thành Phố Thanh hóa 3 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 đường Lò Chum Thành Phố Thanh hóa 4 . ra khi z=4x 1 4 z y y z + ≥ dấu bằng xảu ra khi z=2y Vậy P ≥ 49 /16 P = 49 /16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/ 7.Vậy giá trị bé nhất của P là 49 /16 Bài 6: Ta có: mxxxxx +=++++− 144 44 22 x. 21 P= 16x 4 16x 4 16 4 16 4 16 y x z x z y x y z y z y z x y x z y z         + + = + + + + = + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         Theo bất đẳng thức cô si với các số dương: 1 16 4 4 y. nghiệm của phương trình sau: 2 2 x 4x 4 4x 4x 1 x m − + + + + = + Hết Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 1 84 đường Lò Chum Thành Phố Thanh hóa 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ Bài 1 (2 điểm) a) (0,5 điểm) Điều