ĐỀ SỐ 3 Thi ngµy : 21/02/2014 Câu 1(2 điểm): Cho biểu thức: 2 x 2 x P : (x 0) x x 2 x 2 x = + > ÷ ÷ + + a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm giá trị của x để P = 3 Câu 2(2 điểm): Cho hệ phương trình: 2 x my 3m mx y m 2 + = − = − a/ Giải hệ phương trình trên với m =3 b/ Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất t/m x 2 - x - y >0 Câu 3(2 điểm): Giải phương trình: + − − − + = ÷ ÷ ÷ + − − 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 4 3 0 x 2 x 4 x 2 Câu 4(3 điểm) : Cho 3 điểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng và theo thứ tự đó sao cho AB khác BC. Trong cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AC dựng hình vuông ABDE, BCFK. Gọi I là trung điểm EF, đường thẳng qua I vuông góc với EF cắt BD và AB tại M và N. CMR: a/ Tứ giác AEIN và EMDI nội tiếp b/ 3 điểm A, I, D thẳng hàng và B, N, E, M, F cùng thuộc 1 đường tròn. c/ 3 đường thẳng AK, EF và CD đồng quy Câu 5(1 điểm): Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 9 Tìm Min S = 3 3 3 2 2 2 2 2 2 x y z x xy y y yz z z xz x + + + + + + + + HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 2.0 đ a/ Rút gọn biểu thức P 2 x 2 x P : (x 0) x x 2 x 2 x = + > ÷ ÷ + + ( ) ( ) + + = + + 2 x 4 x 2 x : x x 2 x x 2 ( ) ( ) + + + = + x x 2 2 x 4 x . 2 x x x 2 Vậy + + = x 2 x 4 P 2 x 0.5 0.25 0.25 b/ Tìm giá trị của x để P = 3 P = 3 <=> + + = x 2 x 4 3 2 x ( ) <=> − + = <=> − = 2 x 4 x 4 0 x 2 0 <=> 2 0 2 4x x x− = => = => = (TMĐK). Vậy với x = 4 thì P = 3 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 2 2.0 đ a/ Giải hệ phương trình trên với m =3 Với m = 3. Ta có hệ phương trình + = − = x 3y 9 3x y 7 0.25 0.5 <=> + = = = <=> <=> − = + = = x 3y 9 10x 30 x 3 9x 3y 21 x 3y 9 y 2 Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất 3 2 x y = = 0.25 b/ Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất t/m x 2 - x - y >0 ( ) ( ) ( ) = − + = <=> − − = − − = − = − = <=> <=> + = + = + ≠ 2 2 2 2 2 x 3m my x my 3m m 3m my y m 2 mx y m 2 x 3m my x m y 1 m 2 m 1 y 2(do m 1 0 voi moi m) Vậy hệ PT có một nghiệm duy nhất 2 x m y = = với mọi m. Để ( ) ( ) 2 2 x - x - y 0 m m 2 0 1 2 0m m> => − − > => + − > => 1 0 1 2 2 0 2 1 0 1 1 2 0 2 m m m m m m m m m m + > > − => => > − > > + < < − => => < − − < < Vậy với m > 2 hoặc m < -1 thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất t/m x 2 - x - y >0 0.5 0.25 0.25 Câu 3 2.0 đ Giải phương trình: + − − − + = ÷ ÷ ÷ + − − 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 4 3 0 x 2 x 4 x 2 Điều kiện : 2x ≠ ± Đặt : + − = = + − x 1 x 1 a; b x 2 x 2 . Ta có PT ( ) ( ) ( ) ( ) − + = <=> − − − = <=> − − = 2 2 a 4ab 3b 0 a a b 3b a b 0 a b a 3b 0 TH1 : a – b = 0 => a = b => ( ) ( ) ( ) ( ) + − = => + − = − + => − − = + − + − 2 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 x x 2 x 2 x 2 =>2x = 0 => x = 0 (TMĐK) TH2 : a – 3b = 0 => a = 3b => ( ) ( ) ( ) ( ) + − = => + − = − + => − − = + − + − 2 2 x 1 x 1 3. x 1 x 2 3 x 1 x 2 x x 2 3x 3x 6 x 2 x 2 => 2x 2 + 4x – 4 = 0 => x 2 + 2x – 2 = 0 có ∆’ = 3 > 0. PT có 2 nghiệm 1 3x = − + (TMĐK) và 1 3x = − − (TMĐK) Vậy phương trình có 3 nghiệm : x = 0 ; 1 3x = − + ; 1 3x = − − 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 Q N M I K F E D C B A Câu 4 3.0 đ Hình vẽ a/ Tứ giác AEIN và EMDI nội tiếp ABCD là hình vuông => · 0 90EAN = (1) MN⊥EF => · 0 90EIN = (2) Từ (1) và (2) => · · 0 180EAN EAN+ = => Tứ giác AEIN nội tiếp. ABCD là hình vuông => · 0 90EDM = (3) MN⊥EF => · 0 90EIM = (2) Từ (3) và (4) => · · 0 90EDM EIM= = => Tứ giác EMDI nội tiếp đường tròn đường kính EM 1.0 b/ 3 điểm A, I, D thẳng hàng và B, N, E cùng thuộc 1 đường tròn. *) CM : 3 điểm A, I, D thẳng hàng AB = AE => A thuộc đường trung trực của EB (5) DB = DE => D thuộc đường trung trực của EB (6) ∆DIE và ∆DIB có DE = DB(gt); · · 0 45IDE IDB= = (gt) ; DI chung => ∆DIE = ∆DIB (c.g.c) => IE = IB => I thuộc đường trung trực của EB (7) Từ 5,6,7 => A, I, D thuộc đường trung trực của EB nên 3 điểm A, I, D thẳng hàng *) CM : B, N, E cùng thuộc 1 đường tròn. Tứ giác AEIN nội tiếp (CM trên) => · · 0 45INE IAE= = (8) Tứ giác EMDF nội tiếp (CM trên) => · · 0 45IME IDE= = (9) Từ 8, 9 =>∆EMN vuông cân tại E , có EI là đường cao => Đồng thời là đường trung tuyến => IE = IN (10) Từ 7,10 => IE = IB = IN => B, N, E cùng thuộc 1 đường tròn (I) 0.5 0.5 c/ 3 đường thẳng AK, EF và CD đồng quy ∆ADC có DB⊥AC; (11) CK ⊥ BF mà · · 0 45CBF CAD= = => BF//AD => CK ⊥ AD (12) Từ 11,12 => K là trực tâm tam giác ADC => AK ⊥ DC tại Q ta chứng minh Q thuộc EF. Tứ giác AEDQ nội tiếp (Vì : · · 0 0 0 90 90 180AED AQD+ = + = ) => · · DEQ DAQ= (13) Ta có KC//BE mà KC đi qua trung điểm của BF => đi qua trung điểm I của EF => C, K, I thẳng hàng => KI⊥AD => Tứ giác ABKI nội tiếp => · · DAQ I BD= (14) ∆ DIE = ∆ DIB => · · DEI DBI= (15) Từ 13,14,15 => · · DEI DEQ= => Q thuộc EI Hay E, Q F thẳng hàng tức là AK ; CD; EF đồng quy 1.0 Câu 5 1.0đ Ta có : 0 22 33 22 33 22 33 =−+−+−= ++ − + ++ − + ++ − xzzyyx xzxz xz zyzy zy yxyx yx => 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z y z x x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x + + = + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + 3 3 3 2 2 2 2 2 2 x y z S x xy y y yz z z xz x => 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x S x xy y y yz z z zx x + + + = + + + + + + + + Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 Do x + y 4 3 x y x xy y x y xy x y x xy y x xy y x xy y xy x y x y xy x y xy + − + + = = + − ÷ + + + + + + + ÷ = + − ≥ ≥ ÷ + − Tương tự : 3 ; 3 22 33 22 33 zx xzxz xzzy zyzy zy + ≥ ++ ++ ≥ ++ + => 2( ) 2 3 x y z S + + ≥ => ( ) 3 x y z S + + ≥ => 3S ≥ Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 3 Chú ý : HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa . − Tương tự : 3 ; 3 22 33 22 33 zx xzxz xzzy zyzy zy + ≥ ++ ++ ≥ ++ + => 2( ) 2 3 x y z S + + ≥ => ( ) 3 x y z S + + ≥ => 3S ≥ Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 3 Chú ý : HS làm. 0 22 33 22 33 22 33 =−+−+−= ++ − + ++ − + ++ − xzzyyx xzxz xz zyzy zy yxyx yx => 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z y z x x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x + + = + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + 3 3 3 2 2 2 2 2 2 x y z S x. xz x => 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x S x xy y y yz z z zx x + + + = + + + + + + + + Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 Do x + y 4 3 x y x xy y x