Đề số 17 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung Bài 1: 1) Tính các giới hạn sau: a) x x x x 2 1 2 lim 2 2 →− − − + b) n n n n 2 1 1 3 3.5 lim 4.5 5.3 + + + − + 2) Tính đạo hàm của hàm số: x x y x x cos sin + = − Bài 2: 1) Cho hàm số: 3 2 5y x x x= + + − (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 6x y 2011 0− + = . 2) Tìm a để hàm số: x x khi x f x ax a khi x 2 2 5 6 7 2 ( ) 3 2 − + ≥ = + < liên tục tại x = 2. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C. AC = a, SA = x. a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). b) Chứng minh ( ) ( )SAC SBC⊥ . Tính khoảng cách từ A đến (SBC). c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC II. Phần tự chọn A. Theo chương trình Chuẩn Bài 4a: 1) Cho f x x x 2 ( ) sin( 2)= − . Tìm f (2) ′ . 2) Viết thêm 3 số vào giữa hai số 1 2 và 8 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng các số hạng của cấp số cộng đó. Bài 5a: 1) CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: x x 3 2 10 7− = . 2) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30 0 . Tính chiều cao hình chóp. B. Theo chương trình Nâng cao Bài 4b: 1) Cho f x x x( ) sin2 2sin 5= − − . Giải phương trình f x( ) 0 ′ = . 2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh rằng: a b b c ab bc 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )+ + = + Bài 5b: 1) Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm: m x x 2 4 3 ( 1) 1+ − = . 2) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2 . Tính góc giữa 2 mặt phẳng (A′BC) và (ABC) và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BC). Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 17 ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: 1) a) x x x x x x x x x x 2 1 1 1 2 ( 1)( 2) 2 3 lim lim lim 2 2 2( 1) 2 2 →− →− →− − − + − − = = = − + + b) n n n n n n n n n n 2 1 1 3 9. 15 5 3 3.5 9.3 15.5 15 lim lim lim 4 4.5 5.3 4.5 15.3 3 4 15. 5 + + + − ÷ − − = = = − + + + ÷ 2) x x y x x cos sin + = − ⇒ x x x x x x x x x x x y x x x x 2 2 (1 sin )(sin ) (cos 1)(cos ) (sin cos ) (sin cos ) 1 ' (sin ) (sin ) − − − − + + + − − = = − − Bài 2: 1) y x x x 3 2 5= + + − ⇒ y x x 2 3 2 1 ′ = + + • (d): x y y x6 2011 0 6 2011− + = ⇔ = + • Vì tiếp tuyến song song với (d) nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 6. • Gọi x y 0 0 ( ; ) là toạ độ của tiếp điểm ⇒ x x x x x x 0 2 2 0 0 0 0 0 1 3 2 1 6 3 2 5 0 5 3 = + + = ⇔ + − = ⇔ = − • Với x y PTTT y x 0 0 1 2 : 6 8= ⇒ = − ⇒ = − • Với x y PTTT y x y x 0 0 5 230 5 230 10 : 6 6 3 27 3 27 9 = − ⇒ = − ⇒ = + − ⇔ = + ÷ 2) x x khi x f x ax a khi x 2 2 5 6 7 2 ( ) 3 2 − + ≥ = + < • x f x f 2 lim ( ) 15 (2) + → = = • x x f x ax a a 2 2 2 lim ( ) lim ( 3 ) 7 − − → → = + = • f x( ) liên tục tại x = 2 ⇔ a a 15 7 15 7 = ⇔ = Bài 3: a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). • (SAB) ⊥ (ABC) và SAC) ⊥ (ABC) nên SA ⊥(ABC) ⇒ AB là hình chiếu của SB trên (ABC) ( ) · ( ) · · · SA x SB ABC SB AB SBA SBA AB a ,( ) , tan 2 ⇒ = = ⇒ = = • BC ⊥ AC, BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC) ⇒ SC là hình chiếu của SB trên (SAC) ⇒ ( ) · ( ) · · · BC a SB SAC SB SC BSC BSC SC a x 2 2 ,( ) , tan = = ⇒ = = + b) Chứng minh ( ) ( )SAC SBC⊥ . Tính khoảng cách từ A đến (SBC). • Theo chứng minh trên ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC) • Hạ AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAC). Vậy AH ⊥ (SBC) d A SBC AH( ,( ))⇒ = . • ax AH AH SA AC x a x a 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = + = + ⇒ = + c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). 2 Gọi K là trung điểm của BH ⇒ OK // AH ⇒ OK ⊥ (SBC) và OK = AH 2 ⇒ ax d O SBC OK x a 2 2 ( ,( ) 2 = = + . d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC • Dựng mặt phẳng (α) đi qua AC và vuông góc với SB tại P ⇒ CP⊥ SB và AP ⊥ SB. • Trong tam giác PAC hạ PQ ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ SB vì SB ⊥ ( PAC). Như vậy PQ là đường vuông góc chung của SB và AC. Bài 4a: 1) f x x x 2 ( ) sin( 2)= − ⇒ f x x x x x 2 ( ) 2 sin( 2) cos( 2) ′ = − + − ⇒ f (2) 4sin0 4cos0 4 ′ = + = 2) Giả sử công sai của cấp số cộng cần tìm là d thì ta có cấp số cộng là: d d d d d d 1 1 1 1 1 15 15 , , 2 , 3 , 4 8 4 2 2 2 2 2 2 8 + + + + = ⇒ = ⇒ = Vậy cấp số cộng đó là 1 19 34 49 , , , ,8 2 8 8 8 Bài 5a: 1) Xét hàm số f x x x 3 ( ) 2 10 7= − − ⇒ f x( ) liên tục trên R. • f f f f( 1) 1, (0) 7 ( 1). (0) 0− = = − ⇒ − < nên PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm c 1 ∈(–1; 0) • f f f f(3) 10, (4) 17 (3). (4) 0= − = ⇒ < nên PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm ( ) c 2 3;4∈ • mà c c 1 2 ≠ nên phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm thực 2) • Hình chóp S.ABCD là chóp tứ giác đều nên chân đường cao SO của hình chóp là O = AC BD∩ • Đáy là hình vuông cạnh bằng a nên AC = a a OC 2 2 2 ⇒ = • ∆SOC vuông tại O, có · a OC SCO 0 2 , 30 2 = = ⇒ · a a SO OC SCO 2 3 6 .tan . 2 3 6 = = = Bài 4b: 1) f x x x( ) sin2 2sin 5= − − ⇒ f x x x( ) 2cos2 2cos ′ = − 3 O D C A B S PT f x x x 2 ( ) 0 2cos cos 1 0 ′ = ⇔ − − = x x cos 1 1 cos 2 = ⇔ = − x k x k 2 2 2 3 π π π = ⇔ = ± + 2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. • Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có b aq c aq 2 ,= = • a b b c a a q a q a q a q q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 ( )( ) ( )( ) (1 )+ + = + + = + (1) • ab bc a aq aq aq a q q 2 2 2 4 2 2 2 ( ) ( . . ) (1 )+ = + = + (2) • Từ (1) và (2) ta suy ra a b b c ab bc 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )+ + = + . Bài 5b: 1) Xét hàm số f x m x x 2 4 3 ( ) ( 1) 1= + − − ⇒ f x( ) liên tục trên R với mọi m. • f m f f f 2 ( 1) 1, (0) 1 ( 1). (0) 0− = + = − ⇒ − < nên PT f x( ) 0= có it nhất một nghiệm c 1 ( 1;0)∈ − • f f m f f 2 (0) 1, (2) 16 7 (0). (2) 0= − = + ⇒ < nên PT f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm c 2 (0;2)∈ • mà c c 1 2 ≠ ⇒ phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực. 2) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (A′BC) và (ABC) và khoảng cách từ A đến (A′BC) • ( ) AA B AA C c g c A B A C' ' . . ' ' ∆ ∆ = ⇒ = . Gọi K là trung điểm BC ⇒ AK ⊥ BC và A’K ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (AA’K ) ⇒ (A’BC) ⊥(AA’K), A BC AA K A K AH A K AH A BC( ' ) ( ' ) ' , ' ( ' )∩ = ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ d A A BC AH( ,( )) ′ = • a AH AH A A AB a a a 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 5 5 ' = + = + = ⇒ = ⇒ a d A A BC AH 5 ( ,( ' )) 5 = = . • AK ⊥ BC và A’K ⊥ BC ⇒ ( ) · · A BC ABC A KA( ),( ) ′ ′ = • Trong ∆A′KA ta có · a AA A KA AK a 1 2 tan 3 3 2 ′ ′ = = = ⇒ · A KA 0 30 ′ = . ================================ 4 K C' B' A C B A' H . Đề số 17 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung Bài 1: 1) Tính các giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 17 ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: 1) a) x x x x x x x x x x 2 1. − x k x k 2 2 2 3 π π π = ⇔ = ± + 2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. • Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có b aq c aq 2 ,= = • a b b c a a q a q a q