đề thi hsg toán toán 8,đề THI số 4

ĐỀ THI SỐ 4 Câu1( 2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 7 15A a a a a= + + + + + Câu 2( 2 đ): Với giá trò nào của a và b thì đa thức: ( ) ( ) 10 1x a x− − + phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = 4 3 3x x ax b− + + chia hết cho đa thức 2 ( ) 3 4B x x x= − + Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy. Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng 2 2 4 2 1 1 1 1 1 2 3 4 100 P = + + + + < Đáp án và biểu điểm Câu Đáp án Biểu điểm 1 2 đ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 5 7 15 8 7 8 15 15 8 22 8 120 8 11 1 8 12 8 10 2 6 8 10 A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + + = + + + + + = + + + + = + + − = + + + + = + + + + 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2 2 đ Giả sử: ( ) ( ) ( ) ( ) 10 1 ;( , )x a x x m x n m n Z− − + = − − ∈ ( ) ( ) { 2 2 10 . 10 1 10 10 1 m n a m n a x a x a x m n x mn + = + = + ⇔ − + + + = − + + ⇔ Khử a ta có : mn = 10( m + n – 10) + 1 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 10 10 100 1 ( 10) 10 10) 1 mn m n m n n ⇔ − − + = ⇔ − − + = vì m,n nguyên ta có: { { 10 1 10 1 10 1 10 1 m m n n v − = − =− − = − =− suy ra a = 12 hoặc a =8 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3 1 đ Ta có: A(x) =B(x).(x 2 -1) + ( a – 3)x + b + 4 Để ( ) ( )A x B xM thì { { 3 0 3 4 0 4 a a b b − = = + = =− ⇔ 0,5 đ 0,5 đ 4 3 đ Tứ giác ADHE là hình vuông Hx là phân giác của góc · AHB ; Hy phân giác của góc · AHC mà · AHB và · AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc Hay · DHE = 90 0 mặt khác · · ADH AEH = = 90 0 Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1) Do · · · · · · 0 0 0 0 90 45 2 2 90 45 2 2 AHB AHD AHC AHE AHD AHE = = = = = = ⇒ = Hay HA là phân giác · DHE (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 5 2 ñ 2 2 4 2 1 1 1 1 2 3 4 100 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 2 2 3 99 100 1 99 1 1 100 100 P = + + + + = + + + + < + + + + = − + − + + − = − = < 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ . đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = 4 3 3x x ax b− + + chia hết cho đa thức 2 ( ) 3 4B x x x= − + Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC,. đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 5 2 ñ 2 2 4 2 1 1 1 1 2 3 4 100 1 1 1 1 2.2 3.3 4. 4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3 .4 99.100 1 1 1 1 1 1 2 2 3 99 100 1 99 1 1 100 100 P = + +. đ 0,25 đ 3 1 đ Ta có: A(x) =B(x).(x 2 -1) + ( a – 3)x + b + 4 Để ( ) ( )A x B xM thì { { 3 0 3 4 0 4 a a b b − = = + = =− ⇔ 0,5 đ 0,5 đ 4 3 đ Tứ giác ADHE là hình vuông Hx là phân giác của góc