Diemthi.24h.com.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN (ĐỀ 163) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm ) Câu I ( 2,0 điểm ) Cho hàm số ( ) 1 1 x y C x + = − . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . 2. Xác định m để đường thẳng 2y x m= + cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của ( ) C tại A và B song song với nhau. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình : 2 2 3tan 4 tan 4cot 3cot 2 0x x x x+ + + + = (1) . 2. Giải bất phương trình : ( ) 2 1 2 1x x+ ≥ − (2) . Câu III (1,0 điểm ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường : ( ) = − + − 2 : 4 3P y x x và hai tiếp tuyến của (P) tại hai điểm ( ) ( ) 0 ; 3 , 3 ; 0A B− Câu IV (1,0 điểm ) Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 0 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Tính diện tích mặt cầu.Tính thể tích khối cầu tương ứng . Câu V ( 1,0 điểm ) Giải hệ phương trình , khi a > 1 : 2 2 1 3 1 3 a x a y a z a a a a x a y a z a + + + + + + = − − + − + − = II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm )Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2) 1). Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( 2,0 điểm )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình : ( ) 2 2 2 : 2 4 6 0S x y z x y z+ + − − − = 1. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng ( ) : 0x y z m α + − + = và mặt cầu (S) tùy theo giá trị của m . 2. Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng (∆) đi qua hai điểm ( ) 1 ; 1 ; 1M và ( ) 2 ; 1 ; 5N − và viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại các giao điểm đó . Câu VII.a (1, 0 điểm ) Cho 8 quả cân có trọng lượng lần lượt là : 1 kg , 2 kg , 3 kg , 4 kg , 5 kg , 6 kg , 7 kg , 8 kg . Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong số đó . Tính xác suất để trọng lượng 3 quả cân được chọn không vượt quá 9 kg . 2). Theo chương trình nâng cao : Câu VI.b ( 2,0 điểm ) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( ) 2 : 64P y x= và đường thẳng ( ) ∆ − + =: 4 3 46 0x y . Hãy viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (∆) , tiếp xúc với parabol (P) và có bán kính nhỏ nhất . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm ( ) 2 ; 4 ; 1A , ( ) 1 ; 4 ; 0B − ( ) 0 ; 0 ; 3C − .Xác định tâm và bán kính đường tròn (ABC) . Câu VII. b (1, 0 điểm ) Có hai hộp chứa các viên bi chỉ khác về màu . Hộp thứ nhất chứa 3 bi xanh , 2 bi vàng , 1 bi đỏ . Hộp 2 chứa 2 bi xanh , 1 bi vàng , 3 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi . Tính xác suất để lấy được 2 bi xanh . Diemthi.24h.com.vn Diemthi.24h.com.vn Lôøi giaûi Câu I. 1. Phần khảo sát chi tiết bạn đọc tự làm , dưới đây là bảng biến thiên và đồ thị (C) của hàm số . + Bảng biến thiên : + Đồ thị (C) : 2. Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) : 2d y x m= + và ( ) C : 1 2 1 x x m x + = + − ( ) ( ) 2 2 3 1 0 1 1 + − − − = ⇔ ≠ x m x m x Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 8 1 1 16 0, 1 2 0, ∆ = − + + = + + > ∀ = − ≠ ∀ m m m m g m ⇒ phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1. Vậy ( ) d luôn luôn cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A và B . Gọi 1 2 ,x x ( ) 1 2 x x≠ lần lượt hoành độ của A và B thì 1 2 ,x x là nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Vi-et, ta có: ( ) 1 2 1 3 2 x x m+ = − Tiếp tuyến ( ) ( ) 1 2 ,∆ ∆ tại A, B có hệ số góc lần lượt là : Vì ( ) 2 2 ' 1 y x − = − ( ) ( ) 1 1 2 1 2 ' 1 k y x x − ⇒ = = − , ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ' 1 k y x x − = = − ( ) ( ) 1 2 1 2 / /∆ ∆ ⇔ =k k ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 1x x − − ⇔ = − − ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1x x⇔ − = − 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x x − = − ⇔ − = − + ( ) 1 2 1 2 2 x x x x = ⇔ + = loaïi ( ) 1 3 2 2 m⇔ − = 1m ⇔ = − . Vậy, giá trị cần tìm là: 1m = − . Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình Điều kiện : sin 0 sin 2 0 , cos 0 2 x x x k k x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ ≠ ¢ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 tan cot 4 tan cot 2 0x x x x⇔ + + + + = Đặt 2 tan cot , 2 sin 2 t x x t x = + = ≥ 2 2 2 tan cot 2t x x⇒ = + + 2 2 2 tan cot 2x x t⇒ + = − Ta có : ( ) 2 3 2 4 2 0t t− + + = 2 3 4 4 0t t⇔ + − = ( ) 2 2 3 t t = − ⇔ = loaïi 2 2 sin 2 ⇒ = − x sin 2 1x⇔ = − 2 2 , 2 x l l π π ⇔ = − + ∈¢ , 4 x l l π π ⇔ = − + ∈¢ So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình : , 4 x l l π π = − + ∈¢ . 2. (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 1 0 2 1 1 x x x x − ≥ ⇔ + ≥ − ≤ + 2 1 1 1 2 3 0 x x x x x ≤ − ∨ ≥ ⇔ ≥ − − − ≤ 1 1 1 3 x x x = − ⇔ ≥ − ≤ ≤ 1 1 3 x x = − ⇔ ≤ ≤ Vậy nghiệm của bất phương trình : 1 1 3x x = − ∨ ≤ ≤ . Câu III . ( ) ( ) ( ) = = − + ⇒ = − ' 0 4 ' 2 4 ' 3 2 y y x x y + Phương trình tiếp tuyến ∆ 1 của (P) tại A có dạng: ( ) ( ) ∆ + = − ⇒ ∆ = − 1 1 : 3 ' 0 0 : 4 3 y y x y x + Phương trình tiếp tuyến ∆ 2 của (P) tại B có dạng: ( ) ( ) ∆ = − ⇒ ∆ = − + 2 2 : ' 3 3 : 2 6 y y x y x Dựa vào đồ thị ta có diện tích hình phẳng cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − + − + − + − − + − ∫ ∫ 3 3 2 2 2 3 0 2 4 3 4 3 2 6 4 3S x x x dx x x x dx 3 3 2 2 3 2 0 3 2 1 . 3 9 3 x dx x x x dx = + − + ÷ ∫ ∫ = + − + ÷ 3 3 2 3 3 2 3 0 2 1 1 3 9 3 3 x x x x 9 4 = (đvdt) . Câu IV. * Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Gọi O là tâm của đáy , suy ra ( ) SO ABCD⊥ nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD của hình chóp. Trong SOB∆ kẻ đường trung trực Mx của cạnh SB . Gọi ∩ = ⇒ = = = =Mx SO J JA JB JC JD JS nên J là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Ta có ( ) ABCD OB hch SB= ( ) · ( ) · 0 , 60SB ABCD SBO⇒ = = nên SBD∆ đều , có cạnh 2BD a= . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp SBD∆ Do đó . 3 6 3 3 BD a R = = . * Tính diện tích mặt cầu. 2 2 2 6 8 4 4 3 3 a a S R π π π = = = ÷ ÷ (đvdt) . * Tính thể tích khối cầu tương ứng 3 3 3 4 4 6 8 6 3 3 3 27 a a V R π π π = = = ÷ ÷ (đvtt) . Câu V. Xét các véc tơ : ( ) ( ) ; ; , 1 ; 1 ; 1= + + + = uur uur u x a y a z a v ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . . 3 3 1 ⇒ ≤ ⇒ + + + + + ≤ + + + uur uur uur uur u v u v x a y a z a a x y z Tương tự ( ) ( ) 2 3 3− + − + − ≤ − − −a x a y a z a x y z (2) ( ) ( ) 2 2 18x a y a z a a x a y a z a⇒ + + + + + + − + − + − ≤ Mà cộng hai phương trình của hệ ta có : ( ) ( ) 2 2 18x a y a z a a x a y a z a+ + + + + + − + − + − = Tức là dấu đẳng thức phải xảy ra trong các bất đẳng thức (1) và (2) , hay : 2 2 1 1 1 + + = + = + = ⇔ = = = − − = − = − = a x a y a z a a x y z a a a x a y a z a Vậy hệ phương trình có nghiệm là : 1 = = =x y z a . II. PHẦN RIÊNG. 1). Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a 1. Biện luận vị trí tương đối của ( ) α và (S) Mặt cầu (S) có tâm ( ) 1 ; 2 ; 3I , bán kính 14R = . Ta có: ( ) ( ) , 3 m d I α = . Biện luận: • Nếu ( ) ( ) 42 , 14 3 42 m m d I R m α < − > ⇔ > ⇔ > thì ( ) α không cắt (S). • Nếu ( ) ( ) , 14 42 3 m d I R m α = ⇔ = ⇔ = ± thì ( ) α tiếp xúc (S). • Nếu ( ) ( ) , 14 42 42 3 m d I R m α < ⇔ < ⇔ − < < thì ( ) α cắt (S). 2. Phương trình tham số của đường thẳng ( ) 1 : 1 2 1 4 x t y t z t = + ∆ = − = + Tọa độ giao điểm của (∆) và (S) là nghiệm của hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ; 1 2 ; 1 4 1 2 3 14 x t y t z t x y z = + = − = + − + − + − = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ; 1 2 ; 1 4 1 2 2 4 14 1 ; 1 2 ; 1 4 7 4 3 0 x t y t z t t t t x t y t z t t t = + = − = + ⇔ + − − + − + = = + = − = + ⇔ − − = 1 ; 1 2 ; 1 4 3 1 hay 7 4 7 2 13 1 hay 7 5 5 7 x t y t z t t t x x y y z z = + = − = + ⇔ = = − = = ⇔ = − = = = − Vậy (∆) và (S) có hai giao điểm ( ) 4 13 5 2 ; 1 ; 5 , ; ; 7 7 7 A B − − ÷ . Ta có: ( ) ( ) 1 1 ; 3 ; 2 , 3 ;1 ; 26 7 IA IB= − = − uur uur . Phương trình tiếp diện của (S) tại A là: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 5 0 3 2 15 0x y z x y z− − + + − = ⇔ − + − = . Phương trình tiếp diện của (S) tại B là: 4 13 5 3 1 26 0 3 26 15 0 7 7 7 x y z x y z − + − + + = ⇔ + + + = ÷ ÷ ÷ . Câu VII.a Ta chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong 8 quả cân , nên kích thước không gian mẫu là : 3 8 56CΩ = = . Biến cố A : “ Trọng lượng 3 quả cân được chọn không quá 9 kg ” Để được một kết quả thuận lợi của biến cố A , ta có thể chọn theo 7 phương án sau : + Chọn các quả cân có trọng lượng là : { } 1 ; 2 ; 3kg kg kg . + Chọn các quả cân có trọng lượng là : { } 1 ; 2 ; 4kg kg kg . + Chọn các quả cân có trọng lượng là : { } 1 ; 2 ; 5kg kg kg . + Chọn các quả cân có trọng lượng là : { } 1 ; 2 ; 6kg kg kg . + Chọn các quả cân có trọng lượng là : { } 1 ; 3 ; 4kg kg kg . + Chọn các quả cân có trọng lượng là : { } 1 ; 3 ; 5kg kg kg . + Chọn các quả cân có trọng lượng là : { } 2 ; 3 ; 4kg kg kg . Nên 7 A Ω = . Vậy xác suất cần tìm là : ( ) 7 1 56 8 A P A Ω = = = Ω . 2). Theo chương trình nâng cao : Câu VI.b. 1. Gọi (C) là đường tròn cần tìm và I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C) Đặt ( ) ( ) 2 ; 8M t t P∈ . Đường tròn (C) có tâm I thuộc (∆) , tiếp xúc với (P) và có bán kính nhỏ nhất nên bán kính R bằng khoảng cách ngắn nhất từ M đến ∆. Khoảng cách từ M đến (∆) là : ( ) ( ) ( ) 2 2 4 24 46 4 3 10 , 2 5 5 t t t d d I − + − + = ∆ = = ≥ ( ) min 2 3 9 ; 24d t M⇒ = ⇔ = ⇒ . Tâm I của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của M trên (∆) . ( ) : 3x 4 0MI MI y C⊥ ∆ ⇒ + + = . 3.9 4.24 0 123M MI C C∈ ⇒ + + = ⇔ = − Tọa độ của I là nghiệm của hệ: 37 4 3 46 0 5 3 4 123 0 126 5 x x y x y y = − + = ⇔ + − = = Nên 37 126 ; 5 5 I ÷ . Phương trình đường tròn (C) có dạng: 2 2 37 126 4 5 5 x y − + − = ÷ ÷ 2. * Xác định tâm và bán kính đường tròn (ABC) Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 ; 0 ; 1 , 2 ; 4 ; 4 , 1; 4 ; 3AB AC BC= − − = − − − = − − uuur uuur uuur 2 2 2 10 ; 6 ; 26AB AC BC AB BC AC⇒ = = = ⇒ + + Suy ra: Tam giác ABC vuông tại B . Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn (ABC), ta có: • I là trung điểm cạnh AC nên ( ) 1 ; 2 ; 1I . • 1 3 2 R AB= = . * Viết phương trình đường tròn (ABC) Gọi (S) là mặt cầu tâm ( ) 1 ; 2 ; 1I bán kính 3R = thì phương trình mặt cầu (S) có dạng : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 9x y z− + − + + = Đường tròn (ABC) là giao của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S) nên các điểm nằm trên đường tròn có tọa độ thỏa hệ sau ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 9 2 5 6 18 0 x y z x y z − + − + + = + − − = Hệ trên chính là phương trình đường tròn (ABC) . Câu VII. b Xét : ( ) 2009 0 1 2 2 3 3 2009 2009 2009 2009 2006 2006 2007 2007 2008 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 .+ = + + + + + + + + L L i C i C i C i C i C i C i C i C ( ) 0 2 2006 2008 1 3 2007 2009 2009 2009 2009 2 1 2009 2009 2009 2009 . n C C C C i C C C C + = − + − + + − + − −L L Mặt khác : 1 1 1 2 2 cos sin 4 4 2 2 i i i π π + = + = + ÷ ÷ ( ) ( ) 2009 2009 1004 1004 1004 1004 2009. 2009. 1 2 cos sin 4 4 2 2 cos 251.2 .sin 251.2 4 4 2 2 cos sin 2 .2 4 4 π π π π π π π π ⇒ + = + = + + + ÷ ÷ = + = + i i i i i Vậy 0 2 4 2004 2006 2008 1004 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2S C C C C C C= − + − + − + =L Diemthi.24h.com.vn . Diemthi.24h.com.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN (ĐỀ 163) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm ) Câu I ( 2,0. bi xanh . Diemthi.24h.com.vn Diemthi.24h.com.vn Lôøi giaûi Câu I. 1. Phần khảo sát chi tiết bạn đọc tự làm , dưới đây là bảng biến thi n và đồ thị (C) của hàm số . + Bảng biến thi n : + Đồ. của (P) tại hai điểm ( ) ( ) 0 ; 3 , 3 ; 0A B− Câu IV (1,0 điểm ) Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 0 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu