CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ Bài 1. Quá trình quá độ của dòng điện trong mạch có cuộn cảm: Cho mạch điện như hình vẽ. Các cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L 1 và L 2 ; nguồn điện có suất điện động E, điện trở trong r, điện trở ngoài có giá trị R. Ban đầu K mở. Tính cường độ dòng điện qua R, qua L 1 và L 2 khi K đóng. Lời giải: Khi K đóng, dòng điện trong các đoạn mạch tăng, do đó trong các cuộn dây xuất hiện suất điện động cảm ứng: dt di Le 1 11 −= (1.1) dt di Le 2 22 −= (1.2) Ta luôn có 21 eeu AB == → 2211 diLdiL = Ban đầu 0 21 == ii → 2211 iLiL = (1.3) Mặt khác: i = i 1 + i 2 (1.4) Từ (1.3) và (1.4) → i LL L i 21 2 1 + = (1.5) Theo định luật Ôm ta có: 21 -er)R( eiEu AB −==+−= (1.6) dt di iE 1 1 Lr)R( =+− dt di LL LL iE 21 21 r)R( + =+− 0)( 21 21 =−++ + EiRr dt di LL LL (1.7) Phương trình vi phân này có nghiệm CeIi t += λ 0 với C là một hằng số (1.8) Tại thời điểm K đóng thì i = 0, do đó I 0 + C = 0 Thay (1.8) vào (1.7) ta được: > 0))(( 00 21 21 =−+++ + ECeIRreI LL LL tt λλ λ với mọi t > C = Rr E + > rR E I + −= 0 > ).( )( 21 21 LL LL Rr + + −= λ > − + = ++ − t LL LLRr e rR E i 21 21 ))(( 1 Hay ( ) t e rR E i α − − + = 1 (1.9) 1 Với ).( )( 21 21 LL LL Rr + + = α (1.10) Từ (1.9) suy ra: - Khi t = 0: i = 0 - Khi t tăng, dòng điện qua đoạn mạch tăng dần theo đồ thị như hình vẽ. - Khi t > ∞ thì i dần đến giá trị rR E I + =− 0 Như vậy, có thể nói khi thời gian t đủ lớn thì dòng điện giữ không đổi và cuộn cảm không còn ảnh hưởng gì tới dòng điện trong mạch nữa. Theo (1.5), cường độ dòng điện trong các cuộn dây là rR E LL L i LL L i ++ = + = 21 2 21 2 1 (1.11) rR E LL L i LL L i ++ = + = 21 1 21 1 2 (1.12) Nhận xét: Do tác dụng của cuộn cảm nên dòng điện trong mạch tăng một cách từ từ, nếu điện trở R là một bóng đèn thì đèn sẽ sáng lên dần, sau một lúc mới có độ sáng ổn định, đây chính là sự quá độ của dòng điện trong một mạch điện có cuộn cảm. Bài 2. Sự chuyển hoá năng lượng điện thành năng lượng từ: Cho mạch điện như hình vẽ: nguồn điện E = 6V, tụ điện có điện dung C = π 1 (µF), cuộn dây thuần cảm, độ tự cảm là L = π 1 (µH). Ban đầu khoá K ở vị trí 1. Sau đó chuyển K sang vị trí 2. a) Tính hiệu điện thế, điện tích và năng lượng của tụ điện khi K ở vị trí 1. b) Khi K chuyển sang 2, tính cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây. c) Tính cường độ dòng điện qua cuộn dây và hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện khi năng lượng điện trường trong tụ điện bằng 3 lần năng lượng từ trường trong cuộn dây. Lời giải: a) Khi K ở vị trí 1, nguồn điện tích điện cho tụ điện và trong mạch không có dòng điện. Khi đó hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện là U 0 = E = 6 V Điện tích của tụ điện là Q 0 = C.U 0 = π 6 (µC) Năng lượng của tụ điện là năng lượng điện trường trong tụ điện: W 0 = 2 1 Q 0 U 0 = π 18 (µJ) b) Khi K chuyển sang 2, trong mạch hình thành một dao động điện từ xoay chiều. Ở thời điểm ban đầu, i = 0, u = U 0 , năng lượng của mạch chỉ gồm năng lượng điện trường trong tụ điện. 2 00 2 1 W CU= Vì cuộn dây thuần cảm nên tại một thời điểm bất kì ta luôn có: tổng năng lượng của mạch được bảo toàn: 2 2 0 22 0 2 1 2 1 2 1 W CULiCu =+= = hằng số. (2.1) Từ (2.1) ta thấy: i đạt cực đại khi u = 0 Từ đó ta có: 2 0 2 max 2 1 2 1 CULi = L C UIi 00max ==⇒ (2.2) Thay số ta được: I 0 = 6 A c) Khi năng lượng điện trường trong tụ điện bằng 3 lần năng lượng từ trường trong cuộn dây, ta có: 22 2 1 .3 2 1 LiCu = (2.3) Thay (2.3) vào (2.1) ta được: 2 0 2 2 1 2 1 4. CULi = 00 2 1 2 1 I L C Ui ==⇒ = 3 A Từ (2.3) C L iu 3 =⇒ = 3 3 V Nhận xét: Trong bài toán này ban đầu năng lượng của hệ được dự trữ dưới dạng năng lượng điện trường của tụ điện, sau đó năng lượng này được chuyển hoá thành năng lượng từ trường trong cuộn dây và ngược lại. Bài 3. Sự chuyển hoá năng lượng từ thành năng lượng điện: Cho mạch điện như hình vẽ: nguồn điện có suất điện động E, điện trở trong r, điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm, độ tự cảm L, tụ điện có điện dung C. Ban đầu khoá K ở 1, sau đó K chuyển nhanh sang 2. a) Tính cường độ dòng điện qua cuộn dây khi K ở 1. b) Tính hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu tụ điện khi K chuyển sang 2 c) Tính hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện khi cường độ dòng điện trong cuộn dây bằng ½ cường độ dòng điện cực đại. Lời giải: a) Khi khoá K ở vị trí 1: dòng điện qua cuộn dây là dòng điện không đổi, cuộn cảm không cản trở dòng điện. Do đó dòng điện qua cuộn dây là: Rr E I + = 0 (3.1) b) Khi K chuyển sang vị trí 2, cuộn dây và tụ điện tạo thành một mạch dao động: trong mạch hình thành một dao động điện từ xoay chiều. Vì cuộn dây thuần cảm nên tổng năng lượng của mạch bảo toàn: 2 0 2 0 2 1 2 1 W CULI == (3.2) U 0 là hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu tụ điện. > C L Rr E C L IU + == 00 (3.3) c) Ta luôn có: 222 0 2 0 2 1 2 1 2 1 2 1 W CuLiCULI +=== (3.4) Thay 0 2 1 Ii = vào biểu thức trên ta được: 2 2 0 2 0 2 0 2 1 42 1 2 1 2 1 W Cu I LCULI +=== 3 > 2 0 2 0 2 2 1 . 4 3 2 1 . 4 3 2 1 CULICu == > C L rR E Uu + == 2 3 2 3 0 Nhận xét: Trong bài toán này ban đầu năng lượng của hệ được dự trữ dưới dạng năng lượng từ trường trong cuộn dây, sau đó năng lượng này được chuyển hoá thành năng lượng điện trường của tụ điện và ngược lại. Tuy nhiên sự chuyển mạch của khoá K phải diễn ra nhanh và ta phải bỏ qua sự phóng điện khi chuyển mạch. Với mạch điện như hình bên thì ta chỉ cần ngắt khoá K chứ không cần chuyển mạch, khi ấy không có sự phóng điện khi K tiếp xúc với đầu dây 2. Bài 4. Sự biến đổi cơ năng thành năng lượng từ trường: Cho mạch điện như hình vẽ: Cuộn dây thuần cảm, có độ tự cảm L; thanh kim loại MN khối lượng là m, chiều dài l , điện trở không đáng kể có thể trượt không ma sát dọc theo 2 thanh ray x, y. Bỏ qua điện trở của các thanh ray và điện trở tiếp xúc giữa MN và các thanh ray. Hệ thống được đặt trong một mặt phẳng nằm ngang trong một từ trường đều cảm ứng từ B hướng thẳng đứng xuống dưới. Thanh MN đang đứng yên, truyền cho MN vận tốc ban đầu 0 v theo hướng như hình vẽ. Tìm quy luật chuyển động của MN. Lời giải: Khi thanh MN chuyển động trong từ trường thì trong thanh xuất hiện suất điện động cảm ứng. Khi vận tốc của thanh là v thì: Bvle = Suất điện động cảm ứng này làm phát sinh trong mạch chứa cuộn dây một dòng điện cảm ứng i c . Đây là một dòng điện biến thiên, do đó trong cuộn cảm lại suất hiện một suất điện động tự cảm e’. Ta có: '' Li dt di Le −=−= Theo định luật Ohm ta có: 'eeu CD −== → Bv l =Li’ (4.1) Tại một thời điểm bất kì năng lượng của hệ bao gồm: - Động năng của thanh MN: 2 2 1 mvK = - Năng lượng từ trường trong cuộn cảm: 2 1 1 W Li= Vì bỏ qua mọi ma sát và điện trở của mạch bằng 0 nên tổng năng lượng của hệ được bảo toàn: constLimvKE =+=+= 22 2 1 2 1 W (4.2) Lấy đạo hàm hai vế của (4.2) theo thời gian ta được: 0'.'.' =+== iLivmv dt dE E (4.3) Từ (4.1) → "' i Bl L v dt dv == (4.4) Thay (4.4) vào (4.3) ta được: 0'."' =+ iLii Bl L i Bl L m Vì i’ ≠ 0 nên ta được: 4 0" 22 =+ i mL lB i Đặt mL Bl = ω (4.5) → 0" 2 =+ ii ω (4.6) Phương trình này có nghiệm là một hàm điều hoà: )sin( 0 ϕω += tIi (4.7) Từ (4.1) rút ra: )cos(' 0 ϕω +== tI mL Bl Bl L i Bl L v Hay )cos( 0 ϕω += tI m L v (4.8) Chọn trục Ox như hình vẽ, gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật. Tại thời điểm t = 0: v = v 0 và i = 0 → 00 cos vI m L = ϕ và 0sin 0 = ϕ I → 0= ϕ và L m vI 00 = (4.9) → tvv ω cos 0 = Lấy tích phân của v ta được: t v x ω ω sin 0 = = tA ω sin (4.10) Với Bl mLvv A 00 == ω (4.11) Phương trình (4.10) chứng tỏ thanh MN dao động điều hoà xung quanh O với tần số góc mL Bl = ω , biên độ dao động Bl mLv A 0 = Nhận xét: Trong bài toán trên có cả năng lượng từ trường và cơ năng, trong đó có sự biến đổi qua lại giữa hai dạng năng lượng nhưng tổng năng lượng của hệ được bảo toàn. Trong bài toán có sử dụng phương pháp dùng định luật bảo toàn để chứng minh dao động điều hoà. Trong phương pháp này ta phải tìm tất cả các dạng năng lượng mà hệ có, lí luận để thấy tổng năng lượng của hệ được bảo toàn; sau đó lấy vi phân phương trình bảo toàn năng lượng, kết hợp với các lên hệ khác để ra phương trình tổng quát cho dao động điều hoà: 0" 2 =+ xx ω . Bài 5. Một mạch khác có sự chuyển hoá giữa năng lượng từ trường và cơ năng: Trong mặt phẳng nằm ngang cho hệ như hình vẽ: cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở không đáng kể; thanh dây dẫn MN khối lượng m, chiều dài l có điện trở không đáng kể, đầu M có thể quay không ma sát quanh trục qua M, đầu N luôn tiếp xúc với thanh ray dẫn điện xy và có thể trượt không ma sát trên thanh ray. Hệ được đặt trong từ trường đều, vectơ cảm ứng từ B vuông góc với mặt phẳng của mạch điện. Bỏ qua điện trở tiếp xúc, điện trở của dây nối và điện trở của thanh ray. Thanh MN đang đứng yên, ta truyền cho đầu N của thanh vận tốc ban đầu 0 v (đủ nhỏ) như hình vẽ. Tìm quy luật chuyển động của thanh MN. Lời giải: 5 Khi thanh dây dẫn MN chuyển động trong từ trường trong thanh xuất hiện suất điện động cảm ứng e 1 . Chọn chiều dương của dòng điện trong mạch như hình vẽ, chiều dương góc quay ngược chiều kim đồng hồ. Giả sử tại thời điểm t vận tốc góc của thanh là ω , trong khoảng thời gian dt góc quay của thanh là d ϕ . Khi ấy từ thông qua mạch biến thiên trong khoảng thời gian dt là: dtBldBld ωϕ 22 2 1 2 1 ==Φ → 2 2 1 Bl dt d e ω = Φ = (5.1) Suất điện động cảm ứng e 1 làm phát sinh trong mạch một dòng điện i. Dòng điện biến thiên i lại làm xuất hiện suất điện động tự cảm e 2 trong cuộn dây: ' 2 Li dt di Le −=−= Theo định luật Ohm: u MN = e 1 = - e 2 Do đó ta có: ' 2 2 Li Bl = ω (5.2) Vì bỏ qua mọi ma sát và sức cản, bỏ qua mọi hao phí do toả nhiệt nên tổng năng lượng của mạch bao gồm động năng của MN và năng lượng từ trường trong cuộn dây được bảo toàn: 22 2 1 2 1 ω M ILiE += = hằng số (5.3) Trong đó 2 3 1 mlI M = là mômen quán tính của MN đối với trục quay qua M. Lấy đạo hàm 2 vế của (5.3) theo thời gian ta được: 0'.'.' =+= ωω M IiLiE (5.4) Thay (5.2) vào (5.4): 0'. 2 . 2 =+ ωω ω M I L Bl Li → 0'. 2 2 =+ ω M Ii Bl (5.5) Từ (5.2) → " 2 ' 2 Li Bl = ω → " 2 ' 2 i Bl L = ω (5.6) Thay (5.6) vào (5.5): → 0" 2 . 32 2 22 =+ i Bl Lml i Bl → 0 4 3 " 22 =+ i mL lB i (5.7) Phương trình này có nghiệm là một hàm dạng sin: )sin( 0 Θ+Ω= tIi (5.8) Với LI Bl mL lB M 2 4 3 222 ==Ω , Θ là một hằng số, phụ thuộc vào gốc thời gian, I 0 là cường độ dòng điện cực đại. Từ (5.6) và (5.8) ta được: )sin( 2 3 2 3 " 2 ' 0 2 Θ+Ω−=−== t m BI i m B i Bl L ω Lấy tích phân ta được: )cos( 2 3 0 Θ+Ω Ω = t m BI ω 6 Tại thời điểm t = 0: l v 0 0 = ω và i 0 = 0 → l v m BI 00 cos 2 3 =Θ Ω và 0sin 0 =ΘI → Θ = 0 và L m v Bl mv I 33 2 0 0 0 = Ω = → t l v Ω= cos 0 ω Gọi góc hợp bởi thanh MN với vị trí ban đầu là ϕ, ta có: ωϕ =' > tt l v m Ω=Ω Ω = sinsin 0 ϕϕ (5.9) Với biên độ góc của dao động 3 2 2 00 mL Bl v l v m = Ω = ϕ (5.10) Vậy: Thanh MN dao động điều hoà quanh vị trí ban đầu với vận tốc góc LI Bl M 2 2 =Ω và biên độ góc ϕ m tính theo (5.10). Nhận xét: Đây cũng là một bài toán có cả năng lượng từ trường và cơ năng, nhưng động năng của hệ là động năng quay được tính theo biểu thức 2 2 1 ω M IK = , I là momen quán tính của vật đối với trục quay, ω là vận tốc góc của vật đối với trục quay ấy. II. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1. Cho mạch điện như hình vẽ: nguồn điện có suất điện động E và điện trở trong r; cuộn dây có hệ số tự cảm L và điện trở thuần R; điện trở thuần có giá trị R 0 . Ban đầu khoá K mở. Đóng khoá K, tìm quy luật biến đổi của dòng điện trong mạch điện và hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây. Đáp số: ++ − − ++ = t e RRr E i L RRr 0 0 1 iRrEu AB )( 0 +−= Bài 2. Một mạch dao động LC gồm một tụ điện và một cuộn dây được nối với một bộ pin có suất điện động E, điện trở trong r qua một công tắc K. Ban đầu K đóng. Khi dòng điện đã ổn định, người ta mở công tắc và trong mạch có một dao động điện từ với chu kì T. Biết rằng hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu tụ điện lớn gấp n lần suất điện động E của bộ pin. Hãy tính theo T và n độ tự cảm L của cuộn dây và điện dung C của tụ điện. Bỏ qua điện trở thuần của cuộn dây. Đáp số: nr T C π 2 = , π 2 Tnr L = Bài 3. Cho mạch điện như hình vẽ: các cuộn dây có hệ số tự cảm L 1 và L 2 , điện trở thuần không đáng kể; nguồn điện có suất điện động E và điện trở trong r; R là điện trở thuần. a) Ban đầu cả hai khoá đều mở. Người ta đóng khoá K 1 và khi dòng điện trong L 1 đạt giá trị I 0 thì đóng K 2 . 7 Tính các giá trị cuối cùng I 1 và I 2 khi đã ổn định của các dòng điện i 1 và i 2 trong hai cuộn dây. b) Xét trường hợp đồng thời đóng cả hai khoá . Tính các giá trị cuối cùng I 1 và I 2 . Đáp số: a) ))(( )( 21 201 1 LLRr ELrRIL I ++ ++ = ; [ ] ))(( )( 21 10 2 LLRr LrRIE I ++ +− = b) ))(( 21 2 1 LLRr EL I ++ = ; ))(( 21 1 2 LLRr EL I ++ = Bài 4. Cho mạch điện như hình vẽ: nguồn điện có suất điện động E, điện trở trong r; cuộn dây thuần cảm, có độ tự cảm L; thanh kim loại MN khối lượng là m, chiều dài l , điện trở không đáng kể có thể trượt không ma sát dọc theo 2 thanh ray x, y. Hệ thống được đặt trong một mặt phẳng nằm ngang trong một từ trường đều cảm ứng từ B hướng thẳng đứng xuống dưới. Ban đầu khoá K đóng. Khi dòng điện trong cuộn dây ổn định người ta ngắt khoá K. Hỏi thanh MN sẽ chuyển động như thế nào ? Bỏ qua điện trở của các thanh ray và điện trở tiếp xúc giữa MN và các thanh ray. LG: K đóng: Ban đầu Dòng điện do nguồn sinh ra trong MN là 0 E I r = (vì cuộn cảm cản trở dòng điện nên dòng điện chỉ qua MN). Thanh MN chuyển động đều do lực cản điện từ: 0 Bv l E= → 0 E v Bl = . Lúc này dòng điện cảm ứng qua cuộn cảm bằng I 0 , có chiều C→ D, còn dòng điện trong MN lại bằng 0. Khi ngắt K: Tổng năng lượng trong mạch bảo toàn: 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 Li mv LI mv 2 2 2 2 + = + Đạo hàm theo thời gian → Lii ' mvv' 0 + = (*) Suất điện động cảm ứng trong MN là MN e Bvl= Suất điện động cảm ứng trong cuộn dây là tc e Li'= → Bvl = Li’ (**) → (*) tương đương: 2 2 B l i" i 0 mL + = → i dao động điều hoà với tần số góc Bl mL ω = Từ (**) → x MN cũng dao động điều hoà với cùng tần số góc. Từ điều kiện ban đầu → 2 2 2 2 2 max 0 0 2 2 2 L E L E v v I m B l m r = + = + → Biên độ dao động max 2 2 2 v E mL 1 L A Bl B l mr = = + ω 8 Bài 5. Cho mạch điện như hình vẽ: Cuộn dây thuần cảm, hệ số tự cảm L; thanh dẫn điện MN khối lượng m, chiều dài l, điện trở không đáng kể, MN có thể trượt không ma sát dọc theo hai thanh ray siêu dân x và y đặt song song trong một mặt phẳng thẳng đứng. Bỏ qua ma sát và điện trở tiếp xúc giữa MN và hai thanh ray. Ban đầu MN được gữ đứng yên, sau đó được thả tự do. Trong quá trình chuyển động MN luôn tiếp xúc với x, y. Hỏi MN sẽ chuyển động như thế nào ? Coi hai thanh ray đủ dài và gia tốc rơi tự do g là không đổi. Đáp số: MN dao động điều hoà quanh VTCB ở dưới vị trí ban đầu 22 0 lB mgL x = Tần số góc của dao động: mL Bl = ω Bài 6. Trong mp thẳng đứng đặt hai thanh ray song song và cách nhau một khoảng l. hai đầu dưới của thanh đươci nối với nhau bằng một tụ điện có điện dung C. Một thanh dẫn có khối lượng m được đặt nằm ngang và luôn tiếp xúc điện với hai ray. Thanh dẫn được giữ nhờ một lò xo có phương thẳng đứng. Đầu trên của lò xo cố định tại điểm I nằm trong mp của hai ray. Hệ được đặt trong từ trường đều có cảm ứng từ B, các đường sức từ vuông góc với mp chứa hai ray (hình vẽ). Bỏ qua ma sát. Dịch chuyển thanh dẫn một đoạn nhỏ theo phương song song với hai ray rồi thả nhẹ. Chứng tỏ rằng thanh dẫn dao động điều hoà. Tìm chu kì dao động. 9 . theo biểu thức 2 2 1 ω M IK = , I là momen quán tính của vật đối với trục quay, ω là vận tốc góc của vật đối với trục quay ấy. II. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1. Cho mạch điện như hình vẽ: nguồn điện. ra: )cos(' 0 ϕω +== tI mL Bl Bl L i Bl L v Hay )cos( 0 ϕω += tI m L v (4.8) Chọn trục Ox như hình vẽ, gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật. Tại thời điểm t = 0: v = v 0 và i = 0 → 00 cos. biến thi n trong khoảng thời gian dt là: dtBldBld ωϕ 22 2 1 2 1 ==Φ → 2 2 1 Bl dt d e ω = Φ = (5.1) Suất điện động cảm ứng e 1 làm phát sinh trong mạch một dòng điện i. Dòng điện biến thi n