Tổng hợp đề thi thử học sinh giỏi Lớp 12 môn Toán năm 2013 (12)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – BẢNG B Môn: Toán Bài 1:(2đ) Xét chiều biến thiên của hàm số: 1 2 +−+= xxxy Bài 2:(2đ) Parabol: 2 2 x y = chia hình tròn 8 22 ≤+ yx ra làm 2 phần. Tính diện tích mỗi phần đó. Bài 3:(2đ) Tìm m để phương trình x 4 – ( 2m+3)x 2 + m + 5 = 0 có 4 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 , x 4 thoả mãn : -2 < x 1 < -1 < x 2 < 0 < x 3 < 1 < x 4 < 3 Bài 4:(2đ) Giải bất phương trình: ( ) 943 22 −≤+− xxx Bài 5:(2đ) Giải phương trình: x x xx sin2 1 sin 3 2 3 cos22 3 cos2 += − + Bài 6:(2đ) Biết rằng tồn tại x để các cạnh của ∆ABC thoả mãn: a = x 2 + x + 1; b = 2x + 1; c = x 2 – 1. Hỏi ∆ABC có đặc điểm gì? Bài 7:(2đ) Tính x x x x Lim 2 13 53       − + ∞→ Bài 8:(2đ) Giải hệ phương trình:      =++ =++ =++ 2logloglog 2logloglog 2logloglog 16164 993 442 yxz xzy zyx Bài 9:(2đ) Cho mặt cầu (C) tâm O, bán kính R và n điểm trong không gian: A 1 , A 2 , A n . Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu (C) người ta dựng điểm N sao cho: →→→→ +++= n MAMAMAMN 21 . Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi. Bài 10:(2đ) Biết rằng các số a,b,c,d thoả mãn:    =+++ +=+ 0 22 22 dcdc baba Chứng minh: ( ) ( ) 22 22 ≤−+− dbca -2 O 2 x ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – BẢNG B Môn : Toán Bài Nội dung Điểm 1 (2đ) Đk:       ≥      ≥       ≥ ≤ ⇔ ≤ ≤    ⇔ ≥+− < ⇔ ∈∀≥+−−≥+−⇔    ≥+−+ ≥+− 0 0 0 0 1 0 1 0 011 01 01 22 22 2 2 x x x x x x xxx x Rxxxxxx xxx xx vi ⇒ Tập xác định của hàm số là R. Ta có: y’ = ( ) x xxxxx xx xxxxx xx xxxxx xxx ∀≥ +−+−+ −+− > +−+−+ −++− = +−+−+ −++− 0 1.14 1212 1.14 12312 1.14 1212 2222 2 22 2 ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên toàn tập xác định R 0.5 0.5 0.75 0.25 2 (2đ) Đường tròn có bán kính: R= 228 = y Diện tích hình tròn là: S = ππ 8 2 =R (đvdt) Gọi diện tích phần gạch chéo là S 1 , phần còn lại là S 2 . A B Cần tính S 1 .Phương trình đường tròn: x 2 + y 2 = 8 ⇒ y = 2 8 x−± Đường tròn và Parabol cắt nhau tại 2 điểmA, B có toạ độ là nghiệm của hệ: ( )    = ±= ⇔    =−+ ≥= ⇔      =+ = 2 2 082 02 8 2 2 2 22 2 y x yy yyx yx x y S 1 = 2 0 2 0 3 2 2 0 2 2 3 82 2 82 ∫∫ −−=         −− x dxxdx x x đặt x = tdtdxt cos22sin22 =⇒ cận 2 0 x thành cận 4 0 π t 0.5 0.5 0.5 ( ) 3 4 2 3 8 )2cos1(8 3 8 cos16 3 8 cos.22.sin182 4 0 4 0 2 4 0 2 1 +=−+=−=−−=⇒ ∫∫∫ π πππ dtttdttdttS (đvdt) 3 4 6 3 4 28 12 −=       +−=−=⇒ πππ SSS ( đvdt) 0.5 3 (2đ) Txđ của phương trình là : R Đặt x 2 = X 0≥ , ta có phương trình: f(X) = X 2 – ( 2m+3).X + m + 5 = 0 (*) để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x 1 < x 2 < x 3 < x 4 thì phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn: 0 < X 1 < X 2 . Khi đó 24131221 ;;; XxXxXxXx ==−=−= Do đó: -2<- 2 X <-1< - 1 X < 0 < 1 X < 1 < 2 X < 3 >⇔ 2 2 X >1 > 1 X > 0 ⇔ 4 > X 2 > 1 > X 1 > 0      >+− >+ <+− ⇔      > > < ⇔ 097 05 03 0)4( 0)0( 0)1( m m m af af af        < −> > ⇔ 7 9 5 3 m m m ⇒ không tồn tại m thoả mãn bài toán . 0.5 0.5 0.5 0.5 4 Giải bất phương trình : (x-3) 4 2 +x 9 2 −≤ x Txđ :R Bpt : ( ) ( ) 0343 2 ≤−−+− xxx                       −≤ −> ≤    −≤ ≤      −≥ ≥ −⇔                   ++≥+ >+ ≤    ≤+ ≤    ++≤+ ≥ −⇔          +≥+ ≤−    +≤+ ≥− ⇔ 6 5 3 3 3 3 6 5 3 964 03 3 03 3 964 3 34 03 34 03 22 22 2 2 x x x x x x x xxx x x x x xxx x xx x xx x 0.5 1.0 [ ) +∞∪       −∞−∈⇔        −≤<− −≤ ≥ ⇔ ;3 6 5 ; 6 5 3 3 3 x x x x Đây là tập nghiệm của bấtt phương trình. 0.5 5 (2đ) Đk: .,2 2 2 0sin 0cos zkkxk x x ∈+≤<⇔    > ≥ π π π áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: VF = 3 32 sin2 1 sin 3 2 ≥+ x x áp dụng Bđt Bunhiacôpxki cho vế trái ta được: VT ( ) 3 32 3 cos22 3 cos2 11 22 =       − ++≤ xx . để phương trình có nghiệm thì VT=VF = 3 32 ( ) zkkx x x xx x x ∈+=⇔        = = ⇔        − = = ⇔ π π 2 3 2 1 cos 2 3 sin 3 cos22 3 cos2 sin2 1 sin 3 2 đây là họ nghiệm của phương trình. 0.5 0.5 0.5 0.5 6 Để a, b, c là 3 cạnh của ∆ABC: a = x 2 + x + 1; b= 2x+1; c = x 2 –1 thì điều kiện cần là: ( )               >⇔+∞∪ >       −∞−∈ −> ⇔ > >−− −> ⇔      ++>++− +>−+++ −>++++ 1;1 1 2 1 ; 1 1 012 33 1)12()1( 12)1()1( 1)12()1( 2 22 22 22 x x x x x xx x xxxx xxxx xxxx Với điều kiện x>1, từ giả thiết của bài toán ta kiểm tra thấy: a 2 = b 2 + c 2 +bc. Theo định lý hàm số côsin ta có: a 2 = b 2 + c 2 – 2bc.cosA => cosA= 2 1 mà 0 < A < π => A = 3 2 π . Vậy ∆ABC có góc A = 3 2 π 0.5 1.0 0.5 7 (2đ) Ta có xx xx x 22 13 6 1 13 53       − +=       − + đặt 13 61 − = xt thì 6t = 3x-1 ⇔ 3 16 + = t x Khi x ⇒ ∞ thì t ⇒ ∞ 0.5 0.5 M Khi đó                 +               +=       +=       − + ∞→ + ∞→∞→ 3 2 4 3 2 42 1 1 1 1lim 1 1lim 13 53 lim tttx x t t t t x x = e 4 vì           =       +=       + ∞→∞→ 1 1 1lim; 1 lim 3 2 t e t t t t t 0.5 0.5 8 (2đ) Đk: x > 0; y > 0; z > 0. Khi đó hệ phương trình tương đương với:      = = = ⇔          =++ =++ =++ 2)(log 2)(log 2)(log 2log 2 1 log 2 1 log 2log 2 1 log 2 1 log 2log 2 1 log 2 1 log 4 3 2 444 333 222 xyz xzy yzx yxz xzy zyx      = = = ⇔      = = = )3(16 )2(9 )1(4 16 9 4 22 22 22 xyz xzy yzx xyz zxy yzx Nhân (1), (2), (3) vế với vế ta được x 2 y 2 z 2 = 4.9.16 ⇔ x.y.z=24 3 32 24 16 ; 8 27 24 9 ; 3 2 24 4 2 2 22 ======⇒ zyx 0.5 0.5 0.5 0.5 9 (2đ) →→→→→→→→→ →→→→ +++=++++++= +++= nn n OAOAMOnOAMOOAMOOAMO MAMAMAMN )1( 121 21 Gọi tổng: →→→→ =+++ OKOAOAOA n 21 ( Điểm K hoàn toàn được xác định tuỳ thuộc vào cách cho hệ điểm A 1 , A 2 , A 3 , , A n ) Khi đó: (1) →→→→→→→→→ −=⇔−=−⇔+=+⇔ MOnKNMOnOKONOKMOnONMO ).1().1(. )2().1().1( ≥−=−=⇔ →→ nRnMOnKN ⇒ Tập hợp các điểm N là mặt cầu tâm K, bán kính (n-1)R 0.5 0.5 0.5 0.5 10 (2đ) Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 điểm : y M(a,b) và N(c,d). Từ giả thiết ta có: 0.5 M 1 1 1/2 1      =+++ =−+− 2 1 ) 2 1 () 2 1 ( 2 1 ) 2 1 () 2 1 ( 22 22 dc ba ⇒ M nằm trên đường tròn tâm I ) 2 1 , 2 1 ( bán 1 x kính R= 2 2 , và N nằm trên đường tròn tâm K ) 2 1 , 2 1 ( −− , bán kính R= 2 2 . Nối IK cắt 2 đường tròn tại 2 giao điểm xa nhất M 1 và N 1 ⇒ MN≤ M 1 N 1 = 22 ),();,( RKNRIM ∈∈∀ 22)()( 22 ≤−+−⇔ dbca (đpcm) 0.5 0.5 0.5 Tài liệu tham khảo: Bài 1,7,9: Sách các bài luyện giảng môn Toán tập 3 Bài 2 : Sách tuyển chọn những bài ôn luyện môn Toán – Tập 2 Bài 3 : Sách các bài luyện giảng – tập 1 Bài 4, 6 : Sách các bài luyện giảng môn Toán - tập 2 Bài 5 : Sách phương pháp giải toán lượng giác. Bai 8 : Sách tuyển chọn những bài ôn luyện môn Toán – Tập 1 1/2 1/2 -1 1 1 N 1 -1 N 1/2 1 11 O -1/2 1/2 K . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – BẢNG B Môn: Toán Bài 1:(2đ) Xét chiều biến thi n của hàm số: 1 2 +−+= xxxy Bài 2:(2đ) Parabol: 2 2 x y.    =+++ +=+ 0 22 22 dcdc baba Chứng minh: ( ) ( ) 22 22 ≤−+− dbca -2 O 2 x ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – BẢNG B Môn : Toán Bài Nội dung Điểm 1 (2đ) Đk:       ≥      ≥       ≥ ≤ ⇔ ≤ ≤    ⇔ ≥+− < ⇔ ∈∀≥+−−≥+−⇔    ≥+−+ ≥+− 0 0 0 0 1 0 1 0 011 01 01 22 22 2 2 x x x x x x xxx x Rxxxxxx xxx xx . = ( ) x xxxxx xx xxxxx xx xxxxx xxx ∀≥ +−+−+ −+− > +−+−+ −++− = +−+−+ −++− 0 1.14 121 2 1.14 123 12 1.14 121 2 2222 2 22 2 ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên toàn tập xác định R 0.5 0.5 0.75 0.25 2 (2đ) Đường