ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN; ĐỀ 07-BN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1* (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1 1 x y x − = − 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 . Câu 2* (1điểm) 1) Giải phương trình 2 17 sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( ) 2 2 12 π π + + = + + x x x x 2) Cho z là số phức. Tìm m để phương trình 2 ( 1) 0− − − =m z m z i có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 2 ; sao cho | | | | 2+ ≥z z z z Câu 3* (0,5 điểm) Giải pt sau: 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : 4 3 2 2 3 2 1 1 x x y x y x y x xy − + = − + = − Câu 5*(1 điểm): Tính tích phân: I = 4 0 tan .ln(cos ) cos x x dx x π ∫ Câu 6 (1 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60 0 . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) . Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng ∆ : 2x + 3y + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau góc 45 0 . Câu 8* (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và hai đường thẳng 1 ( ) : 1 2 3 x y z d + = = − − và 1 4 ( ') : 1 2 5 x y z d − − = = Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. Câu 9* (0,5 điểm) Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có một người bắn trúng mục tiêu. Câu 10: (1 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 3 a b b c c a ab c bc a ca b + + + + + ≥ + + + ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu -ý Nội dung Điểm 1.1 *Tập xác định : { } \ 1=D R *Tính 2 1 ' 0 ( 1) y x D x − = < ∀ ∈ − Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1)−∞ và (1; )+∞ *Hàm số không có cực trị *Giới hạn 1x Lim y + → = +∞ 1x Lim y − → = −∞ 2 x Lim y →+∞ = 2 x Lim y →−∞ = Đồ thị có tiệm cận đứng :x=1 , tiệm cận ngang y=2 *Bảng biến thiên *Vẽ đồ thị 0.25 0.25 0.25 0.25 1.2 *Tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0 ( ; ( )) ( )M x f x C∈ có phương trình 0 0 0 '( )( ) ( )y f x x x f x= − + Hay 2 2 0 0 0 ( 1) 2 2 1 0x x y x x+ − − + − = (*) *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 0 4 0 2 2 2 1 ( 1) x x − ⇔ = + − giải được nghiệm 0 0x = và 0 2x = *Các tiếp tuyến cần tìm : 1 0x y+ − = và 5 0x y+ − = 0.25 0.25 0.25 0.25 2.1 *Biến đổi phương trình đã cho tương đương với os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0 6 c x x c x π − + + + = os(2 ) 5 os( ) 3 0 3 6 c x c x π π ⇔ + + + + = 2 2 os ( ) 5 os( ) 2 0 6 6 c x c x π π ⇔ + + + + = Giải được 1 os( ) 6 2 c x π + = − và os( ) 2 6 c x π + = − (loại) *Giải 1 os( ) 6 2 c x π + = − được nghiệm 2 2 x k π π = + và 5 2 6 x k π π = − + 0.25 0.25 2.2 Để pt có 2 nghiệm (*) Với thì pt đã cho là pt bậc hai có nên pt có 2 nghiệm 0.25 Theo bài ra : Kết hợp với điều kiện (*) ta được thỏa mãn bài toán 0.25 3 Pt đã cho tương đương (3 x -3)(8-2 x )= 0 Từ đó tìm được x=1 hoặc x=3 0.25 0.25 4 *Biến đổi hệ tương đương với 2 2 3 3 2 ( ) 1 ( ) 1 x xy x y x y x xy − = − − − = − *Đặt ẩn phụ 2 3 x xy u x y v − = = , ta được hệ 2 1 1 u v v u = − − = − *Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3) *Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0) 0.25 0.25 0.25 0.25 5 *Đặt t=cosx Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thì t=1 , 4 x π = thì 1 2 t = Từ đó 1 1 2 2 2 1 1 2 ln lnt t I dt dt t t = − = ∫ ∫ *Đặt 2 1 ln ;u t dv dt t = = 1 1 ;du dt v t t ⇒ = = − Suy ra 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 ln ln 2 1 1 2 2 2 I t dt t t t = − + = − − ∫ *Kết quả 2 2 1 ln 2 2 I = − − 0.25 0.25 0.25 0.25 6 *Vẽ hình *Gọi H là trung điểm BC , chứng minh ( )SH A B C⊥ *Xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy là 0 60SEH SFH= = *Kẻ HK SB⊥ , lập luận suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng HK A . *Lập luận và tính được AC=AB=a , 2 2 a HA = , 0 3 tan 60 2 a SH HF= = *Tam giác SHK vuông tại H có 2 2 2 1 1 1 3 10 K H a HK HS HB = + ⇒ = *Tam giác AHK vuông tại H có 2 20 2 tan 3 3 10 a A H A K H K H a = = = 0.25 0.25 0.25 3 cos 23 A K H⇒ = 0.25 7 * ∆ có phương trình tham số 1 3 2 2 x t y t = − = − + và có vtcp ( 3;2)u = − ur *A thuộc ∆ (1 3 ; 2 2 )A t t⇒ − − + *Ta có (AB; ∆ )=45 0 1 os( ; ) 2 c A B u⇔ = uuuur ur . 1 2 . A B u A B u ⇔ = uuuur ur ur 2 15 3 169 156 45 0 13 13 t t t t⇔ − − = ⇔ = ∨ = − *Các điểm cần tìm là 1 2 32 4 22 32 ( ; ), ( ; ) 13 13 13 13 A A− − 0.25 0.25 0.25 0.25 8 *(d) đi qua 1 (0; 1;0)M − và có vtcp 1 (1; 2; 3)u = − − uur (d’) đi qua 2 (0;1;4)M và có vtcp 2 (1;2;5)u = uur *Ta có 1 2 ; ( 4; 8;4)u u O = − − ≠ uur uur ur , 1 2 (0;2;4)M M = uuuuuuur Xét 1 2 1 2 ; . 16 14 0u u M M = − + = uur uur uuuuuuur (d) và (d’) đồng phẳng . *Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt (1;2; 1)n = − ur và đi qua M 1 nên có phương trình 2 2 0x y z+ − + = *Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm 0.25 0.25 0.25 0.25 9 Gọi A là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.8 B là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0.9 Gọi C là biến cố cần tính xác suất thì C= . .+A B A B Vậy xác suất cần tính là P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26 0.25 0.25 10 *Biến đổi 1 1 1 (1 )(1 ) a b c c ab c ab b a a b + − − = = + + − − − − *Từ đó 1 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) c b a V T a b c a c b − − − = + + − − − − − − Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1- b,1-c dương *áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được 3 1 1 1 3. . . (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) c b a V T a b c a c b − − − ≥ − − − − − − =3 (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c= = = 0.25 0.25 0.25 0.25 Chú ý: Học sinh làm theo cách khác mà vẫn đúng vẫn được tính điểm tối đa! . ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN; ĐỀ 07- BN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1* (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến. tuyến bằng 2 . Câu 2* (1điểm) 1) Giải phương trình 2 17 sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( ) 2 2 12 π π + + = + + x x x x 2) Cho z là số phức. Tìm m để phương trình 2 ( 1) 0− − − =m z m z i . : { } 1=D R *Tính 2 1 ' 0 ( 1) y x D x − = < ∀ ∈ − Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1)−∞ và (1; )+∞ *Hàm số không có cực trị *Giới hạn 1x Lim y + → = +∞ 1x Lim y − → =