SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 Trường THPT Phan Bội Châu Môn: TOÁN - ĐỀ SỐ 1 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1(2điểm) Cho hàm số: 3 2 ( ) 3y f x x x m= = + + , ( m R∈ ) (1). a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. b/ Chứng minh rằng với mọi m , đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị A, B. Tìm m để góc · AOB bằng 120 o . Câu 2(1 điểm) Giải các phương trình: a/ 2 4 2 log ( 1) log 1x x− − = b/ 2cosx(sinx + 1) – cos2x = 0 Câu 3(1điểm) Tính tích phân:I = Câu4(1 điểm) a/ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (2 - 3i)z + (4 - i) z = 2(4 - 3i). Tìm phần thực và phần ảo của z. b/ Trong khai triển nhị thức P(x) = (5 - 4x) n , n nguyên dương, hãy tính tổng tất cả các hệ số lũy thừa lẻ của x. Câu 5 (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB. Câu 6 (1 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng ∆: x y z1 1 2 1 2 + − = = − . a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng ∆ b/ Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho tam giác ∆MAB có diện tích nhỏ nhất. Câu 7(1điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0), B(0; 1) và đường thẳng ∆: 0 2 1 =+− yx . Lập phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A, B và cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm này tạo với nhau một góc 60 ο Câu 8(1điểm) Giải bất phương trình: 2 20 4 2 4x x x x+ + + ≤ + Câu 9(1 điểm) Cho ba số dương , ,x y z thỏa x y z+ + = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 x y z P x y z = + + + + + ===Hết=== 218 x y -2 4 0 1 ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN SỐ 1 Câu ý Nội dung Điểm 1 2 a/ (1điểm) b/(1đ) a/(0,5đ) b/(0,5đ) 1) m = 0: y = x 3 + 3x 2 + TXĐ: D = R + Chiều biến thiên: y’ = 3x 2 + 6x y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = -2 lim , lim x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ + BBT: x - ∞ -2 0 + ∞ y’ + 0 - 0 + y 4 + ∞ - ∞ 0 Hàm số nghịch biến trong (-2; 0), đồng biến trong mỗi khoảng ( −∞ ; -2) và (0; +∞ ) Hàm sô đạt cực đại bằng 4 khi x = -2, đạt cực tiểu bằng 0 khi x = 0 + Đồ thị: 2) 3 2 ( ) 3y f x x x m= = + + + y’ = 3x 2 + 6x có hai nghiệm x = -2, x = 0 với mọi m, suy ra đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. Tọa độ hai điểm cực trị là A(0; m) và B(-2; 4+m). + · AOB = 120 o ⇔ . 1 . 2 OA OB OA OB = − uuur uuur 2 2 ( 4) 8 20m m m m m⇔ − + = + + ⇔ 12 2 3 0, 3 m m − + = = ĐK : 10 ≠< x , PT(1) xx 2log|1|log 22 =−⇔ Tìm được nghiệm: x = 3 1 + Biến đổi về pt: cos2x - sin2x = cosx 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,25 0,25 0,25 0.25 0.25 0.25 219 3 4 5 6 a/(0,5đ) b/(0,5đ) a/(1 đ) a/(0.5đ) b/(0.5) + Tìm được nghiệm pt : x = + k2 ; x = + ; Đặt ln , du x dv x x= = , suy ra 2 1 , 2 x du dx v x = = Dẫn đến I = - Tính ( ) 2 2 1 1 1 1 d 1 2 2 e e x x x e= = − ∫ Kết quả I = ( ) 2 1 1 4 e + Gọi số phức cần tìm z = a + bi biaz −=⇒ ; a,b R ∈ + biến đổi về được: 6a +2b -(4a +2b)i = 8-6i + Tìm a =1; b=1 Ta có: P(x)= a o +a 1 x+a 2 x 2 + + a n x n P(1) = a o + a 1 + + a n P(-1) = a o - a 1 +a 2 - a 3 + +(-1) n a n và P(1) = (5 - 4) n = 1, P(-1) = (5+4) n = 9 n tổng các hệ số theo lũy thừa lẻ là: a 1 + a 3 + a 5 + = 2 91 2 )1()1( n PP − = −− O A B C D S K Gọi O là tâm hình vuông ABCD. )(ABCDSO ⊥⇒ Góc SCO bằng 30 o là góc giữa cạnh bên và đáy Tính được SO = 6 6a . vậy V S.ABCD = (đvtt) Kẻ OK ⊥ SB (1) AC ⊥ (SBD) ⇒ AC ⊥ OK (2) (1) và (2) cho OK là khoảng cách giữa AC và SB Tính được d(AC;SB)= OK= 22 a + Tìm được VTPT ( ) 2;1;2 −= n của mp(P) + Viết được ptmp(P):2x - y +2z +3 = 0 Gọi M t t t( 1 2 ;1 ;2 )− + − ∈ ∆. 0,25 0,25 0.25 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 220 7 8 9 Diện tích ∆MABlà S AM AB t t 2 1 , 18 36 216 2 = = − + uuur uuur = t 2 18( 1) 198 − + ≥ 198 Vậy Min S = 198 khi t 1 = hay M(1; 0; 2). +Tìm được pt đường trung trực d của đoạn AB: y = x + Đường tròn (C) có tâm I (t;t) Gọi C, D lần lượt là giao điểm của (C) và đt ∆, tiếp tuyến tại C, D cắt nhau tại J và tạo với nhau một góc 60 ο nên 60 = CJD (1)hoặc góc ο 120 = CJD (2) (1)góc 60 = CJD : Khi đó · CID =120 o nên IAIH 2 1 = (H là hình chiếu của điểm I lên đt ∆) IAId 2 1 );( =∆⇔ Tìm được tâm I(0;0) Bkính R=1 Pt đường tròn (C): x 2 + y 2 = 1 và tâm I'(2;2) Bkính R' = 5 Pt đường tròn (C): (x-2) 2 + (y-2) 2 =5 (2)góc ο 120 = CJD Tìm được IAIH 2 3 = (H là hình chiếu của Điểm I lên đt ∆) IAId 2 13 );( =∆⇔ 22 )1( 2 3 2 1 tt +−=⇔ (PTVN) Điều kiện: x 0 (*) + x=0 là nghiệm bpt (1) + x>0 chia 2 vế bpt cho ta được: +1 2( + ) Đặt t = + => x+ = t 2 - 4 Bất phương trình thành: 2t-1 t 3 0,25 0,25 0.25 0,25 0,25 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 221 Với t 3 ta có: + 3 x 4 ; 0 1 Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là S = [0;1] [4;+ ] +Ta có: 1 1 1 x y z P x y z = + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1x y z = − + − + − + + + = 3- 1 1 1 ( ) 1 1 1x y z + + + + + . Mà : 1 1 1 1 1 1x y z + + + + + 3 3 ( 1)( )( 1)x y z ≥ + + + (Cô-si) (1) + Và : 3 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) 3 x y z x y z + + + + + ≥ + + + ⇔ 3 1 1 3 1 1 1 4 ( 1)( 1)( 1) 3 x y z x y z ≥ = + + + + + + + + (2) Từ (1) và (2) Suy ra : 1 1 1 9 1 1 1 4x y z + + ≥ + + + Suy ra : 9 3 3 4 4 P ≤ − = . Vậy 3 MaxP 4 = đạt được kck 0.25 0.25 222 SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 Trường THPT Phan Bội Châu Môn: TOÁN - ĐỀ SỐ 2 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số ( ) − = + x 2 y 1 x 1 có đồ thị (C ). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Chứng minh đường thẳng (d): + + =2x y m 0 luôn cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B. Định m để khoảng cách AB bé nhất. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: + = 3 4 sin x cos x 1 Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân: + = + + ∫ 4 0 2x 1 I dx 1 2x 1 Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm số phức z biết: ( ) + − =1 i z 1 0 . b) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 người nữ. Câu 5 (1,5 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng − + + =(P ) : x 2 y 2 z 1 0 và mặt cầu + + − + + + = 2 2 2 (S) : x y z 4x 6y 6z 17 0 . a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua tâm của (S) và vuông góc với (P). b) Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (S) và (P). Lập phương trình mặt cầu (S') chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng + + + =(Q) : x y z 3 0 . Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với góc · BAD bằng 0 120 , = BD a , hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 0 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mp(SBC). 223 x y 1 1 -1 Câu 7 (0,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 3), B(2;1),C(6;3) . Gọi D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC . Tìm điểm M trên đường tròn ( ) ( ) ( ) − + − = 2 2 C : x 3 y 1 25 sao cho diện tích tam giác MCD gấp đôi diện tích tam giác ABD. Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: ( ) + + = + + + + + − = 4 2 2 2 2 32 y 2y 4x 4x y 2x xy 2x y 1 2x 1 1 Câu 9 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa + + =x y z 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) + + + = + + 2 2 2 x y z y x z z y x P yz xz yx Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 2 - PBC Câu Đáp án Điểm 1(2 đ) a) (1,0 điểm) + Tập xác định { } = −D R \ 1 + Sự biến thiên: Chiều biến thiên: ( ) = > ∀ ≠ − + ' ' 2 3 y , y 0 x 1 x 1 Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( ) ( ) −∞ − − +∞; 1 ; 1; 0.25 + Giới hạn và tiệm cận: →−∞ →+∞ = = x x lim y 1;lim y 1 ⇒ =y 1 là tiệm cận ngang − + →− →− = +∞ = −∞ x 1 x 1 lim y ;lim y ⇒ = − x 1 là tiệm cận đứng 0,25 +Bảng biến thiên: x - ∞ -1 + ∞ ' y + + + ∞ 1 y 1 - ∞ 0,25 + Đồ thị: 0,25 224 b) (1,0 điểm) + Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) : − = − − + x 2 2x m x 1 0.25 ( ) ⇔ + + + − = ≠ − 2 2x m 3 x m 2 0, x 1 (*) x = -1 không là nghiệm của phương trình (*). Mặt khác (*) có: ( ) ∆ = − + = − + > ∀ 2 2 m 2m 25 m 1 24 0, m . Vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác -1, suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. 0,25 + ( ) ( ) − + = − + − = 2 2 2 2 B A B A m 2m 25 AB x x y y 5 4 0,25 AB min ⇔ − + 2 m 2m 25 min ⇔ =m 1 0,25 2 (1,0đ) Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) + = + ⇔ − = − 3 4 2 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x s inx 1 cos x 1 cos x 0,25 ( ) ( ) ⇔ − − = ⇔ + − = 2 2 2 2 sin x s inx 1 cos x 0 sin x s in x s inx 2 0 0.25 ⇔ π π π = = ⇔ = = + ∈ x k s inx 0 s inx 1 x k2 ;k z 2 0,5 3 (1,0đ) Đặt = + ⇒ = + ⇒ = 2 t 2x 1 t 2x 1 dx t dt Đổi cận: = ⇒ = = ⇒ =x 0 t 1; x 4 t 3 0,25 + = = + + + ∫ ∫ 4 3 2 0 1 2x 1 t I dx dt 1 t 1 2x 1 0,25 = − + = − + + ÷ ÷ + ∫ 3 3 2 1 1 1 t t 1 dt t ln t 1 t 1 2 0.25 = + 2 ln 2 0,25 4(1 đ) a) (0,5 điểm) ( ) + − =1 i z 1 0 − ⇔ = ⇔ = + 1 1 i z z 1 i 2 0.25 = − ⇔ = + 1 1 1 1 z i z i 2 2 2 2 0,25 b) (0,5điểm) Chọn 3 nữ + 5 nam: có = 3 5 5 10 C C 2520 cách Chọn 4 nữ + 4 nam: có = 4 4 5 10 C C 1050 cách 0.25 225 Chọn 5 nữ + 3 nam: có = 5 3 5 10 C C 120 cách Theo qui tắc cộng: ta có 3690 cách lập nhóm đồng ca 0,25 5 (1.5đ) a) (1 điểm) (S) có Tâm − −I(2; 3; 3) bán kính =R 5 0.25 + (P) có VTPT (1; 2;2)n = − r + Suy ra d có VTCP là (1; 2;2)n = − r + Phương trình đường thẳng d = + = − − = − + x 2 t y 3 2t z 3 2t . 0.25 0.25 0,25 b) (0,5điểm) (C) có tâm − − = ⇒ ÷ I 5 7 11 H (d) (P ) H ; ; 3 3 3 và bán kính r = 2 Gọi ( ) S' có tâm E bán kính ' r Khi đó : = ⇒ − − =I ' E (d) (Q) E(3; 5; 1), r 2 5 0.25 Nên ( ) ( ) ( ) ( ) − + + + + = ' 2 2 2 S : x 3 y 5 z 1 20 0,25 6(1 đ) + Nêu được ⊥SA (ABCD) , Gọi I là trung điểm của BC, góc giữa (SBC) và mặt đáy là góc SIA ; suy ra = a AI 2 0.25 nên = = 0 a 3 SA AI. t an 60 2 ⇒ = = = 3 S.ABCD ABCD 1 1 1 a a 3 a V S .SA . .a. . 3 3 2 2 12 3 .(đvtt) 0,25 Ta có : ⇒ =AD / / (SBC) d(D;(SBC) d(A;(SBC)) ⊥ ⇒ ⊥BC (SAI) (SAI) (SBC) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SI nên ta có: ⊥AH (SBC) =d(A;(SBC)) AH 0.25 Trong tam giác vuông SAI ta có: = = SA.AI a 3 AH SI 4 0,25 226 Vậy = a 3 d(D;(SBC)) 4 (đvđd) 7(1 đ) 8(1 đ) Điều kiện: + ≥ ⇔ ≥ 2 xy 2x 0 x 0 Phương trình (1) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + = + + − ⇔ + − − + + = 2 2 2 2 2 2 2 y 2x y 2x y 2x xy 2x 2 y 2x y 2x xy 2x 2 0 0,25 Xét: + = 2 y 2x 0 hệ vô nghiệm Xét: − − + + = 2 2 y 2x xy 2x 2 0 + + + ⇔ − − = ⇔ = 2 2 2 y 2 y 2 y 2 2 0 2 x x x ⇔ + = − 2 y 1 4x 1 Nên − + − − = 3 4x 1 2x 1 1 0 Xét = − + − − 3 f(x) 4x 1 2x 1 1 ⇒ = + > − − ' 2 3 2 2 f (x) 0 4x 1 3. (2x 1) , hàm số đồng biến > 1 x 4 0,25 0,25 Mà = ⇒ = = 1 1 f( ) 0 x ;y 0 2 2 là nghiệm duy nhất của phương trình 0,25 9(1 đ) Ta có: ( ) − ≥ 2 x y 0 nên: + − ≥ ⇔ + ≥ + 2 2 3 3 x y xy xy x y xy(x y) ⇔ + ≥ + 2 2 x y x y;(1) y x 0,25 Tương tự: + ≥ + 2 2 z y z y;(2) y z + ≥ + 2 2 x z x z;(3) z x 0,25 Từ (1),(2),(3) ≥ + +P 2(x y z) = 2 0,25 Vậy =P min 2 khi = = = 1 x y z 3 0,25 227 . NAM ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 Trường THPT Phan Bội Châu Môn: TOÁN - ĐỀ SỐ 1 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1(2điểm) Cho hàm số: 3 2 ( ) 3y f x x x m= = + + , ( m R∈ ) (1). a/ Khảo sát sự biến thi n. NAM ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 Trường THPT Phan Bội Châu Môn: TOÁN - ĐỀ SỐ 2 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số ( ) − = + x 2 y 1 x 1 có đồ thị (C ). a) Khảo sát sự biến thi n. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa + + =x y z 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) + + + = + + 2 2 2 x y z y x z z y x P yz xz yx Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 2 - PBC Câu Đáp