! Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) "#$%& điểm)! Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= - + ( ) 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 2 1d y x= + với đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc d và cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành một tam giác vuông tại M. "#$ %& điểm)! a) Cho góc a thỏa mãn 2 p a p< < và 12 sin 13 α = . Tính os 4 A c p a æ ö ÷ ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ ç è ø b) Cho số phức z thỏa mãn ( ) (1 ) 2i z z i+ = + . Tính môđun của số phức z . "#'$%& điểm(!Giải phương trình 2 2 log ( 1) log (3 4) 1 0x x- + - - = . "# %& điểm)! Giải bất phương trình 2 2 2 3 ( 2)( 2 2 5) 9 ( 2)(3 5 12) 5 7x x x x x x x+ - + - £ + + - - + + "#$ %& điểm)!Tính tích phân 1 2 0 ( 3 ) x x x e e dx+ ò . "# ) %& điểm)! Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , 2 2 , 3AB BC a AD a= = = . Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng ( )ABCD là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SCD biết 13SD a= . "# * %& điểm)! Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có 2AC AB= . Điểm (2; 2)M - là trung điểm của cạnh BC . Gọi E là điểm thuộc cạnh AC sao cho 3EC EA= , điểm 4 8 ; 5 5 K æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø là giao điểm của AM và BE . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm E nằm trên đường thẳng : 2 6 0d x y+ - = . "#+$ %& điểm)! Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (2; 1;2), (0;0;2)A B- và đường thẳng 3 6 1 : 2 2 1 x y z d - - - = = - . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d và phương trình mặt cầu có tâm B, tiếp xúc với (P). "#,$%& điểm(!Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, lớp 12A Có 2 học sinh đạt giải môn Toán đều là học sinh nam và 4 học sinh đạt giải môn Vật lí trong đó có 2 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong các học sinh đạt giải đó đi dự lễ tổng kết năm học của tỉnh. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí. "# %&điểm)! Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn 2 2 2 5( ) 9( 2 )x y z xy yz zx+ + = + + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 3 1 ( ) x P y z x y z = - + + + . (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. /01.2.34563!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!789:;<=3!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! SỞ GD & ĐT BẮC NINH >?@A B ?CDEFG !H58 "# :I: 6JK %&L6JK( =((1,0điểm( +Tập xác định: =D R + Sự biến thiên: Chiều biến thiên: 2 0 ' 6 6 , ' 0 1 = = − = ⇔ = x y x x y x Các khoảng đồng biến: ( ;0)−∞ và (1; )+∞ ; khoảng nghịch biến: (0;1) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0,x y= CĐ = 1; hàm số đạt cực tiểu tại 1,x y= CT = 0 Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ Bảng biến thiên : x −∞ 0 1 +∞ y’ + 0 - 0 + y 1 +∞ −∞ 0 + Vẽ đồ thị: & & & & 9((1,0 điểm( Xét phương trình hoành độ giao điểm của : 2 1= +d y x và đồ thị (C) là: 3 2 3 2 2 3 1 2 1 2 3 2 0x x x x x x− + = + ⇔ − − = (*) Giải phương trình (*) ta được ba nghiệm phân biệt 1 2 3 1 0, 2, 2 x x x= = = − Vậy d cắt (C) tại ba điểm phân biệt 1 (0;1), (2;5), ;0 2 A B C − ÷ : 2 1 ( ;2 1)M d y x M t t ∈ = + ⇒ + , tọa độ các điểm cực trị của (C) là (0;1), (1;0)D T M cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông tại M . 0(**)DM TM⇔ = uuuur uuuur , mặt khác ta có ( ;2 ), ( 1;2 1)DM t t TM t t= = − + uuuur uuuur 2 (**) 5 0 0t t t⇒ ⇔ + = ⇔ = hoặc 1 5 t = − 0 (0;1)t M D= ⇒ ≡ (loại); 1 1 3 ; 5 5 5 t M = − ⇒ − ÷ & & & & %&L6JK( =((0,5điểm( Ta có ( ) 2 os os sin 4 2 A c c π α α α = − = + ÷ 2 2 144 25 5 5 os 1 sin 1 os os ( ) 169 169 13 13 2 c c c do π α α α α α π = − = − = ⇔ = ± ⇒ = − < < Thay 12 5 sin , os 13 13 c α α = = − vào A ta được 7 2 26 A = & & 9(%0,5 điểm(!cho số phức z thỏa mãn ( ) (1 ) 2 (*)i z z i+ = + . Tính môđun của số phức z Đặt ,( , );z a bi a b= + ∈ ¡ khi đó z a bi= − . Do đó (*) (1 )( ) ( 2) ( ) ( ) ( 2)i a bi a bi i a b a b i b a iÛ + + = - + Û - + + = + + 2 2 4 4 2 2 5 2 2 a b b a z a b a b − = = ⇔ ⇔ ⇒ = + = + = + = & & ' %&L6JK( Giải phương trình 2 2 log ( 1) log (3 4) 1 0 (1)x x- + - - = . Điều kiện xác định: 4 3 x > (*). Với điều kiện (*), ta có 2 2 2 2 (1) log ( 1)(3 4) 1 log (3 7 4) log 2x x x x⇔ − − = ⇔ − + = 2 3 7 2 0 2x x x⇔ − + = ⇔ = (do điều kiện (*)). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. & & %&L6JK( Giải bất phương trình 2 2 2 3 ( 2)( 2 2 5) 9 ( 2)(3 5 12) 5 7 (1)x x x x x x x+ - + - £ + + - - + + Điều kiện xác định: 5 2 x ≥ − . Khi đó ta có 3 3 2 2 2 (1) 3 14 15 2( 2) 2 5 3( 2) 5 5 7 0x x x x x x x x⇔ + + + − + + − + + − + ≤ 3 3 2 2 2 3 18 2( 2)( 2 5 3) 3( 2)( 5 3) 3 5 7 0x x x x x x x x ⇔ + − − − + + − − + + − + − + ≤ ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2( 2)(2 4) 3( 2)( 4) 5(4 ) ( 2)( 5 9) 0 2 5 3 5 3 9 3 5 7 5 7 x x x x x x x x x x x x + − + − − ⇔ − + + − − + ≤ + + + + + + + + ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 4( 2) 3( 2) 5( 2) ( 2) 5 9 0(*) 2 5 3 5 3 9 3 5 7 5 7 x x x x x x x x x x ÷ + + + ⇔ − + + − − − ≤ ÷ ÷ + + + + + + + + ÷ Ta có với ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 4( 2) 4 3( 2) 3 ( 2); ( 2) 3 5 2 5 3 5 3 5 5( 2) 5( 2) 2 9 9 3 5 7 5 7 x x x x x x x x x x x + + ≤ + < + + + + + ≥ − ⇒ + + < + + + + ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 4( 2) 3( 2) 5( 2) 5 9 2 5 3 5 3 9 3 5 7 5 7 x x x x x x x x x + + + ⇒ + + − − − > + + + + + + + + 2 18 57 127 5 0, 45 2 x x x + + > ∀ ≥ − Do đó (*) 2 0 2x x ⇔ − ≤ ⇔ ≤ , kết hợp với điều kiện 5 2 x ≥ − ta suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm là 5 2 2 x− ≤ ≤ & & & & %&L6JK( Ta có 1 2 0 ( 3 ) x x I x e e dx= + ò 1 1 2 3 0 0 3 x x xe dx e dx= + ∫ ∫ . Đặt 1 3 0 3 x J e dx = ∫ và 1 2 0 x K xe dx= ∫ ; ta có 1 1 3 3 3 0 0 3 1 x x J e dx e e = = = − ∫ 1 2 0 x K xe dx= ∫ . Đặt 2 2 1 2 x x du dx u x dv e dx v e = = ⇒ = = ; khi đó 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 x x K xe e dx= − ∫ 1 2 2 0 1 1 2 4 x K e e⇔ = − 2 2 2 1 1 1 1 1 2 4 4 4 4 e e e= − + = + . Vậy 3 2 1 3 4 4 I e e= + − & & & & ) %&L6JK( S Ta có 2 2 2 2 9 10HD AD HA a a a= + = + = 2 2 2 2 13 10 3SH SD HD a a a⇒ = − = − = Diện tích của hình thang vuông ABCD là 2 1 1 ( ) (3 )2 4 2 2 ABCD S AD BC AB a a a a= + = + = 3 . 1 4 3 . 3 3 S ABCD ABC D a V SH S⇒ = = . . . . 1 . . 6 S ACD S ABCD S ABC S ABCD V V V V SH AB CD = − = − 3 3 3 4 3 3 3 3 3 a a a= − = Ta có HBC∆ vuông cân tại B, HB a = . 2HC a⇒ = . Do đó 2 2 5SC SH HC a= + = . Kẻ CE AD⊥ tại E , khi đó ta có CED∆ vuông cân tại E, 2 2 2CE ED a CD a = = ⇒ = Xét SCD∆ có 2 2 2 2 2 2 5 8 13SC CD a a a SD SCD+ = + = = ⇒ ∆ vuông tại C Do đó 2 1 . 10 2 SCD S SC CD a ∆ = = . Vậy 3 . 2 3 3 3 3 30 ( ;( )) 10 10 S ACD SCD V a a d A SCD S a ∆ = = = & & & & * %&L6JK( Kẻ MI AC ⊥ tại I và BD MI⊥ tại D. Khi đó ta có tứ giác AIDB là hình vuông có M, E lần lượt là trung điểm của BC, AI. Do đó ta có ⊥ BE AM tại K ⇒ véc tơ pháp tuyến của BE là 6 18 ; 5 5 KM = − ÷ uuuur hay (1; 3)n = − ur ⇒ phương trình : 3 4 0BE x y − + = Ta có : 2 6 0 (2;2)E BE d x y E= ∩ + − = ⇒ ⊥AD BI , ME là đường trung bình của ∆AID nên suy ra ⊥BI ME tại F(2 ; 0) là trung điểm của ME ⇒ phương trình = : 0B I y ; vậy ( 4;0)B BE BI B = ∩ ⇒ − (8; 4)C⇒ − (vì M(2; -2) là trung điểm của BC) Ta có 4BI FI= ⇒ uur uur tọa độ điểm I(4; 0) ⇒ tọa độ điểm A(0; 4 ) (vì I(4; 0) là trung điểm của AC) & & & 0& B A H C D E C A B M I E K K D BA E I C M F + %&L6JK( Véc tơ chỉ phương của d là ( 2;2;1)u = − r (P) d⊥ ⇒ (P) nhận ( 2;2;1)u = − r là véc tơ pháp tuyến ⇒ Phương trình của (P) : 2( 2) 2( 1) ( 2) 0 2 2 4 0x y z x y z− − + + + − = ⇔ − + + + = Gọi (S) là mặt cầu tâm B, có bán kính là R Ta có (S) tiếp xúc với (P) nên ta có (B;(P)) 2R d= = ⇒ phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 ( 2) 4x y z+ + − = & & & & , %&L6JK( Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm tất cả các cách chọn ra 3 học sinh trong các học sinh đạt giải của kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, do đó ta có 3 6 ( ) C 20n Ω = = Kí hiệu A là biến cố ‘‘4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí’’. Vì chỉ có đúng 2 học sinh nữ đạt giải đều thuộc môn Vật lí, do đó phải chọn tiếp ra 2 học sinh nam lại phải có mặt ở hai môn khác nhau thì chỉ có thể là 2 học sinh nam đạt giải môn Toán hoặc 1 học sinh nam đạt giải môn Toán và 1 học sinh nam đạt giải môn Vật lí. Vậy ta có 1 1 2 2 (A) 1 (A) 1 . 5 (A) ( ) 4 n n C C P n = + = ⇒ = = Ω & & %&L6JK( Theo giả thiết ta có + + = + + ⇔ + + = + + + + + 2 2 2 2 5( ) 9( 2 ) 5( ) 9( 2 ) 10( )x y z xy yz zx x y z xy yz zx xy yz zx ⇔ + + = + + ≤ + + + 2 2 5( ) 19 ( ) 28 19 ( ) 7( )x y z x y z yz x y z y z ⇔ + ≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ÷ + + + 19 5 1 7 2 2( ) x x x x y z y z y z y z Mặt khác ta có + ≤ + ⇔ + ≥ + 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2( ) ( ) 2 y z y z y z y z Vì vậy ( ) + ≤ − = − + + + + + + 3 3 2 2( ) 1 4 1 1 27( ) 2( ) ( ) 2 y z P y z y z y z y z y z Đặt − + = + > ⇒ ≤ − = − + ≤ 2 3 3 4 1 (6 1) (2 1) 0 16 16 27 27 t t t y z P t t t Vậy =min 16P ; dấu bằng đạt tại = + = = ⇔ = = + = 1 2( ) 3 1 1 12 6 x y z x y z y z y z & & & & M . giải đều thuộc môn Vật lí, do đó phải chọn tiếp ra 2 học sinh nam lại phải có mặt ở hai môn khác nhau thì chỉ có thể là 2 học sinh nam đạt giải môn Toán hoặc 1 học sinh nam đạt giải môn Toán. có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí. "# %&điểm)! Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn 2 2 2 5( ) 9( 2 )x y. gia, do đó ta có 3 6 ( ) C 20n Ω = = Kí hiệu A là biến cố ‘‘4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí’’. Vì chỉ có