đề tự luyện THPT QG môn toán đề số 15

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 MÔN TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1* : ( 2 điểm) Cho hàm số 3 y x 3x 1= − + + a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số b)Định tham số m để phương trình : ( ) 3 2 1 2 log x 4x m log x 0− + − + = có duy nhất một nghiệm thực Câu 2* : (0,5 điểm ) Giải phương trình : ( ) ( ) sin 2x sin x cos x 1 2sin x cos x 3 0− + − − − = Câu 3* : (1 điểm) Tìm môđun của số phức z thỏa mãn số phức z 6 2i z 2 4i + + − − là số thuần ảo và đồng thời z 6 i 5− − = Câu 4 : (1 điểm) Giải bất phương trình : ( ) 2 2 x 1 x 5 x x 1− + + > + Câu 5* : (1 điểm) Tính tích phân : e 2 2 1 ln x 1 I dx x ln x − = − ∫ Câu 6 : (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và điểm I là trung điểm cạnh AD. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy là điểm K thuộc đoạn OB sao cho BK = 2 OK và N là hình chiếu vuông góc của K lên SO. Biết rằng SK = a 3 và SK hợp với mp(SAC) góc 30 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và CI . Câu 7 : (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D ; AB = AD , AD < CD ; B(1;2) ; phương trình đường thẳng BD : y =2 . Biết rằng đường thẳng d : 7x-y-25 = 0 cắt các cạnh AD,CD lần lượt tại M,N sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác của · MBC . Tìm tọa độ đỉnh D có hoành độ dương. Câu 8* :(1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : x y z 6 0− + − = , mặt phẳng (Q) :2x y 2z 1 0+ − + = và đường thẳng D : x 2 y 3 z 4 1 1 1 − − − = = − . Tìm điểm M thuộc D , N thuộc mặt phẳng (P) sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (Q) và MN = 3 Câu 9* : (0,5 điểm ) Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên 4 chiếc . Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi. Câu 10: (1 điểm) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn ( ) 2 4 4 x +16y + 2xy+1 =2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : ( ) ( ) 2 2 P=x x +3 +2y 4y +3 Hết Đáp án : Câu Điểm 1 Câu 1 : a) Tự giải b) Dùng đồ thị (C) tìm số nghiệm PT: PT 3 3 x 0 x 0 m 1 3 m 2 m 1 1 m 0 x 4x m x x 3x 1 m 1 > > + = =     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     + ≤ ≤ − + − = − + + = +     1 1 2 Câu 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 PT sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cosx 3 sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3 x k2 sin x cos x 1 sin x 2cos x 4(VN) x k2 2 ⇔ + − = + − − − ⇔ + − + + = + − − −        = π  + =   ⇔ ⇔ π   − = = + π   0,25 0,25 3 Câu 3 : z=a+bi : Đk : z 2 4i≠ + Theo đề bài : ( ) ( ) 2 2 2 2 a b 4a 2b 12 0 a 2 a 2 (L)V b 4 b 2 a 6 b 1 25  + + − + = = =    ⇔    = = − − + − =     z 2 2i z 2 2⇒ = − ⇒ = 0,25 0,25 4 Câu 4 : x 1+ ≤ : loại ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 1 1 1 x 1: x 5 x 5 x x 5 x x 1 x 1 x 1 5 1 5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5 x 1 x 5 x 5 x x 2 4 15x 40x 20 0 − + + > + > ⇔ + > + ⇔ + − > − − − ⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > + − + +  >  ⇔ ⇔ >   − + >  Vậy : x > 2 0,5 0,5 5 Câu 5 : e 2 1 2 ln x 1 I ln x x 1 x − =     −    ÷       ∫ . Đặt 2 ln x 1 ln x u du dx x x − = ⇒ = : u(1)=0; u(e)= 1 e 1 1 e e 2 0 0 1 1 u 1 1 e 1 I du ln ln u 1 2 u 1 2 e 1  −  − = = =   − + +   ∫ 0,5 0,5 6 Câu 6 ; (SAC) vuông góc với (SBD) theo giao tuyến SO . ( ) ( ) · · 0 KN SO KN SAC SK, SAC NSK 30⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = =    ( ) ( ) ( ) ( ) 3 SABCD OK a,BD 6a,AB 3a 3 V 6a 3 CI / /AK CI / / AKN d CI,AN d C, AKN 2.d O, AKN = = = = ⇒ ⇒ = =        ( ) ( ) KN (SAC) AKN SAC⊥ ⇒ ⊥ theo giao tuyến AN . Kẻ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 OH AN OH AKN d O, AKN OH 1 1 1 37 3a 6a OH d CI,AN OH OA ON 9a 37 37 ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =    = + = ⇒ = ⇒ = 0,25 0,25 0,25 0,25 7 Câu 7 : Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD ( ) ( ) ( ) 2 BM BC BNC BMN BH d B,d 2 2 BD 4 D BD D m;2 ABM :BD 4 d 1 4 d 1(L) HBC V d 3 ⇒ = ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = = ⇒ = ∈ ⇒ = ⇔ − = ⇔ ∆ = − = = ∆ Vậy : D(3;2) 0,5 0,5 8 Câu 8 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q Q 2 VTPTn (2;1; 2) M D M 2 t;3 t;4 t MN Q MN kn 2k; k; 2k N 2k t 2;k t 3; 2k t 4 N P k t 3 MN 3 k 1 k 1 k 1 t 4: M 6; 1;0 ;N(8;0; 2) k 1 t 2 :M 4;1;2 ;N 2;0;4 = − ∈ ⇒ − + + ⊥ ⇒ = = − − ⇒ − + + + − + + ∈ ⇔ + = − = ⇔ = ⇔ = ± = ⇒ = − − − = − ⇒ = − uur uuuur uur 0,25 0,25 0,5 9 Câu 9 : Số cách lấy 4 chiếc giày tùy ý : C = 4845 Số cách chọn 4 chiếc giày từ 4 đôi ( mỗi chiếc lấy từ một đôi )là : (số cách chọn 4 đôi từ 10 đôi)×( số cách chọn 4 chiếc)= C2 4 Xác suất cần tìm là : 4 4 4 20 10 4 20 C - C .2 672 = 969 C 0,25 0,25 10 Câu 10 : ( ) ( ) ( ) 3 P x 2y 6xy x 2y 3 x 2y= + − + + + Theo đề bài : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 x 2y 1 2xy x 2y 1 2xy x 2y 1 2xy   ⇔ + = − ⇒ + = − ⇔ + = +   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 2y 4 x 2y 1 x 2y 4 3 + ⇒ + ≤ + ⇒ + ≤ 0,25 ( vì từ (1) 4 4 4 4 1 2 x 16y 2 16x y xy 1 2xy 0 2 ⇒ ≥ + ≥ ⇒ ≤ ⇒ − ≥ ) Đặt t = x+2y : 2xy = t 2 -1 : 2 t 3 ≤ : ( ) ( ) 3 2 3 2 P f t t 3 t 1 t 3t 2t 6t : t 3 = = − − + = − + ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 MaxP Maxf (t) f 1 4(t 1khi x, y 0, hay x, y 1,0 ) 2 1 MinP Minf (t) f 1 4(t 1khi x, y 0, hay x, y 1,0 ) 2   = = = = = =  ÷     = = − = − = − = − = −  ÷   0,25 0,25 0,25 . ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2 015 MÔN TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1* : ( 2 điểm) Cho hàm số 3 y x 3x 1= − + + a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số b)Định. cos x 1 2sin x cos x 3 0− + − − − = Câu 3* : (1 điểm) Tìm môđun của số phức z thỏa mãn số phức z 6 2i z 2 4i + + − − là số thuần ảo và đồng thời z 6 i 5− − = Câu 4 : (1 điểm) Giải bất phương. là 2 số thực thỏa mãn ( ) 2 4 4 x +16y + 2xy+1 =2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : ( ) ( ) 2 2 P=x x +3 +2y 4y +3 Hết Đáp án : Câu Điểm 1 Câu 1 : a) Tự giải