a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa đường thẳng AC và đường thẳng SB.. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại ti
Trang 1www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG
TRƯỜNG THPTAN DƯƠNG
-
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN, Khối A, A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
−
= + ( )C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số
b) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y= − +x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho tam giác ABM là tam giác đều, biết rằng M = (2; 5)
Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình:
+ +
=
+
4 2 sin 2 1 3 cos
x x
2 Giải bất phương trình sau: 2 2
x + 91 > x − + 2 x
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
e
1
(x 2) ln x x
dx x(1 ln x)
+
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; tam giác SBD đều
cạnh 2a , tam giác SAC vuông tại S có SC=a 3; góc giữa mp(SBD) và mặt đáy là 0
60 Tính theo
a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa đường thẳng AC và đường thẳng SB
Câu V (1,0 điểm)
Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d−¬ng vµ tháa m·n: x x(3 − 2012) (+y 3y− 2012) (+z z3 − 2012)≤ 2013
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A x 1 12 y 1 12 z 1 12
= − + − + −
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1) Cho điểm M(1;1) và hai đường thẳng d1: 3x - y - 5 = 0, d2: x + y - 4 = 0 Viết phương trình
đường thẳng d đi qua điểm M và cắt d1, d2 tương ứng tại A, B sao cho 2MA - 3MB = 0
2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : 2 2 2
2 4 2 0
x +y + −z x− y− z= cắt các tia Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A, B, C khác O Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z+ 1 − 5i = z+ 3 −i Tìm số phức z
có môđun nhỏ nhất
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip
2 2 ( ) :E x + y = 1 có các tiêu điểm F , F (F có
Trang 2Câu VII.b (1,0 điểm) ) Cho khai triÓn ( ) 2
n
n n
x a a x a x a x
(n∈N ) TÝnh tæng: A=a1+ 2a2+ +n a. n BiÕt: 22 143 1
3
C + C =n
- Hết -
Trang 3www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM
1 (1,0 điểm)
+ Tập xác định D = ℝ \{ }− 1
+ Sự biến thiên ' 3 2 0 1
( 1)
x
= > ∀ ≠ − +
Hàm đồng biến trên các khoảng (−∞ − ; 1) và (− +∞ 1; )
Hàm số không có cực trị
0,25
+ Giới hạn và tiệm cận
lim lim 2
→−∞ = →+∞ = nên đồ thị có T/c ngang y = 2
lim , lim
→− = +∞ →− = −∞ nên đồ thị có T/c đứng x = -1
0.25
2 (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 1
2 1 ( 1)( ) 1
x
x m x x x m
x − = − + ⇔ − = + − +
⇔x2 - (m - 3)x - m – 1 = 0 (1)
0,25
(1) là PT bậc hai có ∆ = (m – 3)2 + 4(m + 1) = m2 - 2m +13 = (m - 1)2 + 12
> 0 ∀m
Nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2, hay đường thẳng luôn cắt
(C) tại hai điểm pb A,B Theo hệ thức Viet: x1 + x2 = m – 3, x1 x2 = - m – 1
0,25
Khi đó A(x1; -x1 +m), B(x2; -x2 + m) suy ra
AB= x −x = x +x − x x
(x − 2) + − + − ( x m 5) = (x − 2) + (x − 2) ,
(x − 2) + − + − ( x m 5) = (x − 2) + (x − 2) = AM
0,25
Để tam giác MAB đều ta phải có: AB = AM = BM, hay
2(x −x ) = (x − 2) + (x − 2) 2 1
4 5 0
5
m
m m
m
=
= −
Kết luận
0.25
2.1 (1,0 điểm)
π
II
(2,0
đ iểm)
Trang 4
=
+
−
=
+
=
⇔
=
−
= +
=
⇔
2
1 4 cos
1 tan 2
1 sin cos
0 sin cos
0 cos
π
π π
x x
k x
x x
x x
x
Z k k
x
k x
k x
∈
=
+
−
=
+
=
2 4 2
π
π π
π π
0,5
2.2 (1,0 điểm)
Điều kiện x ≥ 2
Phương trình đã cho tương đương với:
x + 91 10 − − x − − − 2 1 x − > 9 0 0,25 2
2
(x 3)(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
− + + +
(x 3)
x 2 1
x 91 10
− +
0,25
Ta có
2
x 2 1
x 91 10
− +
Do đó (*) ⇔ x < 3
0,25
Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là : 2 ≤ < x 3 0,25
(1,0 điểm)
+
− +
dx dx x
x
x x
x
ln 2 ) ln 1 (
x x
x
e
1 ( 1 ln )
ln
0,25
Ta có :∫e dx=e−
1
1
0,25
x x
x
e
1 ( 1 ln ) ln
Đặt t = 1 + lnx, Ta có: J = dt
t
t
∫2 −
1
1
t)
1 1 ( 2
1
∫ − = (t - lnt ) = 1 - ln2
0,25
III
(1,0
đ iểm)
IV (1,0 điểm)
Trang 5www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
(1,0
đ iểm)
* Tính thể tích…
- Trong mp(SAC) dựng SH ⊥AC tại H
- Do △SBD đều nên SO⊥BD , lại do ABCD là hình thoi nên AC⊥BD
BD SAC BD SH SH ABCD
- Vì △SBDđều có cạnh 2a⇒SO=a 3 và SO⊥BD
60
CO⊥BD⇒SOC= là góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD)
.sin 60 3.
2 2
a
SH SO a
3, 60
SC=SO=a SOC= ⇒△SOC là tam giác đều
2
.
ABCD
CO a AC a S AC BD a a a
a
* Tính khoảng cách giữa SB và AC
- Gọi I là trung điểm SD ⇒OI//SB⇒ mp(IAC) //SB
( ; ) ( ; ( )) ( ; ( ))
d AC SB d B IAC d D IAC h
- Ta thấy: I là trung điểm SD nên ( ; ( )) 1 ( ; ( ))
2
d I ABCD = d S ABCD ; Lại thấy:
3
ADC ABCD I ADC S ABCD
a
S△ = S ⇒V = V = ;
CD =CO +OD = a +a = a
SC +CD SD a + a a a
0,5
I
S
H
O
D
A
Trang 6
2
13 sin 1 cos
4
3
I ACD D IAC IAC
V =V = h S△ 3 3 3 3 2 39 3
:
D IAC IAC
h S
△
S ABCD
V =a và ( ; ) 3
13
a
d AC SB =
0,5
(1,0 điểm)
Từ giả thiết: x(3x− 2012) (+y 3y− 2012) (+z 3z− 2012)≤ 2013
x y z x y z
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpki, ta có
3 x +y +z = 1 + + 1 1 x +y +z ≥ + +x y z
2
2
2013 2012
x y z
Ta có
= − + − + −
= + + − + + ≤ + + −
+ +
x+ + ≥y z x y z
V
(1,0
đ iểm)
Đặt t= x+y+z, A t 9 f t( ) ( 0 t 2013)
t
9 ( ) 1 0 0; 2013
t
= + > ∀ ∈
f(t) max=f(2013)=2013- 9 4052160
2013 = 2013 dấu "=" xảy ra khi : x= y =z =2013
3 Vậy max 4052160
2013
A= , khi : x= y =z =2013
3
0,25
1 (1,0 điểm)
Ta cú A ∈ d1 nờn A(x1;3x1-5), B ∈ d2 nờn B(x2;4-x2) 0,25
Vỡ A, B, M thẳng hàng và 2MA = 3MB nờn
−
=
=
) 2 ( 3 2
) 1 ( 3 2
MB MA
MB MA
0,25
VIa
(2,0
đ iểm)
5 )
1 ( 3 ) 1 (
B A
x x
x
⇒
=
⇔
−
=
−
−
=
−
Trang 7www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
( )1 ; 2 , ( 1 ; 3 ) 1
1 )
3 ( 3 ) 6 3 ( 2
) 1 ( 3 ) 1 ( 2 )
2
(
2 1
2 1
2 1
B A
x
x x
x
x x
−
⇒
=
=
⇔
−
−
=
−
−
−
=
−
Vậy có d: x - y = 0 hoặc d: x - 1 = 0
0,25
2 (1,0 điểm)
(S) : ( ) (2 ) (2 )2
x− + y− + −z = có tâm w(1;2;1) bán kính R = 6 (S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;2) Gọi I tâm
đường tròn (A,B,C) thì I giao điểm của d đi qua w và vuông góc
mp(ABC),và mp(ABC); Ptmp(ABC)
Giải hệ 2x+ +y 2z− = 4 0 và
1 2 2
1 2
= +
= +
ta được 2
9
t=− suy ra
5 16 5 ( ; ; )
9 9 9
I và r = IA =
− + + =
0,25 0,25
0,25
0,25
VIIa
(1,0
đ iểm)
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R) Ta có
x+ 1 + (y− 5 )i = x+ 3 − (y+ 1 )i (1)
) 1 ( ) 3 ( ) 5 ( ) 1
⇔ x+ 3y= 4 Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa
mãn (1) là đường thẳng x + 3y = 4 Mặt khác
16 24 10
) 3 4
2
z
Hay
5
2 2 5
8 5
6 5 2
2
≥ +
−
z
Do đó
5
2 5
6 min ⇔ y= ⇒ x=
5
6 5
2 +
=
0,25
0,25
0,25
0,25
1 (1,0 điểm)
1 4 8 : ) (
2 2
= + y
x
E có c= 8 − 4 = 2 ⇒F1( − 2 ; 0 ), F2( 2 ; 0 ).
3
2
; 3
8 ), 2
; 0 ( 1 4 8
2 2
−
⇒
= +
−
=
B A
y x
x y
0.25
.
16 2 2 2
8
1 )
; ( 1
=
=
= AB d F AB
VIb
(2,0
đ iểm)
Trang 85
) 2 ( 2 1
5
2 2
ư + +
+
0.25
ư
ư
=
ư
=
⇔
ư
= +
= +
⇔
5 5 3
5 5 3 5
3 5
5 3 5
D
D D
D
Vậy cú hai mp thỏa món đề bài là:
=
ư
ư
ư +
=
ư +
ư +
0 5 5 3 2 2 :
) (
0 5 5 3 2 2 :
) (
z y x P
z y x P
0.25
(1,0 điểm)
Giải phương trình 22 143 1
3
Với n=9 ta có ( )9
1 + 2x = +a a x+a x + +a x Lấy đạo hàm hai vế ta được : ( )8
8
9 2 1 + 2x = +a 2a x+ 9 + a x
0,25
1 2 2 9 9 9 2 1 2
Giải phương trình 22 143 1
3
- - - Hết - - -