ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 30) Câu 1. (2,5 điểm). 1. Cho hàm số (C) : 2 2 5 1 x x y x − + − = − a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất 2. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C’) : 196 23 −+−= xxxy Câu 2. (1,5 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 3510325.3 22 −=−+ −− xx xx 2. Giải hệ phương trình: =+ =+ 2coscos 2sinsin yx yx Câu 3. (1,5 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 02coscoslogsincoslog 1 =++− xxxx x x . 2. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 01311 23 >+++++ xxxx 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó. Câu 4. (2 điểm) 1. Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0 Tìm toạ độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC là tam giác đều. 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó. Câu 5. (2,5 điểm). 1. Tính : / 4 1 2 3 0 0 sin ; 2 2 cos x x I dx J x x x dx x π = = − + ∫ ∫ 2. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 . 2 a b c a bc b ac c ab abc + + + + ≤ + + + 3. Cho z = 1 3 i 2 2 − + , Hãy tính : 1 2 3 2 ;z;z ;(z) ;1 z z z + + (Hết) HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 30) Câu Ý Nội dung Điểm I 2.5 b Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất 0,75 4 4 1 . 1 y x Y X x X = − + − ⇔ = + − Với = +−= yY xX 1 0.25 TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) = 4 7 | | 4 4 | | | | 2 2 | | 2 2 X Y X X X − + = + ≥ = Dấu "=" xảy ra ⇔ 4 | | | | 2 X X = ⇔ 4 42 3 3 4 2 1 2 2 X X x= ⇔ = ± ⇔ = ± 0.5 • Gọi M(2; m) ∈ d 1 : x = 2. Khi đó đt d ∋ M ⇒ d: y = k(x -2) + m. Để đt d tiếp xúc với (C’) ⇔ hệ: ( ) =+− +−=−+− kxx mxkxxx 9123 2196 2 23 có nghiệm 0,25 ⇔ 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm. • Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1) • Xét hàm số y = 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m ⇒ y’ = 6(x-2) 2 ≥ 0 ∀x ⇒ Hàm luôn đồng biến ⇒ Pt (1) luôn có nghiệm duy nhất ⇒ từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị (C’). 0,5 II 1,5 1 Giải phương trình: 0,75 ( ) ( ) ( ) ( ) 015.3315.315.35 3510325.3 2222 22 =−−−+−⇔ −=−+ −−−− −− xxxx xx x xx 0.25 ( )( ) ( ) ( ) =−+ =− ⇔ =−+−⇔ − − −− 2035 1015.3 03515.3 2 2 22 x x x x xx ( ) 3log2 3 1 log2 3 1 51 55 2 −=+=⇔=⇔ − x x 0.25 ( ) 352 2 +−=⇔ − x x Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất. Vậy Pt có nghiệm là: x = 3log2 5 − và x = 2 0.25 2 Giải hệ phương trình: 0,75 ( ) ( ) ⇔=+++⇒ =+ =+ 22cossincossin 2coscos 2sinsin yyxx yx yx 0.25 += += ⇔ = − = − ⇔= −+ − π π π π π π ππ 2 4 2 4 1 4 cos 1 4 cos 2 4 cos 4 cos ly kx y x yx 0.25 Thử lại thấy đúng nên: += += π π π π 2 4 2 4 ly kx là nghiệm của hệ phương trình. 0.25 III 1,5 1 Giải phương trình: . 0,5 ( ) ( ) 02coscoslogsincoslog 1 =++− xxxx x x Điều kiện: >+ >− ≠< 02coscos 0sincos 10 xx xx x . Khi đó Pt +=⇔−=⇔ 2 cos2cossin2cos π xxxx 0.25 +−= += ⇔ +−−= ++= ⇔ 3 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 ππ π π π π π π k x kx kxx kxx . Kết hợp với điều kiện ta được: 3 2 6 ππ k x +−= (Với k ∊ N*). 0.25 2 Giải bất phương trình: 0,5 ( ) ( ) ( ) 02301311 232323 >++++⇔>+++++ xxxxxxxx 023 2 >++⇔ tt Đặt 3 2 1 −≥+= xxt 0.25 2 3 2 2 1 1 1 3 3 2 t t x x x t t ≥ − ⇔ ⇔ ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ ≥ − > − < − 0.25 3 0,5 . Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả 5 10 C tập con gồm 5 chữ số khác nhau. 0,25 Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất cả 5 10 C = 252 số. 0,25 IV 2.0 1 Xác định tọa độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC đều 1.0 Để ∆ABC là tam giác đều ⇒ đường cao MC = AB 62/3 = Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M(1; 0; - 2). Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB ⇒ (Q): x + z + 1 = 0 0,25 Gọi d = (P) n (Q) ⇒ += = −−= ⇔ =++ =−+− tz ty tx zx zyx d 21 22 01 01783 : ⇒ C ∈ d ⇒ C(-2 - 2t; t; 1 + 2t) 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 ; ;3 2 6 3 2 3 2 6 9 24 12 0 3 8 4 0 2; 2/ 3 2 2 1 2; 2; 3 , ; ; 3 3 3 MC t t t MC t t t t t t t t t C C ⇒ = − − + ⇒ = ⇔ + + + + = ⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ = − = − ⇒ − − − − − ÷ uuur 0,25 0.25 2 Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện. 1.0 Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có: GE = GF = c/2. ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB ⇒ 4 22 4 22 222222 22 acbCDADAC FBFA −+ = −+ == 0.25 FE là trung tuyến của ∆FAB nên: = −+ = 4 22 222 2 ABFBFA FE 2 222 acb −+ 0.25 Gọi là góc tạo bởi AD và BC ta có : ( ) 2 | 22 | .2 || |,cos|cos 2 2222 222 c acbc GFGE FEGFGE GFGE −+ − = −+ == α 2 22 || c ba − = . Vậy 2 22 || cos c ba − = α 0.25 Tương tự nếu gọi lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và DB, AC ta có: 2 22 || cos a cb − = β , 2 22 || cos b ac − = γ 0.25 P Q A B M C 1 C 2 3 0,5 . Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả 5 9 C tập con gồm 5 chữ số khác nhau. 0,25 Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất cả 5 9 C = 126 số. 0,25 V 2,5 1 0,5 Đặt: 3 2 cos 1 cos 2.cos u x du dx d x dv v x x = = ⇒ = − = 0,25 / 4 / 4 4 0 0 2 2 0 1 1 1 2cos 2 cos 4 2 4 2 x dx I tgx x x π π π π π ⇒ = − = − = − ∫ 0,25 2 1,0 1 2 0 2 2J x x x dx= − + ∫ . Đặt: x - 1 = tgt 2 2 1 ; 2 2 cos cos dt dx x x t t = − + = 0 0 0 3 4 3 4 4 4 1 sin cos cos cos tgt t dt J dt dt t t t π π π − − − + ⇒ = = + ∫ ∫ ∫ 0,25 F E G B D A C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 3 4 2 0 0 sin 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 3cos 3 1 1 1 4 1 1 1 1 t u J J t u u du J du u u u u π − = − − = + = − + − + + = = = − + − + ∫ ∫ 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 2 1 1 1 2 2 2 1 . 2 4 1 1 1 1 du du du u u u u − − − ÷ + + ÷ − + − + ÷ ∫ ∫ ∫ 0,25 ( ) ( ) 0 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2ln 2ln 4 1 1 1 4 1 1 1 2 1 1 2 2ln 2 4ln 2 1 . 4 4 2 1 u u u u u u u u − − + + = − + = + ÷ ÷ − + − − − − = − = + − ÷ + 0,25 3 1,0 . 2 111 222 abc cba abcacbbca ++ ≤ + + + + + Ta có: abc abc abcabc cab cab cabcab bca bca bcabca 2 11 2 2 11 2 2 11 2 2 2 2 2 2 2 ≤ + ⇒≥+ ≤ + ⇒≥+ ≤ + ⇒≥+ 0.5 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 . 2 2 2 a bc b ca c ab a bc b ca b ca b c c a a b bc ca ab a b c abc abc abc ⇒ + + ≤ + + + + + + + + + + + + + + = ≤ = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 0.5 . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2 013 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 30) Câu 1. (2,5 điểm). 1. Cho hàm số (C) : 2 2 5 1 x x y x −. cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó. Câu 4. (2 điểm) 1. Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3 ); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0 Tìm toạ. 3. Cho z = 1 3 i 2 2 − + , Hãy tính : 1 2 3 2 ;z;z ;(z) ;1 z z z + + (Hết) HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 30) Câu Ý Nội dung Điểm I 2.5 b Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất 0,75 4