Tuyển tập câu chốt điểm 10 có đáp án từ 2003 đến 2015

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế CÁC BÀI TOÁN MAX- MIN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA TỪ 2003-2015 Đề 01: (Khối A-2003) Cho ,, x y z là ba số dương và 1x y x   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z       Bài giải: Với mọi , uv  ta có: u v u v       (*) (Vì   2 2 2 2 22 22u v u v uv u v uv u v                   ) Đặt 1 1 1 ; , ; , ; . a x b y c z x y z                             Áp dụng BĐT (*) ta có: a b c a b c a b c               . Vậy   2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 .P x y z x y z x y z x y z                      Cách 1: Ta có:       2 2 22 2 33 3 1 1 1 1 9 3 3 9 , P x y z xyz t t xyz x y z xyz t                               Suy ra: 2 1 0 39 x y z t             . Đặt       / 2 9 9 1 9 9 0, 0; 9 Q t t Q t t Q t tt                  giảm trên 1 0; 9         .   1 82 9 Q t Q            . Vậy   82.P Q t Dấu "=" xảy ra khi 1 3 x y z   . Cách 2: Ta có:       22 2 2 2 1 1 1 1 1 1 81 80x y z x y z x y z x y z x y z                              Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế     2 1 1 1 18 80 162 80 82x y z x y z x y z                     Vậy 82.P  Dấu "=" xảy ra khi 1 3 x y z   . Đề 02: (Khối A-2005) Cho ,, x y z là ba số dương và 1 1 1 4 x y z    . Chứng minh rằng: 111 1 2 2 2x y z x y z x y z          Bài giải: Với mọi ,0 ab ta có:   2 1 1 1 1 1 4. 44 ab ab a b a b ab a b a b                  Dấu "=" xãy ra khi .ab Áp dụng kết quả trên ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 8 2 2x y z x y z x y z x y z                                                 (1) Tương tự: 1 1 1 1 1 2 8 2 2x y z x y z              (2) 1 1 1 1 1 2 8 2 2x y z x y z              (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4x y z x y z x y z x y z                      Dấu "=" xãy ra khi 3 . 4 x y z   Đề 03: (Khối B-2005) Chứng minh rằng với mọi x   , ta có: 12 15 20 3 4 5 . 5 4 3 x x x x x x                                    Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài giải: Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 3 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương, ta có: 12 15 12 15 2 . 2.3 5 4 5 4 x x x x x                                            (1) Tương tự: 12 20 2.4 53 xx x                (2) 20 15 2.5 34 xx x                (3) Cộng các BĐT (1), (2), (3) vế theo vế ta có: 12 15 20 3 4 5 . 5 4 3 x x x x x x                                    (đ.p.c.m) Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3) là các đẳng thức 0.x Đề 04: (Khối D-2005) Cho ,, x y z là ba số dương và 1xyz  . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 33 11 1 33 x y y z zx xy yz zx         . Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài giải: Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: 33 3 3 3 3 3 1 3 1 3 1. . 3 xy x y x y xy xy xy        (1) Tương tự: 33 1 3 yz yz yz   (2) 33 13zx zx zx   (3) Mặt khác: 3 3 3 3 3 3 3 3 . . 3 3 xy yz xz xy yz xz     (4) Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức 1.x y z    Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 4 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Đề 05: (Khối A-2006) Cho hai số thực 0, 0 xy thay đổi và thỏa mãn điều kiện:   22 x y xy x y xy    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 33 11 A xy  . Bài giải: Từ giả thiết suy ra: 22 1 1 1 1 1 x y x y xy     . Đặt 11 , ab xy  , ta có: 22 a b a b ab    (1) Lúc đó:       2 3 3 2 2 A a b a b a b ab a b        . Từ (1) suy ra:   2 3a b a b ab    . Vì 2 2 ab ab           nên     22 3 4 a b a b a b           22 4 0 0 4 16a b a b a b A a b             . Với 1 2 xy thì 16A . Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. Đề 06: (Khối B-2006) Cho , xy là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:     22 22 1 1 2A x y x y y        . Bài giải: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét     1; , 1;M x y N x y   . Do     22 2 2 2 2 1 1 4 4 2 1OM ON MN x y x y y y            . Do đó:   2 2 1 2A y y f y     . + Với     2/ 2 2 2 2 1 2 1 1 y y f y y y f y y           . Ta có:   /2 22 0 1 0 1 2 14 3 y f y y y y yy             . Lập BBT suy ra     ;2 min 2 3fy   . + Với   2 2 2 1 2 5 2 3y f y y       . Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 5 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Vậy 23A  với mọi , xy . Khi 1 0, 3 xy thì 23A  nên GTNN của A là 2 3. Đề 07: (Khối A-2007) Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện 1xyz  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:       2 2 2 2 2 2 x y z y z x z x y P y y z z z z x x x x y y          . Bài giải: Ta có:   2 2x y z x x . Tương tự:   2 2y z x y y ;   2 2z x y z z . Suy ra: 2 22 2 2 2 yy x x z z P y y z z z z x x x x y y       . Đặt 2 ; 2 ; 2a x x y y b y y z z c y y z z      . Suy ra: 4 2 4 2 4 2 ; ; . 9 9 9 c a b a b c b c a x x y y z z          Do đó: 2 4 2 4 2 4 2 9 c a b a b c b c a P b c a               22 4 6 4.3 3 6 2. 99 c a b a b c a c a b c a                           Dấu "=" xảy ra 1x y z    . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2. Đề 08: (Khối B-2007) Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz xy xy                         . Bài giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z P xyz      . Do 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 x y y z x z x y z xy yz zx            Suy ra: 2 2 2 1 1 1 . 2 2 2 x y z P x y z                         Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 6 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Xét hàm số   2 1 2 t ft t  , với 0t  . Lập BBT của hàm   ft ta suy ra   3 , 0 2 f t t   . Từ đây suy ra: 9 2 P  . Dấu "=" xảy ra 1x y z    . Vậy GTNN của P bằng 9 . 2 Đề 09: (Khối D-2007) Cho 0ab . Chứng minh rằng: 11 22 22 ba ab ab                . Bài giải: BĐT cần chứng minh         ln 1 4 ln 1 4 1 4 1 4 ab ba ab ab        . Xét hàm số     ln 1 4 , 0 x f x x x   . Ta có:         / 2 4 ln4 1 4 ln 1 4 0 14 x x x x x fx x        fx nghịch biến trên   0; . Do   fx nghịch biến trên   0; và 0ab nên     f a f b nên ta có đ.p.c.m. Đề 10: (Khối B-2008) Cho , xy là các số thực thay đổi và thoả mãn 22 1xy . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   2 2 26 1 2 2 x xy P xy y    . Bài giải: Ta có:     22 2 2 2 2 2 6 2 6 1 2 2 2 2 x xy x xy P xy y x y xy y        . + Nếu 0y  thì 2 1x  , suy ra 2.P  + Nếu 0y  . Đặt x ty , khi đó:     2 2 2 2 12 2 2 6 3 0 23 tt P P t P t P tt          (1) * Với 2P  , phương trình (1) có nghiệm 3 . 4 t  * Với 0P  , phương trình (1) có nghiệm /2 0 2 6 36 0 6 3.P P P            3P  khi 31 , 10 10 xy hoặc 31 , 10 10 xy    . Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 7 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6P  khi 32 , 13 13 xy   hoặc 32 , 13 13 xy   . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng 6. Đề 11: (Khối D-2008) Cho , xy là các số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:        22 1 11 x y xy P xy    . Bài giải: Ta có:               2 2 2 11 1 1 1 . 4 4 4 11 1 x y xy x y xy PP xy x y xy                  + Khi 0, 1xy thì 1 . 4 P  + Khi 1, 0xy thì 1 . 4 P  Vậy gia strị lớn nhất của P bằng 1 4 , giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 . 4  Đề 12: (Khối A-2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương , , x y z thoả mãn   3x x y z yz   , ta có           3 3 3 35x y x z x y x z y z y z         . Bài giải: Đặt , , a x y b x z c y z      . Điều kiện:   3x x y z yz   trở thành 2 2 2 c a b ab   (*) BĐT cần chứng minh 3 3 3 35a b abc c    với , , 0abc thoả mãn (*). Ta có:         2 2 2 2 2 2 2 31 32 44 c a b ab a b ab a b a b a b a b c               (1) Lúc đó:       3 3 3 2 2 3 2 3 3 5 3 5 3 5a b abc c a b a b ab abc c a b c abc c               2 35a b c ab c    Từ (1) cho ta:   2 2a b c c và   2 2 3 33 4 ab a b c   , từ đây ta suy ra đ.p.c.m. Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 8 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Dấu "=" xảy ra khi .a b c x y z     Đề 13: (Khối B-2009) Cho các số thực , xy thay đổi và thoả mãn   3 42x y xy   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức     4 4 2 2 2 2 3 2 1A x y x y x y      . Bài giải: Ta có         3 2 3 2 4 2, 4 2 1x y xy x y xy x y x y x y             . Lúc đó:           2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 33 3 2 1 2 1 22 A x y x y x y x y x y x y                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 2 1 2 1 2 4 4 x y x y x y A x y x y             Đặt   2 2 2 2 2 11 2 2 2 xy t x y x y t          . Do đó 2 9 21 4 A t t   . Xét     2/ 9 9 1 2 1 2 0, 4 2 2 f t t t f t t t         . Suy ra:   1 ; 2 19 min . 2 16 f t f          Vậy 9 ; 16 A  đẳng thức xảy ra khi 1 2 xy . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 9 . 16 Đề 14: (Khối D-2009) Cho các số thực không âm , xy thay đổi và thoả mãn 1xy . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức    22 4 3 4 3 25S x y y x xy    . Bài giải: Ta có   2 2 3 3 1 16 12 9 25x y S x y x y xy xy            3 2 2 2 2 16 12 3 34 16 2 12x y x y xy x y xy x y xy            . Đặt   2 11 0 0; . 4 4 4 xy t xy xy t            Xét hàm   2 1 16 2 12, 0; . 4 f t t t t        Ta có:     / 1 1 25 1 191 32 2 0 ; 0 12; ; . 16 4 2 16 16 f t t t f f f                     Suy ra:     11 0; 0; 44 1 25 1 191 max ; min 4 2 16 16 f t f f t f                             . Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 9 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 25 2 ; khi 1 1 ; 1 2 4 xy xy xy           và giá trị lớn nhất của S bằng 191 16 ; khi     2 3 2 3 ;; 1 44 . 1 2 3 2 3 16 ;; 44 xy xy xy xy                             Đề 15: (Khối B-2010) Cho các số thực không âm , , abc thoả mãn: 1a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức     2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2M a b b c c a ab bc ca a b c         Bài giải: Ta có       2 3 2 1M ab bc ca ab bc ca ab bc ca          . Đặt   2 1 0 33 a b c t ab bc ca t         . Xét hàm   2 1 3 2 1 2 , 0; 3 f t t t t t         . Ta có:       / / / 3 22 2 3 ; 2 0 12 12 f t t f t t t         dấu "=" xảy ra tại 0t  ; suy ra   / ft nghịch biến. Xét trên đoạn 1 0; 3    ta có:   // 1 11 2 3 0 33 f t f        , suy ra   ft đồng biến. Do đó:     1 0 2, 0; 3 f t f t        . Vì thế   1 2, 0; 3 M f t t        ; 2M  khi , 0ab bc ca ab bc ca     và 1a b c     ;;a b c là một trong các bộ số       1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 . Do đó giá trị nhỏ nhất của M là 2. Đề 16: (Khối D-2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 22 4 21 3 10y x x x x        Bài giải: Điều kiện: 2 5.x   Ta có     22 4 21 3 10 11 0 0x x x x x y            .            2 3 7 2 5 2 3 7 2 5y x x x x x x x x           Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 10 CLB Giáo viên trẻ TP Huế         2 3 5 2 7 2 2x x x x        Suy ra 2;y  dấu "=" xảy ra 1 . 3 x Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 2 . Đề 17: (Khối A-2011) Cho , , x y z là ba số thực thuộc đoạn   1;4 và , x y x z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 23 x y z P x y y z z x       Bài giải: Trước hết ta chứng minh 1 1 2 (*) 11 1 ab ab    với a và b dương; 1.ab  Thật vậy, (*)          2 1 2 1 1 2 2a b ab a b a b ab ab a b ab                2 10ab a b    . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab hoặc 1.ab  Áp dụng (*) với   , 1;4xy , ta có: 1 1 1 2 3 23 1 1 2 1 x P z x y xy x y z x y           . Dấu "=" xảy ra zx yz  hoặc 1 x y  (1). Đặt   1;2 x tt y    . Do đó: 2 2 2 2 3 1 t P tt   . Xét hàm     2 2 2 , 1;2 2 3 1 t f t t tt     . Ta có:               3 / 2 2 2 2 4 3 3 2 1 9 34 02 33 2 3 1 t t t t f t f t f tt              ; dấu "=" xảy ra 2 2 4; 1. x t x y y        (2) 34 33 P . Từ (1) và (2) dấu "=" xảy ra 4; 1; 2.x y z    Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 34 33 ; khi 4; 1; 2.x y z   [...]... f  t   t 2  5t  144 t 2  144 , t  11;12 Ta có: f /  t   2t 2t 2 Do đó f /  t   0, t  11;12 , nên f  t  nghịch biến trên 11;12 160 160 Do đó P  Ta có a  1; b  2; c  3 thỏa mãn điều kiện bài 11 11 160 160 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng toán và khi đó P  11 11 Suy ra f  t   f 11  1  Đề 30: (THPT Quốc gia 2015 - Đề dự bị) Cho các số thực a, b thỏa mãn a, b ... 1   x  y 3 2  2 x  y  6 Đặt t  x  y Suy ra t  0 và P   t  1  t 2  2t  6 3  x  y Ta có: 3  x  y  xy  x  y  4 2 t2  t    t  2  t  6   0 Do đó t  2 4 Xét hàm f  t    t  1  t 2  2t  6, t  2 Ta có: f /  t   3  t  1  3 Với mọi t  2 , ta có: 3  t  1  3 và 2 f / t   3  t 1 2 t 1 t 2  2t  6  1 7  t  1 2 7 t 2  2t  6  1 7 3... Ta có: f /  t   6  t  1  4 2 7  3t t 2 t 3  3  1 2  t  1 2  1 Với t   0;  ta có: t 2  t  3  t  t  1  3  3; 7  3t  6 và t  1  1  4 7  3t Do đó: 2 t 2 t 3  3  1 1 1 1 7  3t 1   0   Suy ra f /  t   và   2 2 3 2 6 3 3 2  t  1 5 7 1  Do đó: P  f  t   f     4  3 30 Khi x  5 7 5 7 1  Vậy giá trị lớn nhất của P là  và y  2 , ta có: ... giải: Ta có Đề 29: (THPT Quốc gia 2015 - Đề chính thức) Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn 1;3 và thỏa mãn điều kiện a  b  c  6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 17 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN P Luyện thi THPT Quốc gia 2016 a b  b c  c a  12abc  72 1  abc ab  bc  ca 2 2 2 2 2 2 2 Bài giải: Đặt t  ab  bc  ca Ta có: 1 2...  2  Bài giải: Ta có  x  4    y  4   2 xy  32   x  y   8  x  y   0  0  x  y  8 2 2 2 3 2  x  y   3 x  y   6 2 Lúc đó: A   x  y   3  x  y   6 xy  6   x  y   3 3 3 Xét hàm số f  t   t 3  t 2  3t  6, t  0;8 2 Ta có: f /  t   3t 2  3t  3, f /  t   0  t  1 5 1 5 hoặc t  (loại) 2 2  1  5  17  5 5 17  5 5 Ta có: f  0   6, f ...  a  2c  b  2c  Bài giải: Ta có  a  b   a  2c  b  2c    a  b  a  b  4c a2  b2  2ab  4ac  4bc   2 a2  b2  c 2 2 2 Đặt t  a2  b2  c2  4 , suy ra t  2 và P  Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115   4 9  2 t 2 t 4  14  CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN 4 9 Xét hàm f  t    , t  2 2 t 2 t 4   4 9t Ta có: f  t    2  t t2  4 / Luyện... Luyện thi THPT Quốc gia 2016   2     t  4  4t 3  7t 2  4t  16  t2 t2  4   2   Với t  2 , thì 4t 3  7t 2  4t  16  4 t 3  4  t  7t  4   0 Do đó f /  t   0  t  4 Ta có BBT: 5 5 5 Từ BBT ta được P  Khi a  b  c  2 thì P  Vậy giá trị lớn nhất của P là 8 8 8 Đề 24: (Khối D-2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy  y  1 Tìm giá trị lớn nhất xy x  2y  của... nhỏ nhất của biểu thức P  4  3  3   9  2  2  b a  b a  Bài giải:   Với a, b là các số thực dương, ta có: 2 a2  b2  ab   a  b  ab  2  a b 1 1  2 a2  b2  ab  a2 b  ab2  2  a  b   2     1   a  b   2    b a a b   1 1 1 1 a b  Ta có:  a  b   2     2 2  a  b      2 2    2  , suy ra: a b a b b a  a b 5 a b a b  2 ...      x 2  y2  z 2  x 2  y2  y2  z 2  z 2  x 2  6  t  0; 6      t  2  t 2  4t  9 1 t2 1 t /    , với t  0; 6  Ta có: f  t   Xét hàm f  t   2 2   t  1 36 18  t  1  t  1 18  nên f /  t   0  t  2 5 Ta có: f  0   0; f  2   ; f 9 31  6   30  6 5 nên f  t   khi t  0; 6    5 9 5 5 5 Do đó P  Khi x  y  1 và z  0 thì P  Do đó... 1 Đặt t  x  y  t  2;4 Xét hàm f  t   Ta có: f /  t   Mà f  2   1  t  1 2  1 4  t  1 t 1  , t  2;4  t  1 4  t  1 Suy ra f /  t   0  t  3 2 11 53 7 7 7 ; f  4   ; f  3  Suy ra f  t   f  3  Do đó P  12 60 8 8 8 7 7 Khi x  1, y  2 thì P  Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 8 Đề 28: (THPT Quốc gia 2015 - Đề minh họa) Xét số thực x Tìm giá trị nhất . trình (1) có nghiệm /2 0 2 6 36 0 6 3.P P P            3P  khi 31 , 10 10 xy hoặc 31 , 10 10 xy    . Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Giáo. viên trẻ TP Huế CÁC BÀI TOÁN MAX- MIN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA TỪ 2003- 2015 Đề 01: (Khối A -2003) Cho ,, x y z là ba số dương và 1x y x   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1. của M là 2. Đề 16: (Khối D-2 010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 22 4 21 3 10y x x x x        Bài giải: Điều kiện: 2 5.x   Ta có     22 4 21 3 10 11 0 0x x x x x y   