Trường THPT Thị xã Quảng Trị Tỉnh Quảng Trị Đề thi thử Đại học Khối A lần thứ nhất năm 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút Ngày thi: 27/02/2011 Câu 1: Cho hàm số: 3 2 3y x x m= + + (1) a. Khảo sát và vẻ đồ thị khi m = -4 b. Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho góc 0 120AOB∠ = . Câu 2: a. Tính: 2 2 2 1 1 dx I x x = + ∫ b. 2 2 3 sin sinx. os3 os 3 4 x c x c x+ + = c. Giải phương trình: 3 (3 5) 16.(3 5) 2 x x x+ + + − = Câu 3: a. Giải hệ phương trình: 2 0 1 4 1 2 x y xy x y − − = − + − = b. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 8 xyz = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 8 3 4 8 3 4 8 3 S x y y z z x = + + + + + + + + Câu 4: a. Trong mp(Oxy) cho tam giác ABC cân tại A. Biết phương trình các đường thẳng AB, BC lần lượt có phương trình là: x + 2y – 1 = 0; 3x – y + 5 = 0 và M(1; -3) thuộc đường thẳng AC. Viết phương trình đường thẳng AC. b. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC biết: A(3;0;0); B(0;4;0); C(0;0;5). Xác định tọa độ trực tâm tam giác ABC? Câu 5: Cho hình chóp SABC biết đáy là tam giác ABC vuông tại C có cạnh huyền AB = 2a, các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy một góc 30 độ. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC? HẾT ĐÁP ÁN CÂU BÀI GIẢI ĐIỂM 1a. 1đ m=4 hàm số: y = x 3 + 3x – 4 Thí sinh tự giải 1đ 1b. 1đ TXĐ: D = R; y’= 0 0 2 x x = ⇔ = , A(-2; 4+m); B(0; m) · . 1 cos os( ; ) . 2 OA OB AOB c OA OB OA OB = = = − uuur uuur uuur uuur 2 2 2 (4 ). 1 (4 ). 1 2 2 . 4 (4 ) . 4 (4 ) m m m m m m m m + + ⇔ = − ⇔ = − + + + + NX: (4 ) 0m m+ ≥ không thỏa mãn yêu cầu. Xét: -4<m<0 Ta có: 2 2 2 4 1 2(4 ) 4 (4 ) 2 4 (4 ) 4 2 2 (4 ) 4 4 ,( 4 0) 3 3 3 2 4 3 m m m m m m m m m + = ⇔ + = + + + + ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = + > ⇔ = − + 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 2a. 1đ Đặt 2 1 dt x dx t t − = ⇒ = . Đổi cận: 1 1 1; 2 2 x t x t= ⇒ = = ⇒ = 1 2 2 1 2 2 1 1 . . 1 dt I t t t = − + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 . 1 1 1 . 1 2 2 1 1 5 1 2 2 d t t dt I t d t t t t − + = − = = + + + + = + = − ∫ ∫ ∫ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 2b. 1đ 2 2 1 3 3 sinx os3 os 3 2 4 4 pt c x c x ⇔ + + = ÷ 0.25đ 2 2 1 3 sinx os3 sin3 2 2 1 3 sinx os3 sin 3 2 4 1 3 sinx os3 sin3 2 2 c x x c x x c x x + = ÷ ⇔ + = ⇔ ÷ + = − ÷ ( ) ( ) 1 3 sin 3 sin os3 sin3 sinx 6 2 2 1 3 sin 3 sin os3 sin3 sinx 6 2 2 x x c x x x x c x x π π − = − − = − ÷ ⇔ ⇔ + = − + = − ÷ 5 ; 12 12 5 ; 24 2 12 x k x k k x x k π π π π π π π π − = − = − ⇔ − = + = + 0.5đ 0.25đ 2c. 1đ 3 5 3 5 16 8 2 2 x x pt + − ⇔ + = ÷ ÷ Đặt 3 5 0, 2 x t + = > ÷ Ta có 3 5 3 5 . 1 2 2 x x + − = ÷ ÷ Ta có phương trình: 2 16 8 8 16 0 4t t t t t + = ⇔ − + = ⇔ = t = 4 Ta có: 3 5 2 3 5 4 log 4 2 x x + + = ⇔ = ÷ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 3a. 1đ Đk: 1 1 4 x y ≥ ≥ ; hệ ( ) ( ) 2 0 1 4 1 2 x y x y x y + − = ⇔ − + − = 4 2 1 4 1 2 1 4 1 2 x y x y x y x y = = ⇔ ⇔ − + − = − + − = 2 4 1 4 1 1 2 x x y y y = = ⇔ ⇔ = − = 0.5đ 0.25đ 0.25đ 3b. 1đ Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8 3 4( ) 4 1 2 8 4 2,(1) 4 8 3 8 4 2,(2) 4 8 3 8 4 2,(3) x y x y y xy y y z yz z z x zx x + + = + + + + ≥ + + + + ≥ + + + + ≥ + + Từ (1); (2) và (3) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = ½ 0.5đ 1 1 1 8 4 2 8 4 2 8 4 2 1 1 1 1 2 4 2 1 4 2 1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 1 1 . 2 1 2 4 2 1 4 1 2 2 4 2 1 4 2 1 4 2 1 1 1 1 ,max 2 2 2 S xy y yz z zx x xy y yz z zx x xy y x x x xy xy xy y xy y xy y xy y S x y z ≤ + + + + + + + + = + + ÷ + + + + + + ÷ = + + ÷ + + ÷ + + + + ÷ = + + ÷ + + + + + + = = ⇔ = = = 0.5đ 4a. 1đ A B C M Đường thẳng AB có VTCP ( ) 1 1;2n = ur . Đường thẳng BC có VTCP ( ) 2 3; 1n = − uur Gọi ( ) ;n a b= r là 1 VTCP của AC, Tam giác ABC cân tại A nên Cos(AB,BC) = Cos(AC, BC) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 5. 10 . 10 5. 3 5 3 22 15 2 0 a b a b a b a b a b a b a ab b − − ⇔ = + ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ − + = 0.25đ 0.25đ Chọn b = 1: 2 1 2 22 15 2 0 2 11 a a a a = − + = ⇔ = 1 , 1; : 2 5 0( )( / / ) 2 2 , 1; : 2 11 31 0( ) 11 a b AC x y loai vi AC AB a b AC x y chon = = + + = = = + + = 0.25đ 0.25đ 4b. 1đ Pt mp(ABC): 1 20 15 12 60 0 3 4 5 x y z x y z+ + = ⇔ + + − = Gọi H(x,y,z) là trực tâm , ( 3; ; ); (0; 4;5); ( ; 4; ); ( 3;0;5)ABC AH x y z BC BH x y z AC∆ = − = − = − = − uuur uuur uuur uuur Ta có: 1200 769 . 0 4 5 0 900 . 0 3 5 0 769 ( ) 20 15 12 60 720 769 x AH BC y z BH AC x z y H ABC x y z z = = − + = = ⇔ − + = ⇔ = ∈ + + = = uuur uuur uuur uuur Vậy: H(1200/769; 900/769; 720/769) 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 5. 1đ S C A B H Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) Gt · · · 0 30SCH SAH SBH HA HB HC⇒ = = = ⇒ = = ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì tam giác ABC vuông tại C nên H là trung điểm của AB. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC I SH⇒ ∈ (SH là trục đường tròn ngoại tiếp ABC∆ . ⇒ mp(ABC) cắt mặt cầu nói trên theo thiết diện là đường tròn lớn. ⇒ bán kính của mặt cầu bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABC∆ . Ta có: · 0 2 2.sin120 3 2sin AS AB a a R B = = = 0.5đ 0.5đ Chú ý: Đáp án chỉ nêu 1 cách giải, nếu HS làm cách khác đúng thì tương ứng cho số điểm như trên. . Trường THPT Thị xã Quảng Trị Tỉnh Quảng Trị Đề thi thử Đại học Khối A lần thứ nhất năm 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút Ngày thi: 27/02/2011 Câu 1: Cho hàm số: 3 2 3y x x m= + + (1) a các đường thẳng AB, BC lần lượt có phương trình là: x + 2y – 1 = 0; 3x – y + 5 = 0 và M(1; -3) thu c đường thẳng AC. Viết phương trình đường thẳng AC. b. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC. SABC I SH⇒ ∈ (SH là trục đường tròn ngoại tiếp ABC∆ . ⇒ mp(ABC) cắt mặt cầu nói trên theo thi t diện là đường tròn lớn. ⇒ bán kính của mặt cầu bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABC∆ . Ta