TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ TỔ TOÁN - TIN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN - Khối A + B Ngày thi: 02/03/2011 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) Câu 1. (2 điểm). Cho hàm số 3 2 3 1y x x= + − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm m để phương trình 3 2 3 | 3 1| logx x m+ − = có 4 nghiệm phân biệt. Câu 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình: 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x + − + = . 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 4 ( ) 2 7 2 x y xy y y x y x y + + + = + = + + Câu 3. (2 điểm). 1. Tính tích phân: 4 0 1 1 1 2 x dx x + + + ∫ . 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mxxxx =−+−++ 22 44 . Câu 4. (1 điểm). Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên cạnh SB, N là trung điểm cạnh SC. Chứng minh 5 điểm A, B, C, N, M cùng nằm trên một mặt cầu và tính thể tích của khối chóp A.BCNM. II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 5.a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(0 ; 1), B(-1 ; 3) và đường thẳng (d) : -2x + y −1 = 0. Tìm điểm C thuộc (d) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : 1 1 1 2 1 1 x y z+ − − = = − ; d 2 : 1 2 1 1 1 2 x y z− − + = = và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆, biết ∆ nằm trên mặt phẳng (P) và ∆ cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 . Câu 6.a (1 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn: 2 2 0z z+ = . B. Theo chương trình Nâng cao Câu 5.b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x - 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x - y - 23 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm M(3;1). 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : 1 3 1 1 4 x y z− − = = và điểm M(0; - 2 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng ∆ đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4. Câu 6.b (1 điểm). Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện | 1 2 | 1z i+ + = tìm số phức có môđun nhỏ nhất. … Hết … Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………… ; Lớp: ……… ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ SỐ 5 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1-1 (1 điểm) * Tập xác định D = R. * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y’ = 3x 2 +6x; y’ = 0 ⇔ 2 0 = − = x x . Dấu của y’: x -∞ -2 0 +∞ y’ + 3 - 0 + Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0). Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; + ∞). - Cực trị: + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT = -1; Hàm số đạt cực đại tại x = -2, y CĐ = 3. 0,25 - Giới hạn: 3 3 3 1 lim lim (1 ) x x y x x x →+∞ →+∞ = + − = +∞ ; 3 3 3 1 lim lim (1 ) x x y x x x →=∞ →−∞ = + − = −∞ . 0,25 Bảng biến thiên: x -∞ -2 0 +∞ y’ + 0 - 0 + y -∞ 3 -1 +∞ 0,25 * Đồ thị: - Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; -1) - Đồ thị hàm số đi qua một số điểm (-1; 1), (1; 3). 0,25 1-2 (1 điểm) Số nghiệm của phương trình 3 2 3 | 3 1| logx x m+ − = là số giao điểm của đường thẳng y = 3 log m với đồ thị (C) của hàm số 3 2 | 3 1|y x x= + − . 0,25 Từ đồ thị của hàm số (1) ta suy ra đồ thị của hàm số 3 2 | 3 1|y x x= + − bằng cách: + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (1) phía trên trục Ox. + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số (1) phía dưới trục Ox qua trục hoành rồi bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành. + Đồ thị hàm số 3 2 | 3 1|y x x= + − có dạng: 0,25 Từ đồ thị (C) của hàm số ta có phương ta có phương trình 3 2 3 | 3 1| logx x m+ − = có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 3 1 log 3 3 27m m< < ⇔ < < . 0,25 Vậy với m ∈(3; 27) thì phương trình 3 2 3 | 3 1| logx x m+ − = có 4 nghiệm phân biệt. 0,25 2-1 (1 điểm) 2 2 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8 6cos 6sin cos 9sin 1 2sin 8 0 6cos (1 sin ) 2sin 9sin 7 0 x x x x x x x x x x x x x + − + = ⇔ − + + − − = ⇔ − − + − = ⇔ 6cosx(1 - sinx) - (sinx - 1)(2sinx -7) = 0 ⇔ (1 - sinx)(6cosx + 2sinx -7) = 0 ⇔ 1 sin 0 (1) 6cos 2sin 7 0 (2) x x x − = + − = 0,25 (1) 2 2 x k π π ⇔ = + . 0,25 (2) ⇔ 6cos 2sin 7 0x x + − = ⇔ 6cosx + 2sinx = 7. Phương trình vô nghiệm vì 6 2 + 2 2 < 7 2 . 0,25 Vậy nghiệm của phương trình là: 2 2 x k π π = + (k ∈ Z). 0,25 2-2 (1 điểm) Dễ thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình. Chia cả hai vế của hệ phương trình cho y ≠ 0 ta được: 2 2 2 1 4 1 ( ) 2 7 x y x y x x y y + + + = + + = + 0,25 Đặt 2 1x u y v x y + = = + ta được hệ phương trình: 2 2 4 4 2 7 2(4 ) 7 u v u v v u v v + = = − ⇔ = + = − + ⇔ 1 3 u v = = hoặc 9 5 u v = = − . + Với 1 3 u v = = có 2 2 1 1 1 1 2 3 3 x x x y y y y x x y + = = + = ⇔ ⇔ = = − + = hoặc 2 5 x y = − = . + 9 5 u v = = − có 2 2 1 9 1 9 5 5 x x y y y x x y + = + = ⇔ = − − + = − vô nghiệm. 0,25 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm: 1 2 x y = = , 2 5 x y = − = . 0,25 3.1 (1 điểm) 4 0 1 1 1 2 x I dx x + = + + ∫ . Đặt 2 1 1 2 2 t t x x dx tdt − = + ⇒ = ⇒ = . x = 0 ⇒ t = 1, x = 4 ⇒ t = 3. 0,25 2 3 3 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 ( 2 ) ( 2) 1 2 1 2 1 2 1 t t t I tdt dt t t dt t t dt dt t t t t − + + = = = − + − − + − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0,25 3 2 3 3 1 13 2 ln(1 ) ln 2 1 1 2 3 2 3 t t I t t = − + − + = − ÷ . 0,25 Vậy I = 13 ln 2 3 − . 0,25 3.2 (1 điểm) Điều kiện : 0 ≤ x ≤ 2. Xét hàm số 4 4 ( ) 2 2f x x x x x= + − + + − với x ∈ [0; 2]. Có 3 3 4 4 1 1 1 1 '( ) 2 2 2 4 4 (2 ) f x x x x x = − + − − − . 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 4 2 2 2 2 2 (2 ) x x x x x x x x x x = − + + + − + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ − − − − − 4 4 4 4 4 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 4 2 2 2 (2 ) x x x x x x x x = − + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ − − − − 0,25 0,25 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 '( ) 0 0 2 2 1 2 2 f x x x x x x x x x x = ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = − − Bảng biến thiên: x 0 1 2 y’ + 0 + y 4 2 2+ 4 4 2 2+ Vậy phương trình có nghiệm ⇔ m ∈ 4 [ 2 2;4]+ . 0,25 4 (1 điểm) Gọi I là trung điểm AC. 2 2 2 2 3 2AC AB BC a a a= + = + = Có AC = SA nên ∆SAC cân tại A ⇒ AN ⊥ SC ⇒ · 0 90ANC = . Có ( ( )) BC AB BC AM BC SA SA mp ABC ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ . Mà AM ⊥ SB nên AM ⊥ mp(SBC) ⇒ AM ⊥ MC ⇒ · 0 90AMC = . Ta lại có ∆ABC vuông tại B nên · 0 90ABC = . Có 3 điểm B, M, N cùng nhìn AC dưới một góc vuông nên 5 điểm A, B, C, M, N cùng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính IA = a. 0,25 0,25 Có 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 . 1 1 . 1 1 1 4 2 . 2 2 2 2 2 4 5 S AMN S ABC V SM SN SM SM SM SA SA a V SB SC SB SB SB SA AB a a = = = = = = = + + . ⇒ 3 . . 3 3 1 1 1 3 . . . .2 . . 3 5 5 3 5 2 5 A BCNM S ABC ABC a V V SA S a a a= = = = . 0,25 0,25 5a.1 (1 điểm) 2 2 ( 1 0) (3 1) 5AB = − − + − = Có 1 2 12 ( , ). ( , ) 2 5 ABC ABC S S d C AB AB d C AB AB = ⇒ = = . 0,25 Gọi C(x C ; y C ). Có C thuộc đường thẳng (d) : -2x + y −1 = 0 nên -2x C + y C - 1 = 0 ⇒ C(x C ; 2x C + 1). ( 1;2)AB = − uuur ⇒ vec tơ pháp tuyến của AB: (2;1)n r . Phương trình đường thẳng AB: 2x + y - 1 = 0. 0,25 2 2 3 | 2 2 1 1| 12 | 4 | 12 ( , ) 3 5 5 5 2 1 C C C C C x x x x d C AB x = + + − = = ⇒ = ⇔ = − + 0,25 + Với x = 3 ⇒ y C = 7 ⇒ C(3;7). + Với x = 3 ⇒ y C = 15 ⇒ C(3;7) 0,25 5a.2 (1 điểm) Gọi A là giao của mặt phẳng (P) với đường thẳng d 1 . tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: 1 1 1 1 0 2 1 1 2 3 0 2 x x y z y x y z z = + − − = = ⇔ = − − − + = = ⇒ A(1; 0; 2). Gọi B là giao của mặt phẳng (P) với đường thẳng d 2 . Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: 2 1 2 1 3 (2;3;1) 1 1 2 2 3 0 1 x x y z y B x y z z = − − + = = ⇔ = ⇒ − − + = = . 0,5 (1;3; 1)AB − uuur Đường thẳng AB đi qua A nhận AB uuur làm véc tơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc: 0,25 1 2 1 3 1 x y z− − = = − (d) là đường thẳng đi qua A và B, có vec tơ chỉ phương ( 3;4;4)AB = − uuur nên có phương trình tham số: 1 3 2 4 3 4 x t y t z t = − = + = + . 0,5 6a. (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: 2 2 0z z+ = . Đặt z = a + bi (a, b ∈ R). 2 2 2 2 2 0 ( ) 2( ) 0 2 (2 2 ) 0z z a bi a bi a b a ab b i+ = ⇔ + + − = ⇔ − + + − = ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 0 (1) 0 2 0 2 0 1 2 2 0 1 (2) 2 0 2 0 b b a b a a b a a ab b a a b a a b a = = − + = − + = = ⇔ ⇔ − = = − + = − + = 0,25 0,25 (1) ⇔ 2 2 2 0 0 0 0 2 0 2 0 2 b b b a a b a a a a = = = ⇔ ⇔ = − + = + = = − ⇔ 0 0 b a = = hoặc 0 2 b a = = − (2) ⇔ 2 2 2 1 1 1 2 0 3 3 a a a a b a b b = = = ⇔ ⇔ − + = = = ± ⇔ 1 3 a b = = hoặc 1 3 a b = = − 0,25 Vậy có 4 số phức z là z = 0, z = -2, 1 3z i= + và 1 3z i= − 5b.1 (1 điểm) Gọi ϕ là góc giữa BC và AB. Ta có 2 2 2 2 | 2.12 5.( 1) | 29 1 cos 29. 145 5 2 5 12 1 ϕ − − = = = + + . 0,25 Gọi ( ; )n a b r là tọa độ vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AC. Ta có phương trình đường thẳng AC: a(x - 3) + b(y - 1) = 0 ⇔ ax + by - 3a - b = 0 Vì ∆ ABC cân tại A nên góc giữa AC với BC bằng góc giữa AB với BC. ⇒ 2 2 2 2 2 2 | 2. 5. | 1 cos( , ) cos 5(2 5 ) 29 5 2 5 a b AC BC a b a b a b ϕ − = = = ⇔ − = + + + ⇔ 5(4a 2 - 20ab + 25b 2 ) = 29(a 2 + b 2 ) ⇔ 9a 2 + 100ab - 96b 2 = 0 ⇔ 2 9 100 96 0 a a b b + − = ÷ ⇔ 8 9 12 a b a b = = − . + Với 8 9 a b = chọn a = 8 ⇒ b = 9. Ta có phương trình AC: 8x + 9y - 33 = 0. + 12 a b = − chọn a = 12 ⇒ b = -1. Ta có phương trình AC: 12x - y - 11 = 0 (loại vì // AB). 0,25 0,25 0,25 5b.2 (1 điểm) ∆ đi qua điểm A(1; 3; 0) có vec tơ chỉ phương: (1;1;4)u = r . Gọi ( ; ; )n a b c r là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vì (P) // (∆) nên . 0 4 0n u a b c= ⇔ + + = r r 0,25 + Có 2 2 2 2 2 2 |1. 3. 0. | ( ,( )) ( ,( )) 4 | 3 | 4 a b c d P d A P a b a b c a b c + + ∆ = = = ⇔ + = + + + + . 0,25 ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 6 9 16 6 9 17 17 2 16 a b a ab b a b a ab b a b ab + + + = + + ⇔ + + = + + ÷ ⇔ 2 2 2 16 4 8 0 4 2 0 a a a ab b b b − + = ⇔ − + = ÷ 0,25 0,25 6b (1 điểm) Xét biểu thức | 1 2 | 1z i+ + = (1). Đặt z = x + yi. Khi đó (1) trở thành 2 2 1 ( 2) 1( 1) ( 2) ( 1) yx y i x + + =+ + + = ⇔ + Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm I(-1; -2) và bán kính R = 1. 0,25 Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M nằm trên đường tròn (C) và gần O nhất. Do đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn. Đường thẳng OI có phương trình: y = 2x. 0,25 Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 ( 2) 1 2 ( 1) y y x x + + = = + Giải hệ phương trình ta tìm được: 1 1 5 2 2 5 x y = − + = − + và 1 1 5 2 2 5 x y = − − = − − 0,25 Có 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 5 5 5 − + + − + < − − + − − ÷ ÷ ÷ ÷ Vậy số phức cần tìm là : 5 5 2 5 10 5 5 z i − − = + . 0,25 . 4 a b c d P d A P a b a b c a b c + + ∆ = = = ⇔ + = + + + + . 0,25 ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 6 9 16 6 9 17 17 2 16 a b a ab b a b a ab b a b ab + + + = + + ⇔ + + = + + ÷ ⇔ 2 2 2 16. 29 5 2 5 a b AC BC a b a b a b ϕ − = = = ⇔ − = + + + ⇔ 5( 4a 2 - 20ab + 25b 2 ) = 29 (a 2 + b 2 ) ⇔ 9a 2 + 100ab - 96b 2 = 0 ⇔ 2 9 100 96 0 a a b b + − = ÷ ⇔ 8 9 12 a b a b = =. điểm AC. 2 2 2 2 3 2AC AB BC a a a= + = + = Có AC = SA nên ∆SAC cân tại A ⇒ AN ⊥ SC ⇒ · 0 90ANC = . Có ( ( )) BC AB BC AM BC SA SA mp ABC ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ . Mà AM ⊥ SB nên AM ⊥ mp(SBC) ⇒ AM ⊥