Nhiệt liệt chào mừng Các thầy cô giáo và các em học sinh Về dự buổi hội thảo chuyên đề của tổ Toán Tin Tr ờng THPT Yên Mô B Ph ơng trình vô tỷ là loại toán rất quen thuộc và rất hay gặp trong các đề thi Đại học và là một phần quan trọng trong ch ơng trình Đại số ở lớp 10 THPT. Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi đại học cho các em học sinh tôi thấy việc giải ph ơng trình vô tỷ rất quan trọng đối với học sinh THPT bởi vì việc giải ph ơng trình vô tỷ giúp cho học sinh rèn đ ợc kỹ năng giải toán, tính cẩn thận, chính xác và làm cho học sinh nắm chắc môn toán hơn. Giải tốt ph ơng trình vô tỷ học sinh nâng cao đ ợc t duy và vận dụng để hiểu các nội dung khác trong ch ơng trình toán THPT. Sau đây là một số dạng toán và ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỷ mà tôi đã giảng dạy và ôn luyện thi Đại học tuy kinh nghiệm ch a đ ợc nhiều lắm nh ng các em học sinh học tập có nhiều hứng thú và góp phần tỷ lệ đỗ Đại học cao. Tôi cũng không tham vọng gì nhiều chỉ mong đóng góp một chút kiến thức xây dựng tổ chuyên môn. Tôi xin đ a ra chuyên đề Phơngphápgiảiphơng trìnhvôtỷ mong các đồng nghiệp tham khảo và góp ý để chuyên đề này đ ợc hoàn chỉnh và sớm đ ợc ứng dụng trong việc giảng dạy của Nhóm Toán. 1. Ph ơng pháp nâng bậc 2. Ph ơng pháp nhân liên hợp 3. Ph ơng pháp phân tích nhân tử đ a về dạng đẳng cấp 4. Ph ơng pháp hằng đẳng thức 5. Ph ơng pháp sử dụng hàm số đồng biến, nghịch biến 6. Ph ơng pháp đánh giá 10. Ph ơng pháp sử dụng bảng biến thiên của hàm số giải ph ơng trình có tham số 7. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn 8. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn đ a về ph ơng trình bậc hai 9. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn đ a về hệ ph ơng trình đối xứng Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỷ 1. Ph ¬ng ph¸p n©ng bËc hai vÕ cña ph ¬ng tr×nh ( ) 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x g x ≥ = ⇔ = A. Ph ¬ng ph¸p gi¶i B. VÝ dô minh häa 2 3 0x x− + = 2 2 0 0 2 3 0 2 3 2 3 2 3 0 x x x x x x x x x x ≥ ≥ − + = ⇔ + = ⇔ ⇔ + = − − = 0 3 1 3 x x x x ≥ ⇔ ⇔ = = − = Gi¶i ph ¬ng tr×nh: §K: 3 2− ≥x 2. Ph ơng pháp nhân liên hợp A. Ph ơng pháp giải: Trongphơngtrìnhcósốchẵncănbậchaimàtrongđóhiệuhai biểuthứctrongcănbậchaicủatừngcặpluônbằngnhauhoặc trongphơngtrìnhcóhaicănbậchaimàhiệuhaibiểuthứctrong cănlàbộicủabiểuthứcngoàicănkhiđótasửdụngphơngpháp nhânliênhợp ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( )f x g x f x g x + B. Ví dụ minh họa Giải ph ơng trình (1) LG: ĐK ph ơng trình đã cho t ơng đ ơng với (vì x + 3 > 0) cộng vế với vế của (1) và (2) ta suy ra bình ph ơng hai vế đ ợc ph ơng trình bậc hai: x 2 - 344x + 684 = 0 Giải ra đ ợc hai nghiệm x = 2; x = 342 đều thỏa mãn 2 3 x 3 4 1 3 2 5 x x x + + = ( ) 3 3 4 1 3 2 5 x x x x + + = + + 4 1 3 2 5x x + + = 28 4 1 10 x x + + = (2) Giải ph ơng trình (1) LG: ĐK ph ơng trình đã cho t ơng đ ơng với (vì x + 3 > 0) cộng vế với vế của (1) và (2) ta suy ra bình ph ơng hai vế đ ợc ph ơng trình bậc hai: x 2 - 344x + 684 = 0 Giải ra đ ợc hai nghiệm x = 2; x = 342 đều thỏa mãn 3. Ph ơng pháp phân tích nhân tử (ph ơng trình đẳng cấp bậc 2) A. Ph ơng pháp giải Đaphơngtrìnhvềdạngau 2 +buv+v 2 =0 Xétv=0nếuthỏamãnthìv=0làmộttrờnghợpthỏamãngiảiphơng trìnhv=0đợcnghiệm Trờnghợpv0chiacảhaivếchov 2 đợcphơngtrìnhbậc2ẩnlà v u B. Ví dụ minh họa: Giải ph ơng trình LG: ĐK x -1. Ph ơng trình t ơng đ ơng với So sánh điều kiện ph ơng trình có hai nghiệm là 2 3 5 7 1x x x+ + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 1 6 1 5 1 . 1x x x x x x + + + = + + 2 2 2 2 1 1 1 1 6 5 1 0 3 1 2 1 0 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x + + + + + = = ữ ữ ữ ữ + + + + 2 2 2 2 2 2 5 33 1 1 1 1 5 33 10 8 0 1 3 1 9 5 37 1 1 5 3 0 1 1 2 1 4 1 2 5 37 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + + = + = = = + + = + = + = = + + + = 5 37 5 33; 2 x x + = + = 4. Ph ơng pháp sử dụng hằng đẳng thức A. Ph ơng pháp giải: Từđẳngthức Tacó Trongphơngtrìnhcó3đến4cănbậc3.màtrongđótổngtấtcảcácbiểu thứctrongcăncủavếnàybằngbiểuthứctrongcăncủavếkiatađặtẩnphụ đểsửdụnghằngđẳngthứctrên Từnhậnxétnàytacóthểgiảiđợcnhữngphơngtrìnhvôtỉcóchứacănbậc ba. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3a b c a b c a b b c c a+ + = + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 0a b c a b c a b a c b c+ + = + + + + + = Giải ph ơng trình sau : Giải . Ta đặt : khi đó ta có : B. Ví dụ minh họa: 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x + = + + + + 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 a x b x x c x x d x x = = = + + = + 2 2 2 2 2 a b c d x a b c d + = + = = 5. Ph ơng pháp sử dụng hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến A. Ph ơng pháp giải Đaphơngtrìnhvềdạngf(u)=f(v)trongđóhàmflàhàmđồng biếnhoặcnghịchbiến.Hoặcđavềphơngtrìnhdạngf(x)=0vớif làhàmđồngbiếnhoặcnghịchbiến B. Ví dụ minh họa Giải ph ơng trình: LG: ĐK x 2. xét hàm số có suy ra f(x) là hàm số đồng biến nên ph ơng trình đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất. Mặt khác ta thấy là nghiệm của ph ơng trình đã cho. Vậy ph ơng trình đã cho có nghiệm duy nhất 6 10 4 2 3x x + = 6 10 ( ) 4 2 3 f x x x = + ( ) ( ) 2 2 3 5 '( ) 0 2 6 10 2 3 2 3 f x x x x x x = + > < 2 1 =x 2 1 =x 6. Ph ơng pháp đánh giá để giải ph ơng trình Sửdụngcácbấtđẳngthức,sửdụnghằngđẳngthứcđavề bìnhphơngcủabiểuthứcđểchứngminhvếnàynhỏhơn hoặcbằngvếkia,dấubằngxảyrakhihaivếđạttạigiátrị lớnnhấthoặcnhỏnhất A. Ph ơng pháp giải B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải ph ơng trình LG: ĐK Ta có VP = (x - 1) 2 + 4 4 dấu bằng khi x = 1. VT = Dấu bằng xảy ra khi Vậy VT VP nên ph ơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 2 5 3 2 5x x x x + + = + 3 5x ( ) ( ) 2 2 5 3 5 3 8 2 5 3 16 5 3 4x x x x x x x x + + = + + = + + = + 5 3 5 3 1x x x x x = + = + = 4