DE THI HOC SINH GIOI HUYEN NAM 2010-2011

Đề thi học sinh giỏi huyện khối 9 Năm học 2010 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút Câu1: Cho biểu thức: P = + + + 6 9 3 2 2 3 : 9 3 1 xx x x x x x x xx a) Tìm điều kiện và rút gọn P b) Tìm x để P > 1. Câu2: a/ Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh 9 16 + abc ba b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 22 2 22 2 )()( baa b bab a ++ + ++ Câu3: 1. Cho a = 2 26 + và b = 2 26 . Tính S = 55 11 ba + . 2. Tìm nghiệm nguyên dơng của: z yx =+ 11 Câu4: Cho tứ giác ABCD có AB = 3 , BC = 3, CD = 2 3 , DA = 3 3 và A = 60 0 . Tính các góc còn lại của tứ giác ABCD ? Câu5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 3 AD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đờng thẳng DC tại F. Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho MN vuông góc với AE. Đờng phân giác của DAE cắt CD tại P. Chứng minh rằng: a) MN = 3 2 BE + DP. b) 222 9 411 AFAEAB += . Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện khối 9 Năm học 2010 2100 Môn Toán Câu1: Tổng 5 điểm a) Tìm đợc điều kiện xác định của P là: x > 0, x 4, x 9 Qui đồng và rút gọn đợc: P = 2 3 x b) P > 1 => 2 3 x > 1 => 2 3 x - 1 > 0 => 2 5 x x > 0 Giải và kết hợp với ĐK đợc kq: 4 < x < 25 và x 9 thì P > 1 (Nếu quên không kết hợp với điều kiện thì trừ 1 điểm ở câu b) 1 điểm 2 điểm 1 điểm 1 điểm Câu2: Tổng: 4 đ a/ (2đ) Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh 9 16 + abc ba (1) (1) 9(a+b) abc16 Ta có abcbacabba 16)(44)( 22 ++ Ta chứng minh 9(a+b) 4c(a+b) 2 0)32(09124)3(49)(49 22 ++ cccccbac luôn đúng Vậy 9(a+b) abc16 Hay 9 16 + abc ba 2 điểm b/ (2đ) B = 22 2 22 2 )()( baa b bab a ++ + ++ Ta có (a+b) 2 2(a 2 +b 2 ) B )(2)(2 222 2 222 2 baa b bab a ++ + ++ = 22 2 22 2 23)32 ba b ba a + + + B+2 22 222 22 222 23 23 32 32 ba bab ba baa + ++ + + ++ = 3 (a 2 +b 2 )( 2222 23 1 32 1 baba + + + ) = ( ) ( ) [ ] + + + +++ 2222 2222 23 1 32 1 2332 5 3 baba baba ( )( ) ( )( ) 5 12 2332 1 2.23322. 5 3 2222 2222 = ++ ++ baba baba B 5 2 2 5 12 = Vậy B 5 2 Dấu = xảy ra khi a=b 2 điểm Câu3 Tổng: 4đ 1. Theo bài ra ta có : a + b = 6 và ab = 1 Mà: S = 55 11 ba + = 55 55 ba ba + = a 5 + b 5 (vì ab = 1) Mặt khác: a 5 + b 5 = (a + b) 5 5(a 3 + b 3 ) -10a 2 b 2 (a + b) Biến đổi và thay: a + b = 6 và ab = 1 vào đợc S = 11 6 2 điểm 2. 2. Ta có: x + y = xyz. Vì vai trò của x, y nh nhau nên giả sử : x y => xy z = x + y y + y = 2y => xz 2. Vì x, z nguyên dơng nên có thế xẩy ra: x = 1, z = 1 hoặc x = 1, z = 2 hoặc x = 2, z = 1. Từ đó lập luận ta có nghiệm (x, y, z) = (2, 2, 1); (1, 1, 2) 1 điểm 1 điểm Câu4: Hình vẽ: 1 2 1 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 E B C H D A Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE = 3 => ED = 2 3 Ta có: ABE cân ở A có A = 60 0 => ABE đều. Kẻ DH BE => EDH vuông ở H có ED = 2 3 và E 1 = E 2 = 60 0 => D 1 = 30 0 => EH = ED/2 = 3 => BH = 2 3 => Tứ giác BCDH là hình chữ nhật. Từ đó tính đợc: C = 90 0 , D =60 0 , B = 150 0 . Tổng: 2,5 đ 1điểm 1,5điểm Câu5 Tổng: 4,5 đ Hình vẽ: 0,5 ®iÓm a) Qua A kÎ vu«ng gãc víi AE c¾t tia CD t¹i Q. V× ∠ A 2 = ∠ A 3 nªn ∠ A 1 = ∠ A 4 => ∆ ADQ ®ång d¹ng víi ∆ ABE (g.g) => 3 2 === AB AD BE DQ AE AQ (1) Mµ MN // AQ => MN = AQ. Ta l¹i cã: ∠ A 34 = ∠ A 12 = ∠ APQ => ∆ APQ c©n ë Q => AQ = QP = MN (2) Tõ (1), (2) => MN = QP = QD + DP = 3 2 BE + DP (§PCM) 2,5 ®iÓm b) Theo §L 4 cho ∆ AQF vu«ng ë A cã AD ⊥ QF ta ®îc: 222 111 AFAQAD += mµ AD = 3 2 AB, AQ = 3 2 AE => 222 9 411 AFAEAB += 1,5 ®iÓm Chó ý: HS lµm theo c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a . Đề thi học sinh giỏi huyện khối 9 Năm học 2010 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút Câu1: Cho. CD tại P. Chứng minh rằng: a) MN = 3 2 BE + DP. b) 222 9 411 AFAEAB += . Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện khối 9 Năm học 2010 2100 Môn Toán Câu1: Tổng 5 điểm a) Tìm đợc điều kiện xác