Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Long An Môn thi : Toán (Đề chính thức) Ngày thi : 07/4/2011 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đáp Án Bài 1 (4 điểm) 1/ (2 điểm) A = 3 5 3 5 2 2 3 5 2 2 3 5 + − + + + − − Nhân tử và mẫu mỗi phân thức cho 2 ta có: A= 2(3 5) 2(3 5) 4 6 2 5 4 6 2 5 + − + + + − − …………………………… ………….0,5 đ A= 2 2 3 5 3 5 2 4 ( 5 1) 4 ( 5 1) + − + + + − − …………………………….… 0,5 đ A= 3 5 3 5 2( ) 5 5 5 5 + − + + − ……………………………….…0,25 đ A = (3 5)(5 5) (3 5)(5 5) 2 (5 5)(5 5) + − + − + + − ………………………….…0,25 đ A = 15 3 5 5 5 5 15 3 5 5 5 5 2 25 5 − + − + + − − − ………………………… 0.25 đ A = 20 2. 20 A = 2 …………………………………………………………… … 0,25 đ 2/ Cho biểu thức: B = 2 4x x− + − Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B và giá trị x tương ứng(2 điểm) Với điều kiện xác định: 2 4x≤ ≤ . Ta có B ≥ 0 ………………….….…0,25 đ B 2 = 2 +2 ( 2)(4 )x x− − ……………………………………………….… 0,25 đ Ta có: 2 ( 2 4 ) 0x x+ − − ≥ ⇒ x-2+4-x 2 ( 2)(4 )x x≥ − − ……………………………………………0,25 đ Do đó: B 2 =2 +2 ( 2)(4 )x x− − ≤ 2+2 ……………………………………0,25 đ ⇒ B 2 ≤ 4…………………………………………………………… 0,25 đ ⇒ B ≤ 2………………………………………………………………0,25 đ Vậy B lớn nhất là bằng 2…………………………………………………….0,25 đ khi x-2 =4-x ⇒ x=3…………………………………………….………… 0,25 đ Nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF……………………… … 0,25 đ b / Chứng minh :: S = . . 4 AB AC BC R (1,5 điểm) Bài 2 (5 điểm) 1/ (2 điểm) (P) y=ax 2 qua M(-1;2) ⇒ a= 2 ⇒ (P): y=2x 2 ………………………………… 0,5 đ A,B thuộc (P) ⇒ A(1;2) ,B(2;8)……………………………………………… 0,5 đ Đường thẳng y=ax+b qua A và B ta có : a+b = 2 và 2a+b =8………………….0,5 đ Giải ra ta có a = 6 ,b =-4 Vậy đường thẳng AB có dạng : y =6x-4…………….0,25 đ Đường thẳng y = mx+5 song song đường thẳng AB ⇒ m =6……………… 0,25 đ 2/ Tìm x : 2 2 3 2 1 1 1 (2 2 1) 4 4 2 x x x x x x− + + + = + + + (3 điểm) ⇔ 2 2 2 3 2 1 1 (2 ) (2 1) 4 4 x x x x x x− + + + = + + + …………………… …….0,5 đ ⇔ 2 2 2 4 1 2 4 4 1 ( 1)(2 1)x x x x x− + + + = + + ………………………… … 0,25 đ ⇔ 2 (2 1)(2 1) 2 2 1 ( 1)(2 1)x x x x x+ − + + = + + ……………………….…….0,25 đ Vế trái không âm, x 2 +1 dương nên 2x+1 không âm…………………….…….0,25 đ ⇔ 2 (2 1)(2 1) 2(2 1) ( 1)(2 1)x x x x x+ − + + = + + ……………………….……0,25 đ ⇔ 2 (2 1)(2 1) ( 1)(2 1)x x x x+ + = + + ………………………………………….0,25 đ ⇔ 2 2 (2 1) ( 1)(2 1)x x x+ = + + ……………………………………………….0,25 đ ⇔ 2 2 1 ( 1)(2 1)x x x+ = + + ……………………………………………… ….0,25 đ ⇔ 2 (2 1)( 1 1) 0x x+ + − = ……………………………………………… ……0,25 đ ⇔ 2x+1=0 hoặc x 2 =0………………………………………………………… 0,25 đ ⇔ x = 1 2 − hoặc x = 0 (thỏa điều kiện)…………………………0,25 đ Bài 3 (5 điểm) a) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF(1,5 điểm) Ta có tứ giác BFEC là nội tiếp vì 0 ˆ ˆ 90BFC BEC= = Nên : ˆ ˆ FEB FCB= (cùng chắn cung BF)…………………………………0,25 đ Ta có tứ giác DHEC là nội tiếp vì 0 ˆ ˆ 90HDC HEC= = Nên : ˆ ˆ BED FCB= (cùng chắn cung DH)…………………………….….0,25 đ Do đó: ˆ ˆ FEB BED= Hay EB là phân giác ˆ FED ……………………………………… …….0,25 đ Tương tự ta có FC,DA là phân giác ˆ EFD và ˆ EDF ……………………0,25 đ Vậy H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF …………… …0,25 đ Tam giác vuông ABD đồng dạng tam giác vuông AKC vì ˆ ˆ ABC AKC= (cùng chắn cung AC) AB AD AK AC ⇒ = ………………………………………………………… ……0,5 đ ⇒ AB.AC = AK.AD =2R.AD…………………………………………… 0,25 đ ⇒ AD = . 2 AB AC R ……………………………………………………………0,25 đ Mà S = . 2 BC AD ……………………………………………………………0,25 đ = . . 4 AB AC BC R …………………………………………………………0,25 đ c/ Chứng minh DFEM là nội tiếp (2 điểm) Tam giác BEC vuông tại E có EM là trung tuyến nên tam giác BME cân tại M ⇒ ˆ ˆ MEB MBE= ……………………………………………………… … 0,25 đ Mà ˆ ˆ MBE CAD= (cùng phụ ˆ ACB )……………………………………… 0,25 đ Nên ˆ ˆ MEB CAD= (1)…………………………………………………… 0,25 đ Ta có : ˆ ˆ BEF FAH= (cùng chắn cung FH)(2)…………………………… 0,25 đ Từ (1) và (2) ta có ˆ ˆ MEF EAF= ……………………………………………0,25 đ ˆ ˆ EAF BHF= (cùng bù ˆ FHE )………………………………………………0,25 đ Mà ˆ ˆ BHF FDB= (cùng chắn cung BF)………………………………………0,25 đ Nên ˆ ˆ MEF FDB= Vậy tứ giác DFEM là nội tiếp……………………………………………… 0,25 đ A B C E F D H . O M K Các cách làm khác cho điểm tương đương Bài 4 (3 điểm) Ta có :S ABC = S MBC + S MAB + S MAC 0,25 đ ⇒ S ABC = 1 2 (ax+by +cz )……………………………………………0,25 đ ⇒ 2S ABC .P =(ax+by+cz)( a b c x y z + + )………………………………….0,5 đ = a 2 +b 2 +c 2 +ab( x y y x + )+bc( y z z y + )+ac( x z z x + )…………0,5 đ Ta có 2 0 x y y x − ≥ ÷ ÷ ⇒ x y y x + ≥ 2 …………………………………………… 0,25 đ Tương tự ta có y z z y + ≥ 2 , x z z x + ≥ 2………………………………… ………….0,25 đ Do đó 2S ABC .P ≥ a 2 +b 2 +c 2 +2bc+2ac+2ab = (a+b+c) 2 ………………………… 0,25 đ P ≥ 2 ( ) 2 ABC a b c S + + …………………………………………………….0,25 đ Dấu “ =” xảy ra ⇔ x = y = z ⇔ M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ……….0,25 đ Vậy P nhỏ nhất khi M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác …………………… 0,25 đ Bài 5 ( 3 điểm) Gọi số chính phương cần tìm là abcd ( a khác 0)……………………….0,25 đ Đặt n 2 = abcd ( n ∈ N*)…………………………………………………… 0,25 đ n 2 < 10000 nên n <100……………………………………………………….0,25 đ Khi tăng mỗi chữ số thêm một đơn vị ta có : ( 1)( 1)( 1)( 1)a b c d+ + + + = m 2 …( m ∈ N*)……………………………… ….0,25 đ Tương tự ta có m <100……………………………………………………… 0,25 đ Vậy m+n <200 …………………………………………………… …… 0,25 đ Ta có m 2 - n 2 = ( 1)( 1)( 1)( 1)a b c d+ + + + - abcd = 1111……………………… 0,25 đ Vậy (m- n)(m+ n) = 1111…………………………………………………… 0,25 đ Vì 1111= 1.1111 =11.101…………………………………………………….0,25 đ Chỉ xảy ra m-n =11 và m+n = 101……………………………………………0,25 đ Giải ra ta có : m =56 , n= 45 …………………………………………………0,25 đ Số phải tìm là abcd = 45 2 = 2025…………………………………………….0,25 đ M C B A a b c x y z . 1) 4 4 2 x x x x x x− + + + = + + + (3 điểm) ⇔ 2 2 2 3 2 1 1 (2 ) (2 1) 4 4 x x x x x x− + + + = + + + …………………… …….0,5 đ ⇔ 2 2 2 4 1 2 4 4 1 ( 1)(2 1)x x x x x− + + + = + + ………………………… … 0,25. S MBC + S MAB + S MAC 0,25 đ ⇒ S ABC = 1 2 (ax+by +cz )……………………………………………0,25 đ ⇒ 2S ABC .P =(ax+by+cz)( a b c x y z + + )………………………………….0,5 đ = a 2 +b 2 +c 2 +ab( x y y x + )+bc( y. x x x+ + = + + ………………………………………….0,25 đ ⇔ 2 2 (2 1) ( 1)(2 1)x x x+ = + + ……………………………………………….0,25 đ ⇔ 2 2 1 ( 1)(2 1)x x x+ = + + ……………………………………………… ….0,25 đ ⇔ 2 (2 1)( 1 1) 0x x+ + − = ………………………………………………