Sáng kiến kinh nghiệm Đề tài: Khai thác mối quan hệ giữa các kiến thức qua bài "Chia đa thức - Đại số 8". Từ đó phát huy tính tích cực, độc lập, t duy, sáng tạo, hứng thú khi giải bài tập toán cho học sinh i. Đặt vấn đề: Trong hoạt động dạy và học toán nói chung, môn Đại số nói riêng, vấn đề khai thác mối quan hệ giữa các kiến thức dới nhiều góc độ khác nhau cho ta những cách giải khác nhau khá thú vị khi giải Toán. ở trờng phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ. Để học sinh hiểu kiến thức, nắm kiến thức và vận dụng một cách sâu sắc các kiến thức toán học, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức phải giúp học sinh biết khai thác kiến thức, tổng hợp kiến thức, thấy đợc mối quan hệ mật thiết giữa các kiến thức một cách gắn kết thống nhất và vận dụng giải các dạng bài tập liên quan. Từ đó phát huy tính tích cực, hứng thú, độc lập, t duy, sáng tạo khi học toán cho các em. Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác mối quan hệ giữa các kiến thức là rất cần thiết nhất là ở phần củng cố, luyện tập, ôn tập, nâng cao, bồi dỡng học sinh giỏi. "Khai thác mối quan hệ giữa các kiến thức qua bài "Chia đa thức - Đại số 8". Từ đó phát huy tính tích cực độc lập t duy sáng tạo, hứng thú khi giải bài tập toán cho học sinh" đợc thể hiện cụ thể qua các nội dung sau: II. Giải quyết vấn đề: 1. Các kiến thức về chia đa thức (đợc tích hợp, tổng hợp, nâng cao): Cho đa thức: f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0. * f(x) : g(x) = q (x) d r(x) f(x) = g(x) . q(x) + r(x) (Bậc r(x) < bậc g(x)) - Tìm d và thơng ta đặt chia: f(x) : g(x) * Số nghiệm của f(x) không vợt quá bậc của f(x) Nếu x 1 , x 2 , , x n là nghiệm của f(x) thì: f(x) = a n (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x n ) * x = a là nghiệm của f(x) f(a) = 0 f(x) x - a f(x) = (x - a) . g(x) Số d f(x) chia cho x - a: r(x) = f(a) = 0 1 Đồ thị y = f(x) cắt trục hoành Ox tại x = a * Rõ ràng các kiến thức trên có mối quan hệ với nhau rất mật thiết và thống nhất. Học sinh phải hiểu, nắm một cách sâu sắc các kiến thức này thì mới vận dụng linh hoạt khi giải các bài tập tuy khác nhau nhng thực chất là một dạng. Từ đó phát huy đợc tính tích cực, độc lập, t duy, sáng tạo, hứng thú khi giải toán, học toán của học sinh. 2. Bài tập thể hiện: a. Bài tập 1: Tìm a để đa thức 2x 3 - 3x 2 + x + a chia hết cho đa thức x + 2 (Bài 74 SGK Đại số 8 tập 1). Giải: Cách 1: Đặt chia: - ++ +++ 15x7x2x4x2 2xaxx3x2 223 23 - ++ x14x7 axx7 2 2 - + + 30x15 ax15 a - 30 2x 3 - 3x 2 + x + a = (x + 2) (2x 2 - 7x + 15) + a - 30 Để 2x 3 - 3x 2 + x + a x + 2 thì a - 30 = 0 a = 30. Cách 2: f(-2) = -16 - 12 - 2 + a = 0 a = 30 Hai cách giải khác nhau nhng cho kết quả là một. b. Bài tập 2: Xác định số hạng tự do của phơng trình: 6x 3 - 7x 2 - 16x + m = 0 Nếu phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm các nghiệm còn lại. (Thi học sinh giỏi lớp 8 - Phòng Giáo dục Đồng Hới). Cách 1: - Tìm m: f(2) = 0 m = -6.2 3 + 7.2 2 + 16.2 = 12 m = 12 - Tìm nghiệm còn lại: (6x 3 - 7x 2 - 16x + 12) :( x - 2 = 6x 2 + 5x - 6 - Giải: 6x 2 + 5x - 6 = 0 2 6x 2 - 4x + 9x - 6 = 0 6(x + 2 3 ) (x - 3 2 ) = 0 x = - 2 3 ; x = 3 2 . Vậy phơng trình có nghiệm là: x = 2; x = 3 2 ; x = - 2 3 . Cách 2: - Tìm m: Đặt chia: - 3 2 3 2 2 6 7 16 2 6 12 6 5 6 x x x m x x x x x + + - + x10x5 mx16x5 2 2 - + + 12x6 mx6 m - 12 6x 3 - 7x 2 - 16x + m = (x - 2) (6x 2 + 5x - 6) + m - 12 Để 2 là nghiệm của phơng trình 6x 3 - 7x 2 - 16x + m = 0 thì m - 12 = 0 m = 12. - Tìm các nghiệm còn lại: Giải: 6x 2 + 5x - 6 = 0 6(x 2 + 6 5 x - 1) = 0 6 ++ 144 169 144 25 x 12 5 .2x 2 = 0 6 + 22 12 13 12 5 x = 0 6 + ++ 12 13 12 5 x 12 13 12 5 x = 0 6 + 12 8 x 12 18 x = 0 6 + 3 2 x 2 3 x = 0 x = 3 2 ; x = - 2 3 . Vậy nghiệm của phơng trình là: x = 2; x = 3 2 ; x = - 2 3 . 3 c. Bài tập 3: Một đa thức f(x) chia cho x + 1 thì có d là 4; chia cho x 2 + 1 thì có d là 2x + 3. Tìm số d của phép chia f(x) cho (x + 1) (x 2 + 1). (Chuyên đề bồi dỡng Toán 8). Giải: f(x) chia cho (x + 1) (x 2 + 1) d có dạng: r(x) = ax 2 + bx + c f(x) = (x + 1) (x 2 + 1) . q(x) + ax 2 + bx + c f(-1) = a - b + c = 4 (1) f(x) = (x + 1) (x 2 + 1) . q(x) + ax 2 + bx + c = (x 2 + 1) [(x + 1). q(x) + a] + bx + c - a bx + c - a = 2x + 3 b = 2 (2) c - a = 3 (3) Từ 1, 2, 3: a = 2 3 ; b = 2; c = 2 9 . Vậy số d của phép chia phải tìm là: r(x) = 2 3 x 2 + 2x + 2 9 . d. Bài tập 4: Cho B(x) = 630 1 x 9 - 21 1 x 7 + 30 13 x 5 - 63 82 x 3 + 35 32 x. Chứng minh B(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. (Tuyển tập các bài toán chọn lọc). Giải: Cách 1: Quy đồng mẫu rồi tính, ta có: B(x) = 630 )16x()9x()4x()1x(x 2222 = 630 )4x()4x()3x()3x()2x()2x()1x()1x(x ++++ Vì x nguyên nên tử thức là tích của 9 số nguyên liên tiếp nên tích đó sẽ chia hết cho 2, cho 5, cho 7, cho 9. Mà các số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho: 2.5.7.9 = 630. B(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. Cách 2: Tính B(-4) = 0 B(-3) = 0 B(-2) = 0 B(-1) = 0 4 B(0) = 0 B(1) = 0 B(2) = 0 B(3) = 0 B(4) = 0 x = 0, 1, 2, 3, 4, -4, -3, -2, -1 là nghiệm của B(x). B(x) = 630 1 x(x-1) (x+1) (x-2) (x+2) (x-3) (x+3) (x-4) (x+4) Ta có: x, x-1, x+1, x-2, x+2, x-3, x+3, x-4, x+4 là 9 số nguyên liên tiếp nên tích x(x-1) (x+1) (x-2) (x+2) (x-3) (x+3) (x-4) (x+4) sẽ chia hết cho 2, cho 5, cho 7, cho 9. Các số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho: 2.5.7.9 = 630. B(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. III. Kết luận: Với hệ thống các kiến thức và một số bài tập minh hoạ ở trên, giáo viên cho học sinh hiểu, nắm, thấy đợc mối quan hệ giữa các kiến thức một cách mật thiết, thống nhất. Vận dụng giải các dạng bài tập liên quan từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao. Khi giải các bài tập học sinh cần phải: Đọc kỷ đề, phân định giả thiết - kết luận, liên tởng đến bài tập tơng tự đã giải, suy nghĩ định ra đờng lối giải - hớng giải đúng, định hớng kiến thức vận dụng để giải bài tập này, suy nghĩ và cho cách giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn, cuối cùng đa ra bài toán tổng quát và hớng giải (nếu có thể). Đạt đợc nh vậy là kích thích tính tích cực, hứng thú, độc lập, t duy, sáng tạo, khai thác kiến thức, từ đó giúp các em phơng pháp tự học, tự tìm tòi và khám phá hoàn toàn. Trong phong trào "Nghìn sáng kiến đổi mới" tôi không có tham vọng viết đầy đủ hơn mà chỉ nêu lên một số suy nghĩ, kinh nghiệm nhỏ, từ đó giúp học sinh phát huy tính tích cực, hứng thú, tự giác, độc lập, t duy, sáng tạo, tự học, tự khám phá trong quá trình học toán. Đồng Hới, ngày 20 tháng 3 năm 2011 Ngời viết Nguyễn Thế Hiển 5 6 . Sáng kiến kinh nghiệm Đề tài: Khai thác mối quan hệ giữa các kiến thức qua bài "Chia đa thức - Đại số 8". Từ đó phát huy tính tích cực, độc lập, t duy, sáng tạo, hứng. giải Toán. ở trờng phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ. Để học sinh hiểu kiến thức, nắm kiến thức và vận dụng một cách sâu sắc các kiến. sắc các kiến thức toán học, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức phải giúp học sinh biết khai thác kiến thức, tổng hợp kiến thức, thấy đợc mối quan hệ mật thiết giữa các kiến thức một cách