Tích luỹ chuyên môn Phòng GD- ĐT huyện Tĩnh Gia Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2007-2008 Môn : Toán học Lớp 6 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) Câu I(2 điểm) : 1- Tính nhanh: A = 15 7 9 4 11 2 15 8 9 5 + + ++ 2- So sánh 2 phân số : 20082008 20072007 và 082008200820 072007200720 3- Rút gọn phân số A= 18071.530 5352.71 + mà không cần thực hiện phép tính ở tử Câu II( 3 điểm) 1-Tìm x ,y Z : a- 3 4 3 4 = y x với x y =5 b- (x + 1 ) .( 3y 2 ) = -55 2- Cho A= 4 53 + n n Tìm nZ để A có giá trị nguyên Câu III( 3,0 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo xOy=70 0 và số đo yOz = 30 0 a. Xác định số đo của xOz b. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn hơn độ dài OA ) Gọi M là trung điểm của OA . Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài OB và AB. Câu IV ( 2,0 điểm ) Tìm 2 số tự nhiên a và b biết tổng BCNN với CLN của chúng là 15 Hớng dẫn chấm đề thi HSG lớp 6 năm học 2007 2008 Câu Nội dung yêu cầu Điểm 1-I 0.5đ Tính nhanh A= 15 7 9 4 11 2 15 8 9 5 + + ++ = 15 7 15 8 11 2 9 4 9 5 ++ + + =-1 + 1 11 2 + A= 11 2 0,25 0,25 2-I 0.5đ So sánh 2 phân số 20082008 20072007 và 082008200820 072007200720 Ta có P/S : 20082008 20072007 = 2008 2007 10001 10001 . 2008 2007 = P/s : 082008200820 072007200720 = 2008 2007 100010001 100010001 . 2008 2007 = Vậy 2 phân số trên bằng nhau 0,25 0,25 3-I 1.0đ Rút gọn A= 18071.530 5352.71 + không biến đổi tử số = )1871.53.(10 5352.71 + 0,25 0,25 Giáo viên : Mai Huy Dũng 1 Tích luỹ chuyên môn = ]1871).152.[(10 5352.71 + + = ]187152.71.[10 5352.71 + + = ]5352.71.[10 5352.71 + + = 10 1 0,25 0,25 1-II a-1-II 0,75đ b-1-II 1,5đ Tìm x Điều kiện y 3 ta có : 3x 12 = 4y-12 3x=4y Từ x-y=5 x=5+y Ta có : 3y+15 = 4y y=15 x=5+15 = 20 Vậy x=20 ; y=15 (x + 1 ) .( 3y 2 ) = -55 (x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-11).5 =(-5).(11) *Nếu : (x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-11).5 Ta có = = = =+ 3 7 12 523 111 y x y x (Loại) Hoặc = = = =+ 3 4 1123 51 y x y x * Nếu : (x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-5)(11) Ta có : = = = =+ 3 13 6 1123 51 y x y x (Loại ) Hoặc = = = =+ 1 10 523 111 y x y x Vậy (x=4 , y=-3) hoặc ( x=-6 , y=-1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2-II 1.0 đ Tìm nZ để A= 4 53 + n n có giá trị nguyên A= 4 53 + n n = 3 + 4 17 + n để A có giá trị nguyên khi 4 17 + n có giá trị nguyên . Vậy để 4 17 + n có giá trị nguyên thì n+4 phải là ớc của 17 . Ta có các ớc của 17 là U -17 = }{ 17;17;1;1 Lập bảng x+4 -1 1 -17 17 n -5 -3 -21 13 Vậy với n = -5 ; n=-3 ; n=-21 ; n=13 thì A có giá trị nguyên 0,25 0,5 0,25 Giáo viên : Mai Huy Dũng 2 Tích luỹ chuyên môn a-III 1.0đ - Trờng hợp hình ( A) khi Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có : Số đo góc xOz = 70 0 -30 0 = 40 0 - Trờng hợp hình (B) khi Oz không nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có Số đo góc xOy = 70 0 +30 0 = 100 0 Vẽ đúng đợc 1 trờng hợp cho 0,25 đ 0,25 0,25 b-III 2.0đ - Ta có trung bình cộng sđ của BO và BA là 222 BABOABBO += + - Ta lại có BO=BA+AO nên BA AOBAAOBABABO +=++= + 22222 (I) - Mặt khác ta có BM = BA + AM mà M là trung điểm của OA nên BM = BA AO + 2 (II) - Từ (I) và (II) suy ra BM = 2 BABO + . Hay số đo BM bằng trung bình cộng số đo của BO và BA 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 IV 2.0đ Tìm 2 số t nhiên a, b biết tổng BCNN và UCLN của chúng bằng 15 - Gọi UCLN (a,b)=d suy ra a=d.m và b=d.n khi đó (m,n)=1. ta có a.b = d.m.d.n. -Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của BCNN với UCLN của 2 số đó nên . -Ta có BCNN [a,b] = d nmd ba ba ),( . 2 = =d.m.n -Vậy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15 Giả sử ab khi đó m n và m.n+12 Lập bảng d m.n+1 m.n m n a b 1 15 14 1 14 1 14 2 7 2 7 3 5 4 1 4 3 12 5 3 2 1 2 5 10 Vậy ta tìm đợc các số sau: (a=1 ; b=14) ; (a=2 ,b=7) ; (a=3 ; b=12 ) và (a=5 , b=10) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Giáo viên : Mai Huy Dũng 3 Tích luỹ chuyên môn Phòng GD- ĐT huyện Tĩnh Gia Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2007-2008 Môn : Toán học Lớp 7 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) Câu 1(2 điểm ): So sánh A và B biết : A=[0,8 .7+(0,8) 2 ] . (1,25 . 7 - 5 4 . 1,25 ) 47,86 B= ( ) ( ) 9 8 .65,169,18 4 5 .29,009,1 Câu II( 2,5 điểm ) 1) Tìm n N biết 32 2 n > 4 2) Tìm x biết: a) 04 1978 30 1973 35 1968 40 1963 45 =+ + + + xxxx b) x- 11 3 55.5 3 20 17.1 5 20 15.1 3 20 13.11 20 = Câu III: (1,5đ) Tìm x , y z biết 5 4 4 3 3 2 zyx == và x+y+z = 49 Câu IV (2 đ) Cho tam giác ABC có A= 60 0 ; BM , CN ( M thuộc AC và N thuộc AB ) lần lợt là phân giác của góc ABC và góc ACB . BM và CN cắt nhau tại I a) Tính BIN b) Chứng minh INM = IMN Câu V ( 2 điểm ) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số mà khi chia cho 11 d 5 và chia 13 d 8. Hết ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm ) Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 7 năm học 2007 2008 Câu Nội dung yêu cầu Điểm I A= 0,8.0,25 .(49- 0,64) = 48,36 47,86 = 0,5 B= 2 1 9 8 . 4 9 4 5 . 5 4 9 8 .25,2 4 5 .8,0 == = 0,5 Vậy A=B 1 đ 0,75đ 0,25đ 1-II 2 5 2 n > 2 2 Nên 5 n > 2 Mà n N nên n = }{ 5;4;3 0,25 0,25 a-2-II Tìm x 1 1978 30 1 1973 35 1 1968 40 1 1963 45 + ++ ++ ++ xxxx = 0 0,25đ 0,25 Giáo viên : Mai Huy Dũng 4 Tích luỹ chuyên môn 0 1978 2008 1973 2008 1968 2008 1963 2008 = + + + xxxx ( ) 0 1978 1 1973 1 1968 1 1963 1 .2008 = +++ x 2008 x = 0 x = 2008 0,25đ 0,25đ b-2-II Tìm x 11 3 55.53 2 15.13 2 13.11 2 10 = +++ x 11 3 55 1 53 1 53 1 51 1 15 1 13 1 13 1 11 1 10 = ++++ x 11 3 55 1 11 1 10 = x 1= x 0,25 0,25 0,25 0,25 III Ta có: 4 5 3 4 2 3 5 4 4 3 3 2 zyxzyx ===== Theo dãy tỷ số bằng nhau ta có: 4 5 3 4 2 3 zyx == = 12 12 49 49 4 5 3 4 2 3 == ++ ++ zyx x=12. 18 2 3 = y=12. 3 4 =16 z=12. 15 4 5 = Vậy x=18 ; y=16 và z = 15 0,5 0,5 0,25 0,25 IV a-IV b-IV -Xét tam giác IBC có NIB = IBC + ICB ( t/c ngoài ) - Xét Tam giác ABC ABC+ ACB = 180 0 -60 0 =120 0 (vì BAC=60 0 ) - Mặt khác do BM và CN là phân giác nên IBC=1/2 ABC và ICB=1/2 ACB IBC + ICB = 2 60180 00 = 60 0 - Vậy NIB = 60 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Giáo viên : Mai Huy Dũng 5 Tích luỹ chuyên môn - Kẻ phân giác IH của góc BIC - CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IN (1) - CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IM (2) - Từ (1) và(2) Tg IMN cân vậy INM = IMN 0,25 V - Giả sử số cần tìm là a khi đó theo bài ra ta sẽ có: + a + 6 11 (a+6)+77 11 a+83 11 (1) + a + 5 13 (a+5) + 78 13 a+83 13 (2) Từ (1) và (2) suy ra a+ 83 BCNN (11, 13 ) mà BCNN ( 11,13) = 143 Ta có : a+ 83 143 a= 143.k 83 ( k N * ) Để a nhỏ nhất thì 143.k nhỏ nhất hay k nhỏ nhất Nếu k=1 thì a= 60 là số có 2 chữ số ( Loại ) Nếu k=2 thì a = 203 . Vậy số 203 là số nhỏ nhất thỏa mãn đầu bài đã cho 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Phòng GD- ĐT huyện Tĩnh Gia Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2007-2008 Môn : Toán học Lớp 8 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) Câu I (2 điểm ) : 1) Tính giá trị biểu thức : A= x 5 - 5x 4 +5x 3 -5x 2 +5x 1 với x=4 2) Tìm điều kiện để phân thức : B= 127 75 2 2 + + xx x có nghĩa. Câu II ( 3 điểm ) 1- Với giá trị nào của a phơng trình 11 1 . 2 2 2 2 =+ x x a x xax có một nghiệm duy nhất . 2- Tìm giá trị lớn nhất của B = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx 3- Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể nớc và một vòi chảy ra ở lng chừng bể . Khi bể cạn , nếu mở cả 2 vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc . Còn nếu đóng vòi chảy ra , mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút bể đầy nớc . Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra . Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra? Câu III (2 điểm ): Cho tam giác vuông ABC ( 0 90 =A ) Một đờng thẳng song song với BC lần lợt cắt AB và AC tại D và E . a- Chứng minh CB 2 CD 2 = EB 2 ED 2 b- Hãy xác định điểm D thoả mãn DC 2 =BC.DE. Câu IV :( 2 điểm ) cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng ac ac cb cb ba ba + + + + + < 1 Hết (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Giáo viên : Mai Huy Dũng 6 Tích luỹ chuyên môn Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 8 Năm học 2007 2008 Câu Nội dung cần đạt Điểm a-I Thay x=4 vào biểu thức A ta có A= 4 5 - 5.4 4 +5.4 3 - 5.4 2 + 5.4 1 = 4 5 (4+1).4 4 +(4+1).4 3 -(4+1).4 2 + (4+1).4 1 = 4 5 - 4 5 4 4 + 4 4 + 4 3 4 3 4 2 + 4 2 +4 1 A = 3 0,25 0,25 0,25 0,25 b-I Tìm điều kiện để phân thức B= 127 75 2 2 + + xx x có nghĩa Để B có nghĩa khi x 2 - 7x + 12 0 x 2 4x 3x + 12 0 x(x-4) 3(x-4) 0 (x-4).(x-3) 0 x 4 ; x 3. Vậy điều kiện để B có nghĩa là mọi x 3 và x 4 0,25 0,25 0,25 0,25 1-II Điều kiện để PT 11 1 2 2 2 2 =+ x x a x xax nếu có nghiệm là x-1 ; 1 ta viết PT dới dạng 1 1 1 22 2 2 =+ xx x axax x-a 2 x+a = 1 (1-a 2 ).x = 1- a. - Nếu a -1: 1 thì x= a+1 1 là nghiệm nếu a+1 1 1 ; -1 hay a0 và a -2 - Nếu a=1 thì 0x = 0 phơng trình có vô số nghiệm khác 1 và 1 - Nếu a=-1 thì 0x=2 PT vô nghiệm Vậy để phơng trình có nghiệm duy nhất thì a1 , a-1 , a0 và a -2 0,1 0,2 0,1 0,2 0,2 0,2 2-II * Tìm giá trị lớn nhất của B= 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx B= 32 1)32(3 2 2 ++ +++ xx xx B= 3 + 32 1 2 ++ xx B= 3 + 2)1( 1 2 ++ x Để B có giá trị lớn nhất khi 2)1( 1 2 ++ x (I) có giá trị lớn nhất . Mà để (I) có giá trị lớn nhất khi (x+1) 2 + 2 (II) có giá trị bé nhất . (II) có giá trị bé nhất khi (x+1) 2 = 0 hay x=-1 Vậy Max B = 2 7 khi x= -1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Giáo viên : Mai Huy Dũng 7 Tích luỹ chuyên môn 3-II - Gọi thể tích bể nớc quy ớc là 1 ( đơn vị thể tích ) . Gọi Thời gian vòi nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến mực nớc nơi vòi chảy ra là x ( x>0 ; đv thời gian). Theo bài ra ta có: - Trong 1 giờ vòi chảy vào đợc là 3 2 5,1 1 = (thể tích bể) - Trong 1 giờ vòi chảy ra chảy đơc 3 1 2: 3 2 = ( thể tích bể) - Vậy nếu mở đồng thời cả vòi chảy vào và vòi chảy ra thì lợng nớc trong bể trong thời gian chảy 1 giờ là : 3 1 3 1 3 2 = (thể tích bể) - Trong x giờ đầu , chỉ có 1 vòi chảy vào nên lợng nớc trong bể là x. 3 2 (I) -Thời gian cả 2 vòi chảy vào và ra sẽ là (2h42 x) hay 2,7h x - Lợng nớc trong khoảng thời gian (2,7h x) ở trong bể khi cả 2 vòi chảy ra , chảy vào là : )7,2.( 3 1 x (II) - Từ (I) và (II) ta có phơng trình : x. 3 2 + )7,2.( 3 1 x = 1 - Giải phơng trình x=0,3 . - Trả lời : để vòi chảy vào từ khi bể cạn đến mực nớc đầy đến nơi đặt vòi chảy ra là 0,3 h 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 III a-III 1.0đ b-III a) *-Xét ADC có DC 2 = AC 2 +AD 2 (Pitago) -Xét ABC có BC 2 =AC 2 +AB 2 ( Pitago) - Vậy BC 2 - CD 2 = AC 2 +AB 2 AC 2 -AD 2 = AB 2 -AD 2 ( I) *- Xét ADE có ED 2 = EA 2 +AD 2 - Xét ABE có BE 2 = EA 2 +AB 2 - EB 2 -ED 2 = EA 2 +AB 2 EA 2 AD 2 = AB 2 -AD 2 (II) Từ (I) và (II) suy ra CB 2 CD 2 = EB 2 ED 2 ( đpcm) b) Phân tích : Giả sử Ta xác định đợc điểm D thoả mãn DC 2 =BC.DE khi đó ta có : DC DE BC DC = (I) Mặt khác ta có EDC= DCB (so le trong ) (II) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Giáo viên : Mai Huy Dũng 8 Tích luỹ chuyên môn 2.0đ Từ I và II ta suy ra đợc tam giác EDC phải đồng dạng với tam giác DCB Từ đó suy ra đợc Góc ACD = Góc ABC Vậy để xác định điểm D thoả mãn DC 2 =BC.DE . Qua điểm C vẽ góc ACx về phía nửa mf chứa điểm B sao cho góc ACx bằng góc B. Tia Cx cắt AB tại đâu thì đó là điểm D Cách dựng : - Dựng góc ACy= Góc B Cắt AB tại D Chứng minh - Kẻ DE //BC ta có - CED Đồng dạng với BDC có DC DE BC DC = CD 2 =BC.DE Biện luận : - Bài toán có duy nhất một điểm D 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 IV Ta biết nếu x <1 -1< x < 1 < < 1 1 x x Ta có chứng tỏ cba cba ba ba ++ + < + Thật vậy bcbccbabacbaba cba cba ba ba <++<++ ++ + < + ))(())(( luôn đúng Vậy cba cba ba ba ++ + < + ( 1) Tơng tự acb acb cb cb ++ + < + (2) bac bac ac ac ++ + < + (3) Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức (1) ,(2),(3) ta đợc ac ac cb cb ba ba + + + + + < cba cba ++ ++ =1 Tơng tự ta cũng có ac ca cb bc ba ab + + + + + <1 Suy ra đợc ac ac cb cb ba ba + + + + + < 1 ( đ.p.c.m) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Giáo viên : Mai Huy Dũng 9 . môn Phòng GD- ĐT huyện Tĩnh Gia Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 200 7-2 008 Môn : Toán học Lớp 7 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) Câu 1(2 điểm ): So sánh A và B biết. môn Phòng GD- ĐT huyện Tĩnh Gia Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 200 7-2 008 Môn : Toán học Lớp 6 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) Câu I(2 điểm) : 1- Tính nhanh:. 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Phòng GD- ĐT huyện Tĩnh Gia Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 200 7-2 008 Môn : Toán học Lớp 8 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) Câu I (2 điểm ) : 1)