ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2009 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (Vòng 2) Câu I. 1) Điều kiện x ≥ −1 Phương trình đã cho tương đương với ( √ x + 35 −6)( √ x + 1 − 14) = 0 • Giải √ x + 35 = 6 ↔ x = 1 • Giải √ x + 1 = 14 ↔ x = 195. 2) Ta có n 4 + 4 = (n 4 + 4n 2 + 4) −4n 2 = (n 2 + 2) 2 − (2n) 2 = (n 2 + 2n + 2)(n 2 − 2n + 2) Suy ra 1 1 + (2k −2) 2 − 1 (2k) 2 + 1 = 4(2k −1) 4 + (2k −1) 4 Chọn k = 1 ta có 1 − 1 1 + 2 2 = 1.4 4 + 1 4 Chọn k = 2 ta có 1 1 + 2 2 − 1 4 + 1 4 = 4.3 4 + 3 4 Chọn k = n ta có 1 1 + (2n −2) 2 − 1 1 + (2n) 2 = 4.(2n −1) 4 + (2n −1) 4 Cộng n đẳng thức trên thu được 4S(n) = 1 − n 2 1 + 4n 2 = 4n 2 1 + 4n 2 ↔ S(n) = n 2 1 + 4n 2 (đpcm). Câu II. 1) Xét n = 7k (k ≥ 1) loại vì n + 7 = 7k + 7 > 7 và chia hết cho hết 7 Xét n = 7k + 1(k ≥ 0) loại vì n + 13 = 7k + 14 > 7 và chia hết cho hết 7 Xét n = 7k + 2(k ≥ 1) loại vì n + 5 = 7k + 7 > 7 và chia hết cho hết 7 1 Với k = 0 → n = 2 loại vì n + 7 = 9 không là số nguyên tố Xét n = 7k + 3(k ≥ 0) loại vì n + 25 = 7k + 28 > 7 và chia hết cho hết 7 Xét n = 7k + 4(k ≥ 0) loại vì n + 17 = 7k + 21 > 7 và chia hết cho hết 7 Xét n = 7k + 5(k ≥ 0) loại vì n + 37 = 7k + 42 > 7 và chia hết cho hết 7 Xét n = 7k + 6(k ≥ 1) loại vì n + 1 = 7k + 7 > 7 và chia hết cho hết 7 Với k = 0 → n = 6 Khi đó n + 1 = 7, n + 5 = 11, n + 7 = 13, n + 13 = 19, n + 17 = 23, n + 25 = 31, n + 37 = 43 đều là số nguyên tố. ĐÁP SỐ: n=6. 2) Xét (a, b) thuộc tập M ta có |a −b| chia hết cho 7 ⇒ |(a + c) −(b + d)| chia hết cho 7. (Vì (c, d) ∈ M). Suy ra mọi cặp số của M 1 đều có tính chất nêu trên. Mặt khác (2240, 912) ∈ M 1 nhưng |2240 − 912| = 1328 không chia hết cho 7. Vậy không thể nhận được M 1 sau một số hữu hạn lần thay thế. Câu III. 1) Ta có ∠DBC = ∠P AQ (cùng bù với ∠DAC) ∠P AQ = ∠P BQ (góc nội tiếp) ⇒ ∠DBC = ∠P BQ (1) Ta có ∠QP B = ∠QAB (góc nội tiếp) ⇒ ∠QP B = ∠BCD (2) Từ (1), (2) suy ra ∆BCD ∼ ∆BQP . (3) 2) Từ (2) ⇒ P và C cùng nhìn BK dưới góc có số đo bằng nhau. 2 P và C nằm cùng phía đối với BK. Do đó BKP C nội tiếp. Tức là đường tròn ngoại tiếp ∆P CK đi qua B cố định. Câu IV. Đặt X = x − 1, Y = y − 1, Z = z − 1 ta thu được −1 ≤ X, Y, Z ≤ 1, Z + Y + Z = 0 (1) Vì X 3 + Y 3 + Z 3 −3XY Z = (X +Y + Z)(X 2 + Y 2 + Z 2 −XY −Y Z −ZX) Suy ra X 3 + Y 3 + Z 3 = 3XY Z (2) Ta có M = (X + 1) 4 + (Y + 1) 4 + (Z + 1) 4 − 12XY Z = = X 4 + Y 4 + Z 4 + 4(X 3 + Y 3 + Z 3 ) + 6(X 2 + Y 2 + Z 2 ) + 4(X + Y + Z) + 3 −12XY Z Sử dụng đẳng thức (1) và (2) suy ra M = X 4 + Y 4 + Z 4 + 6(X 2 + Y 2 + Z 2 ) + 3 ≥ 3 có dấu bằng (Khi X = Y = Z = 0 ↔ x = y = z = 1). Vì |X| ≤ 1, |Y | ≤ 1, |Z| ≤ 1 ta suy ra M ≤ 3 + 7(|X| + |Y | + |Z|) = 3 + 7(|X + Y | + |Z|) = 14|Z| + 3 ≤ 17 (Vì X + Y + Z = 0 nên luôn có 2 số cùng dấu) Suy ra M max = 17 Khi (x = 0, y = 1, z = 2) M min = 3 Khi (x = y = z = 1) TRƯỞNG TIỂU BAN CHẤM THI Hà Nội, ngày tháng 6 năm 2009 MÔN TOÁN CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH GS.TS. Nguyễn Hữu Dư 3 . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2009 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (Vòng 2) Câu I. 1) Điều kiện x ≥ −1 Phương trình đã cho. 0, y = 1, z = 2) M min = 3 Khi (x = y = z = 1) TRƯỞNG TIỂU BAN CHẤM THI Hà Nội, ngày tháng 6 năm 2009 MÔN TOÁN CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH GS.TS. Nguyễn Hữu Dư 3 . n + 5 = 11, n + 7 = 13, n + 13 = 19, n + 17 = 23, n + 25 = 31, n + 37 = 43 đều là số nguyên tố. ĐÁP SỐ: n=6. 2) Xét (a, b) thuộc tập M ta có |a −b| chia hết cho 7 ⇒ |(a + c) −(b + d)| chia hết