PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7 điểm.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1.. Gọi M là trung điểm cạnh AD, α là mặt phẳng đi qua BM và song song với SA, cắt SC, SD lầ
Trang 1TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
TỔ TOÁN -TIN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC: 2010 -2011
Môn: TOÁN; Khối A, B, D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).
Câu I ( 2 điểm)
Cho hàm số y x= 4−2mx2−3m+1 (C), m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1
2 Tìm tham số m để hàm số (C) đồng biến trên khoảng (1; 2)
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình: 2 ( )
3
2 Giải phương trình: 2sin 2x−cos 2x=7 sinx+2cosx−4
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân: I
1 2 0
1
1dx
=
+ +
Câu IV(1 điểm)
Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ∠DAB=600 Chiều cao SO của chóp bằng 3
2
a
, ( O là giao của hai đường chéo đáy) Gọi M là trung điểm cạnh AD, ( )α là mặt phẳng đi qua BM và song song với SA, cắt SC, SD lần lượt tại K, P Tính thể tích khối KPBCDM theo a
Câu V(1 điểm)
Cho , ,a b c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện: a b c+ + =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
P a b b c c a= + +
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B ).
A Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm)
1 Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) và diện tích hình chữ nhật là 16
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng : 1 1
Viết phương trình đường thẳng∆ qua A và cắt d, sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến ∆ nhỏ nhất
Câu VII.a (1 điểm)
Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật ?
B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Elíp có phương trình( ) : 2 y2 1
4
x
E + = và hai điểm A(0; 2), B(-2; 1) Tìm điểm C∈( )E sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất
2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :α x y+ − =5 0, ( ) :β y z+ + =3 0, điểm M(1; 1; 0) Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với giao tuyến của ( )α và ( )β , đồng thời d cắt ( )α và ( )β lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của AB
Câu VII.b (1 điểm)
Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức: ( )13 13 12 11
P x = x+ =a x +a x +a x + +a x a+
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
I 1 (1điểm).Khảo sát khi m=1
Khi m=1, hàm số trở thành y x= 4−2x2−2 -Tập xác định: D=R
- limx→−∞ y= +∞; limx→+∞y= +∞
1
x
x
=
- Bảng biến thiên:
x −∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 + y
+∞ +∞
-2 -3 -3
- Hàm số đạt cực đại (0;-2), cực tiểu (-1;-3) và (1;3)
- Hàm số đồng biến trên ( 1;0) (1;− ∪ +∞); Nghịch biến trên (−∞ − ∪; 1) (0;1)
- Đồ thị:
0.25
0.5
0.25
2 (1 điểm) Tìm m để hàm số đồng biến trên (1;2)
Ta có y' 4= x3−4mx=4 (x x2−m) 0
m≤ , ' 0,y ≥ ∀x Suy ra m≤0 thoả mãn
0
m> , ' 0y = có 3 nghiệm phân biệt: − m, 0, m Để hàm số đồng biến trên (1;2) khi chỉ khi m≤ ⇔ ≤1 m 1 Vậy 0< ≤m 1
Kết hợp ta có m∈ −∞( ;1]
0.5
0.5
II 1 (1 điểm) Giải hệ.
Đk: ∀ ∈x R y; ≤2
Biến đổi (1) về pt ẩn y: y2+(y−3)x−4y= −3 ⇔ =y 3 (L); y= −1 x Thay vào (2)
3 x− +2 x+ =1 3 VT là hàm đồng biến trên[− +∞1; ) nên pt có nghiệm duy nhất x=3
Với x=3 suy ra y = -2
Vậy hệ đã cho có nghiệm (3;-2)
0.25
0.5 0.25
2 (1 điểm)Phương trình lượng giác.
2
2sin 2 cos 2 7sin 2cos 4 4sin cos 2cos 2sin 7sin 3 0
(2sinx 1 2 cos) ( x sinx 3) 0
x y
-2
-1 O
1
-3
Trang 32sin 1 0 2cos sin 3 0 (VN)
x
− =
0.25 0.25
III (1 điểm).Tính tích phân.
2 1 1
t
x x
+
Đổi cận : x= ⇒ =0 t 1;x= ⇒ = +1 t 1 3
1 3
1 3 1 1
ln 2 1 ln
dt
t
+
+
∫
0.25 0.25
0.5
IV
R
I
P K
N M
B
S
0.25
0.25
0.25
0.25
V (1 điểm) Tìm GTLN của P a b b c c a= 2 + 2 + 2 với , , a b c≥0; a b c+ + =1
Giả sử a=max ; ;{a b c} Khi đó:
2
3
2 1
2 2
a c ac
P a b abc
ac
a c a b c P
Dấu bằng khi 2; 1; 0
a= b= c= và các hoán vị
0.25
0.25
0.25 0.25
VIA. 1 (1 điểm) Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật.
Nhận thấy phương trình cạnh AB không thể là x = 4
Gọi pt cạnh AB: a x( − +4) b y( − =5) 0 (a2+b2 >0) Suy ra pt cạnh BC: (b x− −6) a y( − =5) 0
Diện tích hình chữ nhật là: d P AB d Q BC( ; ) ( ; ) a2 3b2 4b2 4a2 16
⇔ (a−3 )b a b− ) =4(a2+b2)
1, 1
1, 1/ 3
⇔ = = − Vậy pt AB là: − + − =x y 1 0 hoặc − +x 3y− =11 0
0.25
0.25
0.25 0.25
Kẻ NK, MP // SA; KP, BM, CD kéo dài cắt nhau tại I
Suy ra M, D là trung điểm BI và CI
Do N là trọng tâm ABD∆ nên:
;( )
CK
2
.sin
IBC
a
6
IBCK
a V
3
PI = ID = DC = SC = Suy ra: 3
4
IP
IK =
3
IMDP
IBCK
Trang 42 (1 điểm) Viết pt đt ∆ qua A và cắt d, s/c khoảng cách từ gốc toạ độ O đến ∆ nhỏ nhất.
Đường thẳng ∆ thuộc mp (P) qua A và chứa d, nên (P): 3x+2y z− − =4 0.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P) Toạ độ H t/m hệ:
3
; ;
7 7 7
x t
y t
H
z t
x y z
=
+ − =
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆: ( ; )d A ∆ = AK≥ AH
Để khoảng cách nhỏ nhất thì K ≡H ⇒ H∈∆ Suy ra∆qua A,H nên có pt :
:
x− y− z−
∆ = = , dễ thấy ∆cắt d nên ∆là đt cần tìm
0.25
0.25
0.25
0.25
VIIA. (1 điểm) Chia đồ vật.
TH1: Mỗi người được 2 đồ vật: C C62 42 TH2: Một người được 1, một người được 2, một người được 3 đồ vật: 1 2
6 .3!5
C C
TH3: Hai người được 1, một người được 4 đồ vật: C C61 .351 . Theo quy tắc cộng có 540 cách chia
0.25 0.25 0.25 0.25
VI.B 1 (1 điểm) Tìm C thuộc (E) để tam giác có diện tích lớn nhất.
Phương trình cạnh AB: x−2y+ =4 0 Gọi C(2 cos ;sin , t t) t∈[0; 2π) Diện tích ∆ABC lớn nhất ⇔d C AB( ; )lớn nhất
( ; ) 2cos 2sin 4 4 2 2 cos 4 4 2 2
t
d C AB
π
Dấu = khi cos 1 7
+ = ⇔ =
2 2;
2
−
0.25 0.25
0.25
0.25
2 (1 điểm) Viết pt đường thẳng d.
Đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với giao tuyến của ( )α và ( )β Phương trình (P): x y z− + =0
Lấy đối xứng ( )α qua M được ( ') :α x y+ + =1 0 Suy ra B là giao điểm của ba mặt phẳng ( )P , ( )β và ( ')α Toạ độ B t/m hệ:
0
1 0
x y z
x y
− + =
+ + =
Vậy đường thẳng qua B, M là đường thẳng d cần tìm: 1 1
x− = y− = z
0.25 0.25
0.25
0.25
VII.B (1 điểm) Tìm hệ số có giá trị lớn nhất.
Ta có: ( )13 13 13
13 0
n
=
Vậy 13n213 n 1 13n 1 142 n (n=1,2, ,13)
−
Xét bpt: 1
5 ( 1)!(14 )! !(13 )! 3
Do đó a n−1≤a n đúng với n={1, 2,3, 4,} và dấu đẳng thức không xảy ra
Suy ra: a0 < <a1 a2 < <a3 a4 và a4 >a5 >a6 > > a13 Vậy hệ số có GTLN là a4 =C13429 =366080
0.25
0.25
0.25 0.25
-HẾT -(Nếu thí sinh làm cách khác đúng, thì vẫn cho điểm tối đa).