Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Đại số Căn thức rút gọn biểu thức CHủ đề 1: I thức: Kiến thức bản: Điều kiện tồn : A Cã nghÜa ⇔ A ≥ A2 = A Hằng đẳng thức: Liên hệ phép nhân phép khai phơng: A.B = Liên hệ phép chia phép khai phơng: A = B A B = A B §a thõa sè căn: Đa thừa số vào căn: A B= A = B A.B B C Trôc thức mẫu: A B = A ( A ≥ 0; B > 0) B ( B ≥ 0) ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B A B = A B Khử thøc ë mÉu: ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B ( A < 0; B ≥ 0) ( B > 0) C( A B ) A− B Bài tập: Tìm điều kiện xác định: Với giá trị x biểu thức sau xác định: 1) x + 2) 3) 4) 2 x+3 x x +6 −3 5) 3x + 6) + x 7) 8) − 2x 3x + Rút gọn biểu thức Bµi1 1) 12 + − 48 2) 5 + 20 − 45 3) 32 + − 18 4) 12 − 27 + 48 5) 12 + 75 − 27 6) 18 − + 162 1 − 7) 20 − 45 + 8) ( + 2) − 2 9) −1 +1 1 2 2+ + − 10) 11) 12) 5−2 5+2 4−3 4+3 1+ 13) ( 28 − 14 + 7) + 14) ( 14 − ) + 28 15) ( − ) − 120 16) (2 − ) + + 24 17) (1 − ) + ( + 3) 18) 19) ( − 3) + ( − 2) 20) ( 19 − 3)( 19 + 3) 21) x + ( x − 12) ( x ≥ 2) 22) ( − 2) + ( − 1) 7+ 7− + 7− 7+ 23) x + y − ( x − xy + y ) ( x ≥ y ) 2 Sách hôm sèng ngµy mai Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Bµi2: 1) (3 + ) + 15 - (3 − ) + 2) 4+2 + 4−2 − 3−2 Giải phương trình: 1) x − = 2) x − = 5) x − 12 = 6) (5 + ) 5) − 15 (2 − ) − (2 + 3) + 3) ( − 3) + ( ) 5+3 4) 6) − 15 − 3+ 3) ( x − 3) = 9( x − 1) = 21 7) 4) 4x + 4x + = x − 50 = 8) (2 x − 1) = 10) 4(1 − x) − = 11) x + = 12) 3 − x = −2 4x = II toán rút gọn: A.các bớc thực hiên: Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn đợc) Tìm ĐKXĐ biểu thức: tìm TXĐ phân thức kết luận lại Quy đồng, gồm bớc: + Chọn mẫu chung : tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên) Rút gän B.Bµi tËp lun tËp: x 2x − x − Bài Cho biểu thức : A = với ( x >0 x ≠ 1) x −1 x − x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x = + 2 a+4 a +4 4−a + Bài Cho biểu thức : P = ( Với a ≥ ; a ≠ ) a +2 2− a 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị a cho P = a + 9) Bài 3: Cho biểu thức A = x +1− x x + x + x −1 x +1 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị x A< -1 Bµi 4: Cho biểu thức A = (1 + x+ x x− x )(1 − ) x +1 x −1 ( Với x ≥ 0; x ≠ ) a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - Sách hôm sống ngày mai Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Bµi 5: Cho biĨu thøc : B = − + x 1− x x 2 x +2 a; Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B b; Tính giá trị B với x =3 c; Tìm giá trị x ®Ĩ A = x +1 x 2+5 x Bµi 6: Cho biĨu thøc : P = + + x x x +2 a; Tìm TXĐ b; Rút gọn P c; Tìm x để P = 1 a +1 a +2 Bµi 7: Cho biÓu thøc: Q=( − ):( − ) a −1 a a a a; Tìm TXĐ rút gọn Q b; Tìm a để Q dơng c; Tính giá trÞ cđa BiĨu thøc biÕt a = 9- a a − a a + a − − Bµi 8: Cho biĨu thøc: M = 2 a a + a a/ Tìm ĐKXĐ M b/ Rút gọn M Tìm giá trị a ®Ĩ M = - 15 x − 11 x x +3 Bµi : Cho biĨu thøc : K = + − x + x x x +3 a Tìm x để K cã nghÜa b Rót gän K c T×m x K= d Tìm giá trị lớn K x −2 x + x − 2x + − Bµi 10 : Cho biÓu thøc: G= x −1 x + x + 1 Xác định x để G tồn Rút gọn biểu thức G Tính số trị G x = 0,16 Tìm gía trị lớn G Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên Chứng minh : Nếu < x < M nhận giá trị dơng Tìm x để G nhận giá trị âm Bài 11 : Cho biÓu thøc: x+2 P= x x −1 + x −1 : Víi x ≥ ; x ≠ x + x +1 1− x x + a Rót gän biĨu thøc trªn b Chøng minh r»ng P > víi mäi x≥ vµ x ≠ Bµi 12 : cho biÓu thøc 1 a +1 Q= + a + − a − − a .1 + a Sách hôm cuéc sèng ngµy mai Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 a Tìm a dể Q tồn b Chứng minh : Q không phụ thuộc vào giá trị a Bµi 13: Cho biĨu thøc : A= x3 xy − y + 2x 1− x xy + y − x − x − x a) Rút gọn A b) Tìm số nguyên dơng x để y = 625 A < 0,2 a a 4( a + ) a + (Víi a ≥0 ; a ≠ 16) + + Bµi 14:XÐt biĨu thøc: P= : 1 − a − 16 − a a +4 a +4 1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm số tự nhiên a để P số nguyên tè -CHđ ®Ị 2: hµm sè - hµm sè bËc nhÊt I hµm sè: Khái niệm hàm số * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x cho giá trị x, ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số x x đợc gọi biến số * Hàm số cho công thức cho bảng II hàm số bậc nhất: Kiến thức bản: Định nghĩa: Hàm số bậc có dạng: y = ax + b Trong a; b hệ số a Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y = ax + b lµ hµm sè bËc nhÊt lµ: a ≠ VÝ dơ: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (1) Tìm giá trị m để hàm số (1) hàm số bậc Giải: Hàm số (1) bậc m ≠ ⇔ ⇔ m ≠ TÝnh chÊt: + TX§: ∀x ∈ R + §ång biÕn a > NghÞch biÕn a < VÝ dơ: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (2) Tìm giá trị m để hàm số (2): + Đồng biến R + Nghịch biến R Giải: + Hàm số (1) §ång biÕn ⇔ − m > ⇔ m < + Hàm số (1) Nghịch biến ⇔ − m < ⇔ ⇔ m > Đồ thị: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b b cắt trục hoành điểm có hoành độ a + Từ đặc điểm ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b: Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) (-b/a;0) đồ thị hàm số y= ax+b Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) (-1/2;0) đồ thị hàm số y = 2x + Sách hôm sống ngày mai Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Điều kiện ®Ĩ hai ®êng th¼ng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔ a ≠ a , */ Để hai đờng thẳng cắt trục tung cân thêm điều kiện b = b ' */ Để hai đờng thẳng vuông góc với : a.a ' = −1 + Song song víi nhau: (d1) // (d2) ⇔ a = a , ; b ≠ b ' + Trïng nhau: (d1) ≡ (d2) ⇔ a = a , ; b = b ' VÝ dơ: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + (d1) Và y = x m (d2) a/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số song song với b/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt c/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trục tung Giải: m = m = ⇔ ⇔ {m = a/ (d1)//(d2) ⇔ ≠ −m m ≠ −2 b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ − m ≠ m c/ (d1) cắt (d2) điểm trục tung m = ⇔ m = −2 HƯ sè gãc cđa ®êng thẳng y = ax + b a + Cách tính góc tạo đờng thẳng với trục Ox dựa vào tỉ số lợng giác tg = a ã Trờng hợp: a > góc tạo đờng thẳng với trục Ox góc nhọn ã Trờng hợp: a < góc tạo đờng thẳng với trơc Ox lµ gãc tï ( 180 − α ) Ví dụ 1: Tính góc tạo đờng thẳng y = 2x + víi trơc Ox Gi¶i: Ta cã: Tgα = = Tg 63 ⇒ α = 630 Vậy góc tạo đờng thẳng y = 2x + víi trơc Ox lµ: α = 63 Ví dụ 2: Tính góc tạo đờng thẳng y = - 2x + víi trơc Ox Ta cã: Tg (180 − α ) = = Tg 630 ⇒ (180 − α ) = 630 = 117 Vậy góc tạo đờng th¼ng y = - 2x + víi trơc Ox là: = 117 Các dạng tập thờng gặp: Sách hôm sống ngày mai Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 - Dạng1: Xác dịnh giá trị hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trựng Phơng pháp: Xem lại ví dụ trªn -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xem lại ví dụ Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính đợc giá trị y Cặp giá trị x y toạ độ giao điểm hai đờng thẳng Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng: Phơng pháp: +Dựa vào tam giác vuông định lý Py ta go để tính độ dài đoạn thẳng trực tiếp đợc Rồi tính chu vi tam giác cách cộng cạnh + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S -Dng 3: Tớnh gúc α tạo đường thẳng y = ax + b v trc Ox Xem lại ví dụ -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b §iĨm M (x1; y1) cã thuộc đồ thị không? Thay giá trị x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 điểm M không thuộc đồ thị -Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng: Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b ®i qua ®iĨm P (x0; y0) điểm Q(x1; y1) Phơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng tr×nh y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị a b + Thay giá trị a b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho đờng thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m ≠ 1; m ≠ -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m r»ng m thay đổi d1 qua 1điểm cố định b) C/m d1 //d3 d1 vuông góc d2 c) Xác định m để đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 qua A(x0; y0 ) thay vµo PT (d1) ta cã : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Víi mäi m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 víi mäi m ; Điều xảy : x0+ =0 x0+y0+5 = suy : x0 =-1 Y0 = - Vậy điểm cố định A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B (d2) (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vµo y = x +1 = +1 =2 VËy B (1;2) §Ĩ đờng thẳng đồng qui (d1) phải qua ®iĨm B nªn ta thay x =1 ; y = vµo pt (d1) ta cã: = (m2 -1) + m2 -5 m2 = => m = vµ m = -2 VËy víi m = m = - đờng thẳng ®ång qui Bµi tËp: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) (d2) cắt Sách hôm sống ngày mai Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 2) Với m = – , vẽ (d1) (d2) mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) (d2) phép tính Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m ≠ 0) y = (2 - m)x + ; (m ≠ 2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt Bài 5: Víi giá trị m hai đường thẳng y = 2x + 3+m y = 3x + 5- m cắt điểm trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với −1 x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 10 (d’): y = Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) B(-1;3) Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = x + (d2): y = − x + 2 a/ Vẽ (d1) (d2) hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Ox , C giao điểm (d1) (d2) Tính chu vi diện tích tam giác ABC (đơn vị hệ trục tọa độ cm)? Bài 9: Cho đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) víi m ≠ (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị m (d1) // (d2) b; Với giá trị m (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao ®iÓm Khi m = c; C/m r»ng m thay đổi đờng thẳng (d1) qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B TÝnh BA ? Bài 10: Cho hµm sè : y = ax +b a; Xác định hàm số biết ®å thÞ cđa nã song song víi y = 2x +3 qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo đờng thẳng với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với đờng thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị m để đờng thẳng song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2 CHủ đề 3: hệ hai phơng trình bậc hai ẩn I kháI niệm: Phơng trình bậc hai ẩn: +Dạng: ax + by = c a; b; c hệ số đà biết( a b 0) + Một nghiệm phơng trình cặp số x0; y0 thỏa mÃn : ax0 + by0 = c + Phơng trình bậc hai ẩn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiệm + Tập nghiệm đợc biểu diễn đờng thẳng (d): ax + by = c NÕu a ≠ 0; b đờng thẳng (d) đồ thị cđa hµm sè a c bËc nhÊt: y = − x + b b Hệ hai phơng trình bËc nhÊt hai Èn: ax + by = c.(1) + D¹ng: , , , a x + b y = c (2) + NghiƯm cđa hƯ lµ nghiƯm chung hai phơng trình + Nếu hai phơng trình nghiệm chung ta nói hệ vô nghiệm + Quan hệ số nghiệm hệ đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phơng trình (1) đợc biểu diễn đờng thẳng (d) Sách hôm sống ngày mai Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 -Phơng trình (2) đợc biểu diễn đờng thẳng (d') *Nếu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm nhÊt *NÕu (d) song song với (d') hệ vô nghiệm *Nếu (d) trùng (d') hệ vô số nghiệm Hệ phơng trình tơng đơng: Hai hệ phơng trình đợc gọi tơng đơng với chúng có tập nghiệm Ii.phơng pháp giảI hệ phơng trình: Giải hệ phơng trình phơng pháp thế: a) Quy tắc thế: + Bớc 1: Từ phơng trình hệ đà cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phơng trình thứ hai để đợc phơng trình (chỉ ẩn) + Bớc 2: Dùng phơng trình để thay cho phơng trình thứ hai hệ (phơng trình thứ thờng đợc thay hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn cã đợc bớc 1) Ví dụ: xét hệ phơng trình: x − y = 1.(1) 3 x + y = 3.(2) + Bíc 1: Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta biĨu diƠn x theo y ( gäi lµ rót x) ta cã: x = + y.(*) Thay x = + y.(*) vào phơng trình (2) ta đợc: 3(1 + y ) + y = 3.(**) + Bớc 2: Thế phơng trình (**) vào phơng trình hai hệ ta có: x = + y 3(1 + y ) + y = b) Gi¶i hƯ : x = + y x = + y x = + y x =1 ⇔ ⇔ ⇔ y =0 3(1 + y ) + y = 3 + y + y = y = VËy hệ phơng trình có nghiệm (x = 1; y = 0) Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bớc 1: Cộng hay trừ vế hai phơng trình hệ hệ phơng trình đà cho để đợc phơng trình + Bớc 2: Dùng phơng trình thay cho hai phơng trình hệ (và giữ nguyên phơng trình kia) Lu ý: Khi hệ số ẩn đối ta céng vÕ theo vÕ cđa hƯ Khi c¸c hƯ sè cđa cïng mét Èn b»ng th× ta trõ vÕ theo vÕ cđa hƯ Khi hƯ sè cđa cïng ẩn không không đối ta chọn nhân với số thích hợp để đa hệ số ẩn đối (hoặc nhau).( tạm gọi quy đồng hệ số) tập: Giải hệ phơng trình phơng pháp x + y = x − y = m 3 x + y = 8 x + y = 2 x + y = x − y = 2 x − y = 2 x + y = 3 x − y = 5 x − y = x + y = − x + y = x + y = − x − y = 2x − 3y = 3 x + y = −2 x − y = −4x + 6y = Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số 2 x − 11y = −7 3 x + y = 2 x + y = 10 x + 11 y = 31 2 x − y = 2 x y = Sách hôm sèng ngµy mai Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 3 x + y = −2 − x + y = 2 x − y = 11 3 x − y = −3 6 x − y = −7 − x + y = 3 x + y = 2 x + y = 3 x − y = 2 x − y = 6 x − 15 y = 6 x − y = Đặt ẩn phụ giải hệ phơng trình sau 1 x + y = x − + y −1 = 2( x + y ) + 3( x − y ) = ( x + y ) + 2( x − y ) = 1 − = − =1 x y x − y Các tập tự luyện Bài Giải hệ phơng trình sau : x − y = −2 a) 2 x − y = x + y = c) 2 x − y = −4 3x + y = −2 e) 6 x + y + = 2 x + y = b) − 10 x − y = 20 2 x + y = −4 d) 5 x + y = −9 x y 2 − =1 f) x + 2y = Bài : Giải hệ phơng trình sau : 1 1 x + y = x − y − = x + 2y − x − 2y =1 a) b) c) 1 − = 3 + −1= 20 + = x y x y − x + 2y x − 2y ( m − 3) x + y = Bài : Cho hệ phơng trình x y = a) Giải hệ phơng trình m = b) Với giá trị m hệ phơng trình nhận cặp số ( x= ; y =- 6) làm nghiệm c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm ax y = Bài : Cho hệ phơng trình x + ay = a) Giải hệ phơng trình a = b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm tìm nghiệm c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm ax y = a Bài : Cho hệ phơng trình x + y = a + a) Gi¶i hƯ phơng trình a = -2 b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm nhất, tính x ; y theo a c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mÃn: x - y = d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mÃn x y số nguyên x + (m 4) y = 16 Bài :a) Giải biện luận hệ phơng trình: (I) (4 m) x 50 y = 80 Sách hôm sống ngày mai Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 b) Trong trêng hỵp hệ phơng trình (I) có nghiệm hÃy tìm m để x+y lớn Bài 7* : Giải phơng trình sau : a) b) 8+ x + x =5 CHđ ®Ị 4: − x2 + x2 + = h×nh häc I hƯ thøc tam giác vuông: Hệ thức cạnh đờng cao: + b = a.b , ; c = a.c , + h = b , c , + a.h = b.c 1 + = , + , h b c + a2 = b2 + c2 + a = b, + c, + b b, c c, = ; = c c, b2 b, Hệ thức cạnh góc: Tỷ số lợng giác: D K D K Sin = ; Cos = ; Tg = ; Cotg = H H K D Tính chất tỷ số lợng giác: Tgα = Cotgβ Sinα = Cosβ 1/ NÕu α + β = 90 Th×: Cotgα = Tgβ Cosα = Sinβ 2/Víi α nhọn < sin α < 1, < cos α < *sin2 α + cos2 α = *tg α = sin α /cos α *cotg α = cos α /sin α *tg α cotg =1 Hệ thức cạnh góc: + Cạnh góc vuông cạnh huyền nhân Sin góc ®èi: b = a.SinB.; c = a.SinC + C¹nh gãc vuông cạnh huyền nhân Cos góc kề: b = a.CosC.; c = a.CosB + Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân Tg góc đối: b = c.TgB.; c = b.TgC + Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân Cotg góc kề: b = c.CotgC ; c = b.CotgB Bài Tập áp dụng: Bi 1: Cho tam giác ABC vuông A Biết b = cm, c = cm Giải tam giác ABC S¸ch hôm sống ngày mai 10 Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 a) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m b) H·y m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn tìm giá trị Lớn Giải: a) phơng trình: x2 + 2(m-3)x + 2m -15= (ẩn x) (a=… ;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta cã : ∆'=……………………………………………………………………………………… = m2-8m+24 = m2-2m(… )+(….)2 -………+24 =(… -……)2 +……… NhËn thÊy: (… -……)2 với giá trị m => ( -)2 + > với giá trị m Hay '> với giá trị m => phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m b) Theo a) phơng trình (1) có hai nghiệm ph©n biƯt víi mäi m = (I) ¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã: = L¹i cã: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (+) Thay (I)vào A ta đợc : A= -2(m-3)(… -……) =……………………………………………… = - 4m2+ 42m - 90 -A = 4m2- 42m - 90 = (2m)2-2.2m(… )+(….)2 -………- 90 =(……-……)2 -……… NhËn thÊy: (… -……)2 ≥ víi giá trị m ( -)2 - với giá trị m Hay -4A với giá trị m A với giá trị cđa m DÊu "=" x¶y ……………=0 m=……… Vậy giá trị Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= (1) (Èn x) HÃy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ đó(x1 , x2 nghiệm phơng trình (1) ) Giải: phơng trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= (1) (Èn x) (a=… ;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta cã : ∆'=……………………………………………………………………………………… = 6m+18 Để hpơng trình (1)có nghiệm ' hay m ≥ …… Lóc ®ã theo Vi-et ta cã: A= x1 + x2 =………………… mµ m …….=> 6m……… 6m+ Hay A……… DÊu "=" x¶y m = Vậy A có giá trị nhỏ m= Bạn hÃy tự phân chia b ớc toán tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức nghiệm ph ơng trình bậc hai Bài 23 : Cho phơng trình x2 + (m+1)x + m = (Èn x) a) Chøng minh phơng trình có nghiệm với m b) HÃy tính x21x2 + x22x1 theo m c) Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc :E = x21x2 + x22x1 d) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt nghiệm gấp đôi nghiệm Bài 24 : Cho phơng trình: x2 + mx + m - = (1) (Èn x) a) Chøng minh Phơng trình (1) có nghiệm với m b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2(x21 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1) Sách hôm cuéc sèng ngµy mai 19 Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Bài 25 : Cho phơng trình: x - (k+1)x + k = (1) Èn x tham sè k a) Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm với mäi k b) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiƯm phơng trình (1) Tính biểu thức A = x21x2 + x22x1 +2007 theo m Tìm giá trị nhỏ A Bài 26 Cho phơng trình: : x2 + 2mx + m2 + 4m + = (1) (ẩn x) a)Tìm giá trị m để phơng trình (1)có nghiệm b)Tìm giá trị nhỏ :A=x1+x2 c)Tìm giá trị nhỏ :B=x1+x2+x1.x2+2007 Bài 27 *: Cho phơng trình: x2 - (m+1)x + m2 -2m + = (ẩn x) a) Tìm giá trị m để phơng trình vô nghiệm b) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm phân biệt Viết nghiệm theo m d) Tìm m để A = x21 + x22 đạt giá trị lớn e) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc B = x1 + x2 Bµi 28 : Cho phơng trình : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = (Èn x) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) Tìm giá trị lớn A = x1x2 - 2x1 - 2x2 Bµi 29 : Cho phơng trình: x2 - (k-3)x + 2k + = (1) (ẩn x) a) Với giá trị k phơng trình (1) có nghiệm b) Với điều kiện phơng trình (1) có nghiệm hÃy tính P = x1 + x2 ; S = x1 x2 c) Viết hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập với k Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập với m phơng trình sau a) x2 - (2m+5)x + m + = b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = c) x2 + (m-1) x+ m2 + 5m = d) (m-1)x2 - 2mx + m + = 2 Bài 31 : Cho phơng trình: x - (2m-1)x+ m - m - = (1) (m tham số) a) Tính để chứng tỏ phơng trình (1) có nghiệm phân biệt Tìm nghiệm b) Tính A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m c) Tìm m để A Bài 32 : Cho hai phơng trình : x2 - 7x + = x2 + (m+1)x + 24 = Xác định m để hai phơng trình có nghiệm chung Bài 33 : Cho hai phơng trình : x2 + x + m = x2 + mx + = a)Với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung b) Với giá trị m hai phơng trình tơng đơng Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau cã nghiÖm chung 2x2 - (3m+2) x + 12 = 4x2 - (9m-2)x + 36 = Bµi 35 : Xác định m n để hai phơng trình sau tơng đơng x2 +(3m+2n)x - = x2 + (2m-3n)x + 2n = Bµi 36 : Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = vµ x2 + p2x + q2 = BiÕt r»ng: p1p2 = 2(q1 + q2) CMR: Ýt nhÊt mét hai phơng trình có nghiệm Bài 37 : Chứng minh hai phơng trình ax2 + bx + c = (1) vµ a1x + b1x + c1 = (2) Cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung th× (ac1 - a1c)2 = (ab1 - a1b) (bc1-b1c) Mét sè toán tổng hợp phơng trình bậc hai Bài 38: Cho phơng trình: x2 - 2(m+1) x +m-4 = (1) a)Giải phơng trình m=1 b)CMR phơng trình có nghiệm phân biệt Sách hôm cuéc sèng ngµy mai 20 Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 c)Gọi x1,x2 nghiệm phơng trình(1).CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào m d)Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= x12 +x22 Bài 39: Cho phơng trình: x2 - (k+1) x +k = (1) a)Giải phơng trình k = 2004 b)CMR phơng trình có nghiệm c)Gọi x1,x2 nghiệm phơng trình Tính B= x12 + x22 - 16 x1.x2 theo k Tõ tìm giá trị nhỏ B d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mÃn x12 + x22 =5 e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm Bài 40:Cho phơng trình: x2 - (a-1) x - a2 +a - = (1) 1) CMR phơng trình (1)luôn có nghiệm trái dấu với a 2)Gọi x1,x2 nghiệm phơng trình Tính S= x12 + x22 theo a Từ tìm giá trị nhỏ S 3)lập hệ thức liên hệ x1,x2 độc lập với a 1 4)Tìm a để nghiệm x1,x2 thoả mÃn + nhận giá trị dơng x1 x Bài 41:Cho phơng trình ẩn x : (m+1)x2 + x +m2 - 1= a) Giải phơng trình với m =-1 b)Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu c)Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu có nghiệm Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - = (1) 1.Gi¶i phơng trình a=1 CMR phơng trình luôn có nghiệm phân biệt với a khác -1 Tìm a để phơng trình có nghiệm trái dấu Tìm a để phơng trình có nghiệm dấu nghiệm gấp đôi nghiệm 5.Tìm a để phơng trình có nghiệm x1,x2 thoả mÃn nghiệm lớn nghiệm nhỏ Bài 43:Cho phơng trình ẩn x : x2 + p x +q = 0(1) a)Không giải phơng trình tính theo p,q biÓu thøc 1 + A= theo p ,q 2(2 x + 3) 2(2 x + 3) b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiƯm lµ vµ x1 + x2 +1 c)lập phơng trình bậc hai có nghiệm x1 − x2 −1 d)Gi¶ sư p+q = CMR phơng trình (1)và phơng trình câu (c) có nghiệm chung e)CMR phơng trình (1) phơng tr×nh: x2 + n x +m = cã nghiƯm chung (n+p)2 +(m- p)(mq-np) = Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x2 + 2m x +2m-1 = (1) 1)CMR phơng trình (1)luôn có nghiệm với m 2)Giả sử x1,x2 nghiệm phơng trình (1) a.Tìm hệ thức liên hệ x1,x2 độc lập với m b Tìm m để x1- x2 =6 c Tìm giá trị lớn biểu thức A== x12 x2 + x22 x1 3)Tìm m để phơng trình có nghiệm có nghiệm lớn 4)Tìm m để phơng trình có nghiệm có nghiệm nhỏ 5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn 1 CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn b> Gọi M tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE CMR tứ giác ABMC nội tiếp Bài 6: cho đờng tròn (0) điểm A đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (0) B C gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn ( MB ; MC ).Từ M kẻ MH vuông góc với BC, MK vu«ng gãc víi AC, MI vu«ng gãc víi AB a> chøng minh tø gi¸c ABOC néi tiÕp b> chøng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK c> chứng minh MI.MK= MH2 Bài 7: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB M điểm đờng tròn(MA; M B) C điểm cạnh AB (CA; C0;CB) đờng vuông góc MC M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A B với đờng tròn (0) E va F chứng minh a> Tứ giác BCMF nội tiếp đớng tròn b> Tam giác ECF vuông C Bài 8: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB CC cắt H a)chứng minh tứ giác BCBC nội tiếp Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCBC b)Tia AO cắt đờng tròn (O) D, cắt BC I CMR tứ giác BIDC néi tiÕp, tõ ®ã suy AO ⊥ B’C’ c)Chøng minh H ®èi xøng víi D qua trung ®iĨm M BC Bài : cho (O; R) hai đờng kính AB CD vuông góc với E điểm cung nhỏ BC AE cắt OC ë F, DE c¾t AB ë N a Chøng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng tròn b Chøng minh : OE ; BF ; CM ®ång quy Sách hôm sống ngày mai 26 Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Bài 10 : cho hai đờng tròn (O1) ; (O2) cắt E F ; O1O2 cắt (O1) A, C ; cắt (O2) B, D (sắp xếp theo thứ tự A, B, C, D) cắt EF H P điểm tia đối tia EH CP cắt (O1) M ; BP cắt (O2) N ; AM cắt DN I chứng minh : a Tứ gi¸c MPNI néi tiÕp b HA HC = HB HD c Tø gi¸c BNMC néi tiÕp d H ; I ; P thẳng hàng tứ giác ANMD nội tiếp II-Chứng minh đại lợng a.b=c.d (a,b,c,d độ dài đoạn thẳng) Bài : cho điểm A đờng tròn (O) từ A kẻ tiếp tuyến AT tới đờng tròn cát tuyến AEF ; APQ CMR : AT2 = AE AF = AP AQ Bµi 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O.Gọi I giao điểm hai đờng chéo AC BD.CMR :IA.ID = IB IC Bµi : Cho BAC vuông A,đờng cao AH, gọi P,Q theo thứ tự hình chiếu H AB AC a Chøng minh r»ng : tø gi¸c BPQC néi tiếp đờng tròn b Chứng minh : AP AB = AQ AC c Gäi O vµ O’ thø tự trung điểm BH HC Gọi I giao điẻm PQ AH d CMR : OI2 = OH OO Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB CD vuông góc với nhau.Trên cung nhá BC lÊy ®iĨm M.Gäi dao ®iĨm cđa AM vµ CD lµ K CMR :AM.AK =AD2 = BD2 = 2R2 AB Bài : Cho đoạn thẳng AB , kẻ Bx AB Trên Bx lấy điểm O cho BO = Tia AO cắt đờng tròn (O ; OB) D E ( D nằm A O) đờng tròn (A ; AD) cắt AB C a Tìm vị trí tơng ®èi cđa (A ; AC) víi ®êng trßn ( O ; OE) b Chøng minh r»ng : DE2 = AD AE c AC2 = BC AB Bµi : cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi K tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC AK cắt BC I cắt đờng tròn (O) P Kẻ đờng kính PQ Gọi E F thứ tự giao điểm BK CK với ®êng th¼ng AQ Chøng minh r»ng a PC2 = PI PA b ®iĨm B, C, E, F cïng thc đờng tròn Bài 7:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) (AC>AB) gọi D điểm cung nhỏ BC, P giao điểm AB CD, tiếp tuyến đờng tròn C cắt tiếp tuyến D cắt AD thứ tự E vµ Q a Chøng minh r»ng : DE // BC b Chøng minh : DP DC = DA DQ c Chøng minh : DE // PQ 1 = + d Gọi F giao điểm AD vµ BC Chøng minh CE CQ CF III Chøng minh đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn Bài : Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kÝnh AB vµ hai tia tiÕp tun Ax, By cđa Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn (O) C (c A, B) cắt Ax, By lần lợt E, F a Chứng minh OE vuông góc với OF b Chứng minh tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB c Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OEF Từ chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác OEF Bài : Cho đờng tròn (O), đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn A vẽ ®êng trßn (I) ®êng kÝnh OA a Chøng minh hai đờng tròn (O) (I) tiếp xúc với b Qua A vẽ cát tuyến cắt đờng tròn (I) đờng tròn (O) lần lợt M C CMR : MA= MC c Đờng thẳng OM cắt d B Chứng minh : BC tiếp tuyến (O) Sách hôm sống ngày mai 27 Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Bµi : cho nưa đờng tròn đờng kính AB C ; D hai điểm (C nằm A D) AC AD cắt tiếp tuyến Bx nửa đờng tròn lần lợt E F a Chứng minh ABD = AEF ; ABC = AEB b Chøng minh tứ giác CDEF nội tiếp đờng tròn c Gọi I trung điểm FB.Chứng minh rằngDI tiếp tuyến nửa đờng tròn d Giả sử CD cắt Bx G, phân giác CGE cắt AE AF thứ tự M N Chứng minh tam tiác AMN cân Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) E điểm cung AB Hai dây EC, ED cắt AB thứ tự P Q dây AD EC kéo dài cắt I Các dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh r»ng a Tø gi¸c CDIK néi tiÕp b Tø gi¸c CDPQ néi tiÕp c IK song song víi AB d Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQP tiếp xúc với EA A Bài : Cho tam giác cân ABC(CA=CB) I trung điểm AB, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB A, cắt CI H a Chứng minh : H trực tâm tam giác ABC b Gọi B điểm đối xứng víi B qua AC Chøng minh r»ng B’ cịng thc đờng tròn (O) c Chứng minh ngợc lại : H trực tâm tam giác ABC đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHC tiếp xúc với AB Bài : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R dây cung thay đổi MN=R (M nằm cung AN) AM cắt BN ë C ; AN c¾t BM ë D a Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp đờng tròn tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN b Chøng minh r»ng CD vu«ng gãc víi AB c Chøng minh OM tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiÕp tø gi¸c CMDN d Chøng minh r»ng CD =AB CD song song với đờng thẳng cố định Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C Vẽ hai nửa đờng tròn đờng kÝnh AB vµ BC ( vÏ cïng mét phÝa cđa AC) đờng thẳng vuông góc với AC B lÊy ®iĨm D cho gãc ADC = 900 gäi giao điểm DA DC với nửa đờng trònl E F Chứng minh a EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn b Tứ giác AEFC nội tiếp đờng tròn c Xác định vị trí điểm B đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF hình vuông Bài : Cho tam giác ABC nhọn AB < AC nội tiếp đờng tròn (O,R) H giao điểm đờng cao AM ; BN ; CP Q điểm đối xứng H qua trung điểm E cạnh BC Chứng minh góc PNB = BNM = CBQ Chøng minh r»ng : Q thuéc ®êng tròn tâm (O) Từ A kẻ đờng thẳng xy song song với NP đờng thẳng cắt đờng thẳng BC ë K Chøng minh r»ng xy lµ tiÕp tuyÕn đờng tròn (O) AK2 = KB BC Gọi I điểm đối xứng O qua BC, tính HI theo R IV.Chứng minh hai đờng thẳng song song vuông góc Bài : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O) đờng cao AH cắt đờng tròn (O) D, kẻ đờng kính AOE a Chøng minh r»ng : DE song song víi BC b Gọi M điểm cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c Tính bán kính đờng trßn (O) biÕt BC = 24 cm ; IM = 8cm Bài : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, gọi S trung điểm AO, vẽ đờng tròn tâm S qua A a Chứng minh đờng tròn (O) (S) tiếp xúc với A b Một đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (S) M đờng tròn (O) t¹i P Chøng minh r»ng : SM // OP M trung điểm AP OM //BP Bài : Cho hai đờng tròn (O) (O) cắt hai điểm A B, vẽ đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O) C cắt đờng tròn (O) D (A nằm C D), vẽ đờng thẳng qua B cắt đờng tròn (O) E, cắt đờng tròn (O) với F (B nằm E, F) hai đờng thẳng CD EF không cắt bên hai đờng tròn Chứng minh CE // DE Sách hôm cuéc sèng ngµy mai 28 Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Bµi : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự C D Các đờng thẳng AD BC c¾t ë N Chøng minh r»ng a MN // AC b CD MN= CM BD Bài :Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) đờng phân giác góc B, C lần lợt cắt đờng tròn E, F Dây cung EF cắt AC, AB lần lợt H, I a) Chứng minh tam giác FKB EAK cân b) Chứng minh tứ giác FIKN nội tiếp Từ suy IK // AC c) Có nhận xét tứ giác AIKH ? Bài : cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O;R) hai tiếp tuyến B D cắt T a Chứng minh r»ng OT// AB b Chøng minh r»ng : ba ®iĨm O,C,T thẳng hàng c tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R Bài 7: Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC BD vuông góc với I Chứng minh : a) Khoảng cách từ O tới AB nửa độ dài CD b) Đờng thẳng qua I trung điểm BC vuông góc với AD Bài 8: Cho đờng tròn đờng kính BC Một điểm P đờng tròn có hình chiếu BC điểm A ®êng trßn Giao cđa PB, víi PC víi ®êng trßn lần lợt M, N, giao AN với đờng tròn E Chứng minh : a) Bốn điểm A, B, N, P nằm đờng tròn b) EM vuông góc với BC Bài 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O), ACB = 450 Các đờng cao AH, BH tam giác cắt đờng tròn lần lợt P, Q Hai đờng thẳng AQ BP giao S a) Chứng minh PQ đờng kính đờng tròn (O) b) Chứng minh tam giác ASH APQ hình bình hành c) Chứng minh tam giác ASH APQ d) Nếu tam giác ABC có góc B tù kết hay không ? chứng minh điều Bài 10: Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng phân giác góc B,và C lần lợt cắt đờng tròn E& F.Dây cung è cắt AC,AB lần lợt H; I CMR: a) MN//AC b) CD.MN = CM.BD Bài 11:Trong đờng tròn (O) cho 12 dây cung AC BD vuông góc với I CMR a)Khoảng cách từ O tơí AB nửa độ dài CD b)Đờng thẳng qua I trung điểm BC vuong góc với AD Bài 12: Cho đờng tròn đờng kính BC.Một điểm P nằm đờng tròn có hình chiếu BC điểm A đờng tròn Giao điểm PB PC với đờng tròn lần lợt M&N Gọi giao điểm AN với đờng tròn E CMR: a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm đờng tròn b)EN vuông góc với BC Bài 13:Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O),ngoài góc ACB =450 Các đờng cao AH,BH tam giác cắt đờn tròn lần lợt P,Q Hai đờng thẳng AQ ,BP giao S CMR: a)PQ đờng kính đờng tròn(O) b) ACBS hình bình hành c)Các ASH vµ APQ lµ b»ng nhau: d) NÕu ∆ ABC cã góc B tù kết hay không?Chứng minh điều II chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 1cho hai đờng tròn tâm O Ocắt Avà B từ B kẻ đờng kính BOC BOD a chứng minh rằng: ba điểm C,A,D thẳng hàng suy CD = 2OO Sách hôm sống ngày mai 29 Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 b gọi M trung điểm dây cung chung AB CMR ba điêmt O,M,O thẳng hàng c biết OO’= 5cm ; O’B= 3cm ; OB= 4cm tÝnh AB,AC diện tích OBO Bài 3: Cho hai điểm A, B cố định đờng tròn (O) Các điểm C, D di động đờng tròn cho AD//BC C, D phía với dây AB ; M giao điểm AC, BD tiếp tuyến với đờng tròn A D cắt I Chứng minh a Ba điểm I, O, M thẳng hàng b Chứng minh bốn điểm A, B, M, P thuộc đờng tròn c Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC hình số Bài 4: Cho M điểm di động nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM I cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O) K Các tia AH, BM cắt S a Chứng minh tam giác ABS cân.Từ chứng minh S nằm đờng tròn cố định b Chứng minh KS tiếp tuyến đờng tròn (B, BA) c Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt đờng tròn (B, BA) N Chứng minh M, N, A thẳng hàng Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đờng tròn E Kẻ đờng kính AOF a Chứng minh tam giác BCEF hình thang c©n b Chøng minh BAE = CAF c Gäi I trung điểm BC chứng minh H, I, F thẳng hàng VI phơng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy Bài 1: Hai đờng tròn (O) ; (O) cắt A B Đờng thẳng vuông góc với AB B cắt đờng tròn (O) (O) lần lợt C, D Các đờng thẳng CA, DA cắt (O), (O) theo thứ tự E, F Chøng minh a) Tø gi¸c CFED néi tiÕp b) AB phân giác góc FBE c) Các đờng thẳng CF, DE, AB nội tiếp Bài 2:Từ điểm C đờng tròn (O) kẻ cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vuông góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M N a) Chứng minh IN, IM AB đồng quy điểm D b) Chứng minh tiếp tuyến M N qua trung điểm E CD Bài 3: Cho hai đờng tròn (O, R) (O , R) tiếp xúc A(R>R) Đờng nối tâm OO cắt đờng tròn (O) (O) theo thứ tự B C(B C khác A) EF dây cung đờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, BC cắt đờng tròn (O) D VII toán tổng hợp toán khác Bài 1: cho hình vuông ABCD có cạnh cm điểm M thuộc cạnh AD cho AM = cm vÏ ®êng tròn tâm O có đờng kính BM đờng tròn cắt AC E ( khác A ) tính bán kính đờng tròn (O) CMR: DC tiềp tuyến đờng tròn (O) CMR: tam giác BEM tam giác vuông cân tiếp tuyến Bx đờng tròn (O) cắt DC K CMR: M,E,K ba điểm thẳng hàng Bài 2: cho hai đờng tròn (O) và(O) cắt hia điểm Avà B đờng thẳng vuông góc với AB kẻ qua B cắt đờng tròn (O) (O) lần lợt điểm thứ hai C D Lấy điểm M xung nhỏ CB với đờng tròn tâm (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng CMvới đờng tròn tâm (O) N giao điểm hai đờng thẳng CM DN P a tam giàc AMN tam giác ? sao? b CMR: tø gi¸c ACPD néi tiÕp tõ dã suy P thuộc đờng tròn c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O) Q tứ giác BCPQ hình gì? ? d Gọi giao điểm AP CD E CMR: M di động cung nhỏ BC tâm đờng tròn ngoại tiềp tam giác CED thuộc đờng thẳng cố định Sách hôm sèng ngµy mai 30 Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Bµi 3: cho nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB K điểm cung AB M điểm cung AK Trên tia BM lấy điểm N cho BN =AM a chøng minh r»ng: tam gi¸c AMK = tam gi¸c BNK b tam giac MNK vuông cân MK tia phân giác góc AMN c M chuyển động cung AK đờng vuông góc với BM kẻ từ N qua điểm cố định Bài 4: cho đờng tròn (O) ®êng kÝnh AB I vµ K thuéc AB cho OI= OK M thuộc (O) MO,MI ,MK cắt (O) lần lợt E,C,D đờng thẳng CD cắ AB F EI cắt DE N MI cắt EF H a CMR: FA.FB = FC.FD b M? MI =IH c CM: tø gi¸c ENCH néi tiÕp d CMR: EF tiếp tuyến tâm (O) Bài 5.Cho đờng tròn tâm O ,dây AB , C nằm (O) , C thuộc tia AB P điểm nằm cung lớn AB , kẻ đờng kính PQ cắt dây AB D ,tia CP cắt đờng ròn I , AB cắt QI K Chøng minh r»ng tø gi¸c PDKI néi tiÕp Chøng minh QB2 = QK.QI Chøng minh CI.CP = CK.CD Chứng minh IC phân giác góc ®Ønh I cđa tam gi¸c AIB chøng minh CK.CD = CA.CB Bµi Cho (O;R) tiÕp xóc ngoµi (O'; r) (R > r) C AC,BC hai đờng kính (O) (O') DE dây (O) vuông góc với AB trung điểm M AB; đờng thẳng DC cắt (O') F Chứng minh rằng: Tứ giác AEBD hình gì? điểm B,E,F thẳng hàng Tứ giác MDBF nội tiếp DB cắt (O') G Chứng minh DF,EG,AD đồng quy 5.DE = MF MF tiếp tuyến (O') Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ,P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC ,PD cắt dây AB E,F ; dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC, PD kéo dài ncắt K So sánh hai góc CID CKD Chứng minh tứ giác CDEF néi tiÕp Chøng minh IK song song víi AB Chøng minh AP lµ tiÕp tun cđa đờng tròn qua điểm A,F,D số toán hình học lớp Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chứng minh r»ng: C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H vµ M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Chøng minh ED = BC Chøng minh DE tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính ®é dµi DE biÕt DH = Cm, AH = Cm Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D Các đờng thẳng AD BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD AB Chøng minh AC BD = Chøng minh ∠COD = 90 Sách hôm sống ngµy mai 31 Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Chøng minh OC // BM Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn đờng tròn đờng kính CD Chứng minh MN AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O trung ®iĨm cđa IK Chøng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chøng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyến đờng tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE Bài Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, tõ P kỴ tiÕp tun tiÕp xóc víi (O) M Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn Chứng minh BM // OP Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K a) Chứng minh rằng: EFMK tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chứng minh BAF tam giác cân d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E) Chứng minh AC AE không đổi Chøng minh ∠ ABD = ∠ DFB Chøng minh CEFD tứ giác nội tiếp Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn cho AM < MB Gọi M điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, MA Gọi P chân đơng vuông góc từ S ®Õn AB Chøng minh ®iĨm A, M, S, P nằm đờng tròn Gọi S giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PSM cân Chứng minh PM tiếp tuyến đờng tròn Sách hôm cuéc sèng ngµy mai 32 Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011 Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp BD BM = CB CF Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đờng tròn P Chứng minh : Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nửa đờng tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vỊ mét phÝa cđa AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K) Chứng minh EC = MN Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung nửa đờng tròn (I), (K) Tính MN Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng tròn CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG Các đờng thẳng AC, DE, FG đồng quy Bài 17 Cho tam giác ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M kh«ng trïng B C, H ) ; tõ M kẻ MP, MQ vuông góc với cạnh AB AC Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp hÃy xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH Chøng minh OH ⊥PQ Bµi 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H không trùng O, B); đờng thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M đờng tròn ; MA MB thứ tự cắt đờng tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Sách hôm sống ngày mai 33 ... Bài 23 Một ôtô từ A cần tới B lúc 10 cách B 40 km Ngời lái xe thấy giữ nguyên vận tốc đến B lúc 10 10 phút Ngời đà tăng vận tốc thêm 10 kkm/h đến B lúc 10 giê kÐm 10 TÝnh vËn tèc lóc đầu ô tô Bài... đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt Bài 5: Víi giá trị m hai đường thẳng y = 2x + 3+m y = 3x + 5- m cắt điểm trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với −1 x cắt trục... chung công việc 20 phút xong Nếu An làm Bình làm hai ngời làm đợc công việc Hỏi ngời làm làm công việc xong Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 20 bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vòi thứ 2 chảy