PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học : 2009 – 2010 Môn : Tóan Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y 2 + z 2 ) + y ( x 2 + z 2 ) + z ( x 2 + y 2 ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x 4 – 6 x 3 + ax 2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức : P = + − +− + + − + − 2 10 2: 2 1 36 6 4 2 3 2 x x x xxxx x a) Rút gọn p . b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 4 3 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên . Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3ñieåm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . Hết ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học : 2008 – 2009 Môn : Tóan Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Ta có M = 3 xyz + x ( y 2 + z 2 ) + y ( x 2 + z 2 ) + z ( x 2 + y 2 ) = ( xyz + xy 2 + yx 2 ) + ( xyz + xz 2 + zx 2 ) + ( xyz + yz 2 + y 2 Z ) ( ½ ñ ) = xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) ( ½ ñ ) = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ ñ ) Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ ñ ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Ta có thể viết : A = x 4 – 6x 3 + ax 2 + bx + 1 = ( x 2 – 3x + k ) 2 = x 4 + 9x 2 + k 2 – 6x 3 + 2kx 2 – 6kx ( 1/2ñ ) = x 4 – 6x 3 + ( 9 + 2k )x 2 – 6kx + k 2 ( 1/2 ñ ) Đồng nhất 2 vế ta có : a = 9 + 2k (1) ( 1/2ñ ) b = - 6k (2) 1 = k 2 (3) Từ (3) ta suy ra : k = ± 1 ( 1/2 ñ ) Nếu k = - 1 ; b = 6 và a = 7 ( ½ ñ ) Ta có : A = x 4 – 6 x 3 + 7 x 2 + 6 x + 1 = ( x 2 – 3 x – 1 ) 2 ( ½ ñ ) Nếu k = 1 ; b = - 6 ; a = 11 ( ½ ñ ) Ta có : A = x 4 – 6 x 3 + 11 x 2 – 6x + 1 = ( x 2 – 3x + 1 ) 2 ( ½ ñ ) Câu 3 : ( 4 ñieåm ) a) p = 2 6 : 2 1 2 2 )2)(2( + + + − − −+ xxxxx x = xxxxx xxx − = − −= ++− −++− 2 1 2 1 2 6 : )2)(2( 2)2(2 ( ½ ñ ) b) Với x ≠ 0 ; x ≠ ± 2 thì biểu thức p xác định ( 1/4 ñ ) /x/ = 4 3 nên x = 4 3 hoặc x = - 4 3 ( 1/4 ñ ) + Nếu x = 4 3 thì p = 5 4 4 3 2 1 = − ( ½ ñ ) + Nếu x = - 4 3 thì p = 11 4 4 3 2 1 = + ( ½ ñ ) c) Với p = 7 thì 7 2 1 = − x ⇒ x = 7 13 ( thỏa mãn điều kiện của x ) ( ½ ñ ) d) Để p có giá trị nguyên thì 2 - x phải là ước của 1 . ( ½ ñ ) Từ đó ta có : x = 1 ; x = 3 ; ( ½ ñ ) Vậy để p nguyên lúc đó x = 1 ; x = 3 ; ( ½ ñ ) Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Vì a 2 + b 2 + c 2 = 1 nên - 1 ≤ a , b , c ≤ 1 ⇒ a + 1 ≥ 0 ; b + 1 ≥ 0 ; c + 1 ≥ 0 ( ¼ ñ ) Do đó : ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) ≥ 0 ( ¼ ñ ) ⇔ 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1) ( 1/2 ñ ) Cộng 2 vế của (1) cho 1 + a + b +c + ab + bc + ca . Ta có : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 1 + a + b + c + ab + bc + ac ( 1/2 ñ ) Ta biết : 1 + a + b + c + ab + bc + ac = 2 1 ( 1 + a 2 + b 2 + c 2 + 2a + 2b + 2c + 2 ab + 2 bc + 2 ac ) = ( 1/2 ñ ) 2 1 ( 1 + a + b + c ) 2 ≥ 0 ( vì a 2 + b 2 + c 2 = 1 ) ( 1/2 ñ ) Vậy abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 0 ( 1/2 ñ ) Câu 5 : ( 3ñieåm ) A M K G B C N ta có : 3 2 ; 3 1 == BK BG BK GK ( ¼ ñ ) Do MN // AC nên 3 1 === BK GK BC CN AB AM ( ¼ ñ ) Mà 3 1 = + + BCAB NCAM ( ¼ ñ ) vì AM + NC = 16 (cm) và AB + BC = 75 – AC ( 3/4 ñ ) Do đó : 3 1 75 16 = − AC ⇒ AC = 27 (cm) ( 3/4 ñ ) Ta lại có : 18 3 2 273 2 =⇒=⇒= MN MN AC MN (cm) ( 3/4ñ ) Câu 6 : ( 4 ñieåm ) A Q ( 1/2 ñ ) p H N B M C Gọi p và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB . Ta có tam giác ANQ vuông ở Q có góc A = 60 0 ⇒ ANQ = 30 0 ( 1/2 ñ ) ⇒ AQ = 2 1 AN ( 1/2 ñ ) Tương tự đối với tam giác MpB ta có pB = 2 1 BM ( 1/2 ñ ) Do đó : AQ + pB = 2 1 2 1 2 1 =+ BMAN (AN + NC ) = AC 2 1 ( 1/2 ñ ) Kẻ MH ⊥ QN . Tứ giác MpQH là hình chữ nhật ( 1/4 ñ ) Ta có MN ≥ MH = AB – ( AQ + Bp ) = AB - ABAC 2 1 2 1 = ( 1/2 ñ ) Vậy đọan MN có độ dài nhỏ nhất bằng 2 1 AB . ( 1/4 ñ ) Khi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AC ( 1/2 ñ ) . gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y 2 + z 2 ) + y ( x 2 + z 2 ) + z ( x 2 + y 2 ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định