Nguyễn Thanh Ninh- Email: ngninh1670@gmail.com website: http://www.thcsthanhluu.hanam.edu.vn Đ Ạ I H Ọ C QU Ố C GIA HÀ N Ộ I TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 MÔN THI: TOÁN (Vòng II) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I: 1) Giải hệ phương trình: 3 3 x y 1 y x xy 7xy 7y x 2) Giải phương trình: 2 x 3 1 x 3 x 1 1 x Câu II: 1) Giải phương trình nghiệm nguyên ẩn x, y: 2 2 5x 8y 20412 2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 1 , tìm giá trị cực tiểu của biểu thức: 2 2 1 1 P 1 x y x y Câu III: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp HBC (P B,C,H) và nằm trong tam giác ABC. PB cắt (O) tại M≠B, PC cắt (O) tại N≠C. BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q≠A. 1) Chứng minh M,N,Q thảng hàng 2) Giả sử AP là phân giác MAN . Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC Câu IV: Giả sử dãy số thực có thứ tự 1 2 192 x x x thỏa mãn điều kiện 1 2 3 n 1 2 192 x x x x 0 x x x 2013 Hãy chứng minh 192 1 2013 x x 96 Hết Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………….… Số báo danh:………………… Nguyễn Thanh Ninh- Email: ngninh1670@gmail.com website: http://www.thcsthanhluu.hanam.edu.vn ĐÁP ÁN Câu I 3 3 3 3 3 2 2 1 2 2 1 1 2 2 x y 1 y x xy 1) x y 1 7 7xy xy x y 8 3xy x y 6xy 0 7xy y x (x y 2)(x xy y 2x 2y 4) 0 a) x y 2 0 y 2 x 7x(2 x) 2 x x 7 x 1 7x 12x 5 0 5 x 7 5 9 (x 1;y 1);(x ;y 7 ) 7 7 b) 2 2 2 2 2 2 2 3(x y) (x y) (x y) 3(x y) (x y 4) x xy y 2x 2y 4 2 .2 2 0 4 4 2 4 4 Dấu “=” xảy ra x y 0 x y 2 x y 4 0 (không thỏa mãn) 2 2 2 2) x 3 1 x 3 x 1 1 x( 1 x 1) x 1 x 1 2 x 1 2 1 x 1 x 0 x 1 x 1 1 2 x 1 1 1 x x 1 1 0 ( x 1 1)( x 1 1 x 2) 0 a) x 1 1 0 x 1 1 x 0 b) x 1 1 x 2 0 x 1 1 x 2 2 1 x 2 x 0 Câu II: a) Với mọi số nguyên n ta luôn có 2 n 1 mod 3 hoặc 2 n 0 mod 3 Do x,y Nếu 2 2 2 2 x 0 mod 3 ;y 1 mod 3 20412 5x 8y 2 mod 3 (vô lí) 2 2 2 2 x 1 mod 3 ;y 0 mod 3 20412 5x 8y 2 mod 3 (vô lí) 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 x 0 mod 3 ;y 0 mod 3 x 0 mod 3 ;y 0 mod 3 x 3x ;y 3y 5.9x 8.9y 20412 5x 8y 2268 Tương tự: 2 2 1 2 1 2 2 2 x 3x ;y 3y 5x 8y 252 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 x 3x ;y 3y 5x 8y 28 5x 28 8y 0 7 8y 28 y y 0; 1 vì y 4 y 0 x y 1 x 2 x;y 1; 2 ; 1;2 ; 1; 2 ; 1;2 b) 2 2 2 2 1 1 2 1 P 1 x y 1 x y 2 xy x y xy xy 1 15 1 15 1 15 2 xy 2 2 17 16xy 16xy 2 16xy 2 4 Nguyễn Thanh Ninh- Email: ngninh1670@gmail.com website: http://www.thcsthanhluu.hanam.edu.vn Câu III. a) Dễ dàng chứng minh được 0 FPE BPC BHC 180 BAC Do đó tứ giác AFPE nội tiếp AFN AEP Ta có AQN AFN;AQM AEM Nên 0 AQN AQM AEP AEM 180 Suy ra ba điểm M, Q, N thẳng hàng. b) AFQ ANQ ABM QF//PE Tương tự : QE//PF Suy ra: EQFP là hình bình hành ⇒PQ đi qua trung điểm J của EF (1) Mà ta có NAQ QFP QEP MAQ AQ là tia phân giác của góc MAN A,Q,P thẳng hàng. AF AQ AB AP và AE AQ AC AP suy ra AF AE EF//BC AB AC AJ đi qua trung điểm BC Từ (1) và (2) suy ra : PQ≡AJ suy ra PQ đi qua trung điểm của BC. Câu IV: Ta giải luôn bài toán tổng quát: Cho các số thực 1 2 n a a a thỏa mãn 1 2 n a a a 0 và 1 2 n a a a 1 , chứng minh: n 1 2 a a n Thật tự nhiên, ta muốn chia dãy 1 2 n a , a , , a thành 1 dãy âm, 1 dãy dương để phá dấu giá trị tuyệt đối. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 1 2 k k 1 n a a a 0 a a . Lúc đó thì: 1 2 k 1 2 k k 1 n 1 2 k k 1 n k 1 n 1 (a a a ) (a a a ) (a a ) 0 2 (a a a ) (a a ) 1 1 (a a ) 2 Mà 1 2 k 1 k 1 n n 1 1 a a a n n a v a a n n a 2k 2(n k) ª µ ª Tóm lại: n 1 1 1 1 2 a a . 2 k n k n Quay lại với bài toán đặt i i x a 2013 vì 1 2 3 192 1 2 3 192 x x x x a a a a Ta có 192 1 1 1 92 x 2013 x x 2013 1 x 2 201 92 3 96 . J Q H M N F E A B C P . H Ọ C QU Ố C GIA HÀ N Ộ I TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013 MÔN THI: TOÁN (Vòng II) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)