Nguyễn Duy

Phương pháp toạ độ trong kg TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP I. TOẠ ĐỘ ĐIỂM, TOẠ ĐỘ VECTƠ 1. Biểu thức toạ độ của vectơ Với (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)i j k= = = r r r là các vectơ đơn vị ( ; ; )u x y z u xi y j zk= ⇔ = + + r r r r r 2. Các tính chất của vectơ Cho ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z= = r r và số thực k, ta có: ( '; '; ')u v x x y y z z+ = + + + r r ( '; '; ')u v x x y y z z− = − − − r r ( ; ; )ku kx ky kz= r 2 2 2 u x y z= + + r ' ' ' x x u v y y z z =   = ⇔ =   =  r r 3. Tích vô hướng của 2 vectơ Cho ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z= = r r ta có: . ' ' 'u v xx yy zz= + + r r 2 2 2 2 2 2 . ' ' ' ( , ) | |.| | . ' ' ' u v xx yy zz cos u v u v x y z x y z + + = = + + + + r r r r uuuuuur r Hệ quả. . 0u v u v= ⇔ ⊥ r r r r 4. Toạ độ của vectơ xác định bởi 2 điểm Cho ( ; ; ), ( ; ; ) A B B B B B A x y z B x y z= = ta có: ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z= − − − uuur II. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 1. Tích có hướng của 2 vectơ 1 Cho ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z= = r r ta có: Tích có hướng của 2 vectơ là một vectơ xác định: , ; ; ' ' ' ' ' ' y z z x x y u v y z z x x y     =  ÷     r r *Nhận xét: , , ,u v u u v v     ⊥ ⊥     r r r r r r 2. Hai vectơ cùng phương, 3 điểm thẳng hàng * u r cùng phương với , 0v u v   ⇔ =   r r r * Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi ,AB AC uuur uuur cùng phương 3.Ba vectơ , ,a b c r r r đồng phẳng , . 0a b c   ⇔ =   r r r 4. Bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng [ AB, ]. 0AC AD → → → ⇔ = 5. Diện tích tam giác ABC: S= 1 [AB, ] 2 AC → → 6. Thể tích tứ diện ABCD: V= 1 [ AB, ]. 6 AC AD → → → 7. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: V= [AB, ].AA'AD → → → III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1. Phương trình mặt cầu Dạng 1. Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − = Dạng 2. Dạng khai triển của đường tròn 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + = ( 2 2 2 a b c d O+ + − > ) 2 2 2 R a b c d= + + − 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu 2 Phương pháp toạ độ trong kg Cho mặt cầu S(I; R) và mp ( ) α . Gọi H là hình chiếu của tâm I lên mp ( ) α . Đặt d=IH=d(I, ( ) α ). Ta có * ( ) ( )d R s α > ⇔ ∩ = ∅ * d=R ( ) α ⇔ tiếp xúc với (S) tại H *d<R ⇔ ( ) α Cắt (S) bởi đường tròn tâm H, bán kính 2 2 r R d= − PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP I. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0 ( ; ; )M x y z nhận vectơ ( ; ; )n A B C= r làm vectơ pháp tuyến có phương trình: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − = 2. Mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C nhận ,n AB AC   =   r uuur uuur làm vectơ pháp tuyến 3. Phương trình mp theo đoạn chắn Mặt phẳng qua 3 điểm A(a, 0, 0), B(0; b;0), C(0; 0; c) với abc 0≠ có phương trình 1 x y z a b c + + = 4. Các phương trình mặt phẳng đặc biệt Với A, B, C, D đều khác 0 ta có: • Mặt phẳng song song với mp(xOy) có dạng Cz+D=0 • Mặt phẳng song song với mp(xOz) có dạng By+D=0 • Mặt phẳng song song với mp(yOz) có dạng Ax+D=0 Đặc biệt khi D=0 các mặt phẳng trên lần lượt là mặt phẳng (xOy), (xOz), (yOz) • Mặt phẳng (P)//Ox có dạng: By+Cz+D=0 • Mặt phẳng (P)//Oy có dạng: Ax+Cz+D=0 3 • Mặt phẳng (P)//Oz có dạng: Ax+By+D=0 Đặc biệt khi D=0 các mặt phẳng trên lần lượt chứa trục Ox, Oy, Oz II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 MẶT PHẲNG 1.Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng 2. Quan hệ song song của 2 mặt phẳng III. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG. 1. Khoảng cách từ điểm 0 0 0 ( ; ; )M x y z đến mp(P): Ax+By+Cz+D=0 được xác định bởi : 0 0 0 2 2 2 | | ( ,( )) Ax By Cz d M P A B C + + = + + 2. Vị trí tương đối của 2 điểm đối với 1 mp IV. Góc giữa 2 mp Cho 2mp(P): Ax+By+Cz+D=0 (Q): A’x+B’y+C’z+D’=0 Gọi ϕ là góc giữa 2 mp đã cho ta có: 2 2 2 2 2 2 | ' ' '| . ' ' ' AA B B CC cos A B C A B C ϕ + + = + + + + PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1.Phương trình tham số và pt chính tắc Đường thẳng d qua 0 0 0 ( ; ; )M x y z và có vt chỉ phương 1 2 3 ( ; ; )u u u u= r có phương trình tham số: 0 1 0 2 0 3 x x tu y y tu z z tu = +   = +   = +  4 Phương pháp toạ độ trong kg Trường hợp 1 2 3 0 0 0 u u u ≠   ≠   ≠  phương trình chính tắc của d: 0 0 0 1 2 3 x x y y z z u u u − − − = = 2. Quan hệ về vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng a) Cho mp(P): Ax+By+Cz+D=0. Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì d có vectơ chỉ phương là ( ; ; )u A B C= r b) Cho đường thẳng d: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = . Khi đó nếu mp(P) vuông góc với d thì mp(P) có vectơ pháp tuyến là ( ; ; )n a b c= r c) Nếu đt dsong song với 2 mp ( ),( ) α β thì vectơ chỉ phương của d là , d u n n α β   =   uur uur uur II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng Cho 2 đt d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là , 'u u r ur . Gọi , ' 'M d M d∈ ∈ . Khi đó: • d cắt d’ , ' . ' 0u u MM   ⇔ =   urur uuuuur và , ' 0u u   ≠   r ur r • d chéo d’ , ' . ' 0u u MM   ⇔ ≠   urur uuuuur • d//d’ , ' 0u u   ⇔ =   r ur r và 'M d∉ • d trùng d’ , ' 0u u   ⇔ =   r ur r và 'M d∈ 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 5 Cho mp(P): Ax+By+Cz+D=0 có vtpt ( ; ; )n a b c= r và đường thẳng d: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = có vt chỉ phương là ( ; ; )u a b c= r và 0 0 0 ( ; ; )M x y z . Khi đó • d cắt (P) 0aA bB cC⇔ + + ≠ • d//(P) ( ) 0 0 0 0 , ( ) 0 aA bB cC u n M P Ax By Cz D + + =  ⇔ ⊥ ∉  + + + ≠  r r • d trùng (P) ( ) 0 0 0 0 , ( ) 0 aA bB cC u n M P Ax By Cz D + + =  ⇔ ⊥ ∈  + + + =  r r III. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng 0 0 , ( , ) MM u d M d u     = uuuuuur r r với M là 1 điểm trên d 2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau , ' . ' ( , ') , ' u u MM d d d u u     =     r ur uuuuur r ur 3.Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng , trên đường thẳng: 1/ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α) 6 Phương pháp toạ độ trong kg • Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M và (∆)⊥ (α) • Tìm giao điểm của (∆) với (α) đó là điểm cần tìm. 2/ Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (α) • Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (α) . • M’ đối xứng với M qua (α) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’. 3/ Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d). • Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (d). • Tìm giao điểm của (α) với (d) , đó là tọa độ H cần tìm. 4/ Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d) . • Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d). • M’ đối xứng với M qua (d) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’. IV. GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng d và d’ có vtcf lần lượt là 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ); ( ; ; )a a a a b b b b= = r r thì góc giữa chúng được tính 7 bởi cơng thức : 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . ( , ') | |.| | a b a b a b a b cos d d a b a a a b b b + + = = + + + + r r r r V. GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Đường thẳng d có vtcf 1 2 3 ( ; ; )a a a a= r . Mặt phẳng (P) có vtpt 1 2 3 ( ; ; )n b b b= r thì góc ϕ giữa chúng được tính bởi cơng thức : 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . sin | |.| | a b a b a b a b a b a a a b b b ϕ + + = = + + + + r r r r BÀI TẬP 1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) trong các trườnghợp sau: a. (α) đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz . b. (α) là mặt trung trực của đoan AB với A( 3; -5; 4 ), B(1 ; 3; -2 ). c. (α) qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz . 2/Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau: a. (α) đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz . b. (α) đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) . c. (α) đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y – z = 0 . 8 Phương pháp toạ độ trong kg d. (α) qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vông góc với hai mặt phẳng : ( α 1 ): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (α 2 ): 5x – 4y + 3z +1 = 0 . 3/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng : (α 1 ): 2x + 3y – 4 = 0 , (α 2 ) : 2y – 3z – 5 = 0 , (α 3 ) : 2x + y – 3z –2 = 0. a. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M( 1;3; -4 ) và chứa giao tuyến của 2 mp(α 1 ) ,(α 2 ) b. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua giao tuyến của (α 1 ) ,(α 2 ) đồng thời vuông góc với (α 3 ) . 4/Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : d 1: :    =−−= =−+− 012 0542 zyx zyx , (d 2 ) :      = += −= tz ty tx 2 32 1 . a. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d 1 ) và song song với (d 2 ). b. Viết phương trình mặt phẳng (α 1 ) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) . 5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho điểm M( 2;-1 ; 1) và đường thẳng d:    =+−+ =−+− 0322 0832 zyx zyx . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d. 6/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: 2 2 2 1 1 − − = + = zyx và vuông gócvới mặt phẳng (Q): 9 2x –3y + z + 3 = 0 7/ Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ( ∆ ): a. Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3). b. Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2) c. Qua D(3; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 4y – z +5 = 0 8/ Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát    =+−+ =−+− 0242 01023 zyx zyx . Hãy viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của (d). 9/ Cho đường thẳng (d) :    =−+− =− 0323 02 zyx zx và mặt phẳng (α): x –2y + z +5 = 0. a. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (α). 10/ Cho hai đường thẳng: (d 1 ) zy x =+= − 2 3 1 , (d 2 ):    =+ =+−+ 01 02 x zyx . a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vuông góc với (d 1 ) và cắt (d 2 ). b. Viết ph trình đường thẳng (∆ )Qua điểm M(1; 0; -2) và vuông góc với hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). 10