Bài tập Lý thuyết phạm trù - Thầy Đông

N÷îc muæn sæng khæng õ cho tæi rûa tai º nghe nhúnglíi cao luªn.† Hu¸, Mòa æng, n«m inh Hñi DongPhD † Of first editon.. 1 Ph¤m tròChaque v²rit² que je trouvois ²tant une r±gle qui meserv

Lþ thuy¸t Ph¤m trò v 

H m tû

A short way to Theory of Categories and Functors

Líi tüa 1

1.1 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò 21.2 C¡c vªt v  c¡c c§u x¤ °c bi»t 41.3 Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel 14

2.1 Kh¡i ni»m h m tû 172.2 Ph²p bi¸n êi tü nhi¶n 192.3 H m tû khîp 20

Líi tüa

Lþ thuy¸t ph¤m trò v  h m tû l  mæn håc mîi vîi ph¦n

æng chóng ta Vi»c t¼m mët quyºn b i tªp v· nâ qu£ l khâ kh«n º phöc vö cho nhu c¦u æn tªp cõa m¼nh, tæibi¶n so¤n tªp t i li»u ng­n gån n y Gâp nh°t nìi n y v i

þ t÷ðng, nìi kia v i luªn cù tæi ¢ l m cæng vi»c cõa mëtcon b÷îm li»ng v÷ín hoa - v÷ín hoa xù l¤ - m  khængmong k¸t tinh mët ÷ñc mët thù mªt n o l nh ngåt Maych«ng, ch¿ câ thº tr¡nh ÷ñc sü cho¡ng ngñp ban ¦u khiti¸p cªn vîi tay ki¸m kh¡ch væ còng trøu t÷ñng n y.R§t mong ÷ñc sü ch¿ gi¡o cõa c¡c ëc gi£ v· nhúngsai l¦m khæng tr¡nh khäi trong t i li»u n y

N÷îc muæn sæng khæng õ cho tæi rûa tai º nghe nhúnglíi cao luªn.†

Hu¸, Mòa æng, n«m inh Hñi

DongPhD

† Of first editon Thanks for nothing.

‡ This is the second version.

§ Ask not me why

1 Ph¤m trò

Chaque v²rit² que je trouvois ²tant une r±gle qui meservoit apr±s   en trouver d'autres [Each problemthat I solved became a rule which served afterwards

to solve other problems] (Ren² Descartes, Discours

de la M²thode)

1.1 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò

B i tªp 1.1

1 1 l  ph¤m trò vîi mët vªt ? v  mët môi t¶n id?;

2 0 l  ph¤m trò réng khæng câ vªt v  môi t¶n n o

3 Gr khæng l  ph¤m trò con ¦y cõa ph¤m trò S

4 Ab l  ph¤m trò con ¦y cõa Gr

Líi gi£i

3 Trong ph¤m trò Gr ta câ [Z2, Z2] = {0, id} Tuy nhi¶ntrong ph¤m trò S, [Z2, Z2] = {0, id, e} vîi e(0) =

1, e(1) = 1

4 Rã v¼ kh¡i ni»m c§u x¤1 trong Ab v  Gr l  nh÷ nhau

B i tªp 1.2 Cho mët hå (Ai)i∈I c¡c vªt trong mët ph¤mtrò C, chùng minh r¬ng CS, CP l  ph¤m trò

1 Mët sè s¡ch gåi l  môi t¶n(arrow)

2 Ob(UnA) = {(A −→ Y )|Y ∈Ob(C)},

[A −→ Y, Aα −→ X]β UnA = {δ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C|δβ =α}

Líi gi£i Ch¿ vi»c kiºm tra c¡c ti¶n · nh÷ B i tªp 1.2

1.2 C¡c vªt v  c¡c c§u x¤ °c bi»t

B i tªp 1.4 Chùng minh r¬ng

a N¸u α, β l  ìn x¤ v  βα x¡c ành th¼ βα công ìnx¤

b N¸u αβ th¼ α ìn x¤ (nh÷ng β khæng nh§t thi¸t ìnx¤)

c N¸u α l  to n x¤ (ìn x¤) trong ph¤m trò C th¼ [α]khæng to n x¤ (ìn x¤) trong ph¤m trò th÷ìng cõa C.Líi gi£i

a Gi£ sû câ f, g sao cho βαf = βαg V¼ β l  ìn x¤n¶n αf = αg, do α l  ìn x¤ n¶n f = g Vªy βα ìnx¤

b Gi£ sû câ f, g sao cho αf = αg Suy ra βαf = βαg

Rã r ng βα = idN l  ìn x¤ Tuy nhi¶n β khæng l 

ìn x¤ v¼ |z1| = |z2| khæng suy ra ÷ñc z1 = z2

c X²t ph¤m trò và nhâm nh¥n N Ta x²t mët quan h»t÷ìng ÷ìng tr¶n Mor(N):

a, b ∈ Mor(N), a ∼ b ⇐⇒ a v  b còng chia h¸t cho 2hay ·u khæng chia h¸t cho 2

Khi â Mor(N) ÷ñc chia th nh hai lîp:[0], [1]

â Lóc â câ n ∈ Z sao cho g1(n) 6= g2(n), do â

g1(−n) 6= g2(−n) Ho°c n ho°c −n /∈ N, g1j 6= g2j.Vªy j l  to n x¤

2 Trong ph¤m trò Div c¡c nhâm abel chia ÷ñc v  c¡cc§u x¤ l  c¡c çng c§u nhâm giúa chóng X²t çngc§u th÷ìng q : Q −→ Q/Z Rã r ng nâ khæng l  ìn

¡nh; tuy nhi¶n, nâ l  mët ìn x¤ trong ph¤m trò n y.Thªt vªy, n¸u qf = qg trong â f, g : G −→ Q, G

l  nhâm abel chia ÷ñc n o â Lóc â qh = 0 vîi

h = f − g (¥y l  mët ph¤m trò cëng t½nh2) Suy rah(x) l  mët sè húu t¿ n¸u x ∈ G N¸u h(x) 6= 0, ch¯ngh¤n,

h



x2008h(x)



2008th¼

qh

 x2008h(x)



6= 0m¥u thu¨n vîi qh = 0, vªy h(x) = 0 v  q l  ìn x¤

B i tªp 1.6 Chùng minh r¬ng c¡c m»nh · sau t÷ìng

Líi gi£i Ta ch¿ chùng minh a ⇐⇒ b v  a ⇐⇒ d.

1 (a =⇒ b) Gi£ sû A l  vªt khæng N¸u câ f, g : A −→

X sao cho f.0OA = g.0OA th¼ f = g v¼ [A, X] câ duynh§t mët ph¦n tû Vªy O −→ A l  to n x¤

2 (b =⇒ a) Gi£ sû O −→ A l  to n x¤ c Ta s³ chùngminh O −→ A l  ¯ng x¤ Thªt vªy,

B i tªp 1.7 Cho C l  mët ph¤m trò v  h¼nh vuæng saugiao ho¡n:

∗ N¸u ph¤m trò Pull khæng tçn t¤i n½u cho c°p β1, β2.Gi£ sû (p1, p2) l  vªt tªn còng cõa ph¤m trò Pull th¼(P, p1, p2) l  n½u (væ lþ).

Líi gi£i

a Ta câ

X 0XA

−→ A−→ Bα

T÷ìng tü

(m + n)x = nx + mx(mn)x = m(nx)1x = xVªy Λ3 l  mët N − nûa mæun tr¡i

X²t K = {x ∈ Λ3|f (x) = 0} = {0} l  vªt khængtrong R − Smod

K g=0 //Λ3 f //Λ3

Gi£ sû câ u0 : K0 −→ A sao cho βαu0 = 0K0 C, v¼ β

l  ìn x¤ n¶n αu0 = 0XB M  αkerα = 0XB n¶n tçnt¤i duy nh§t λ : K0 −→ K sao cho ker(α).λ = u0

3 Ph£n chùng: khæng khâ º t¼m ra mët ph£n th½ dö.

Vªy Ker(α) = Ker(βα).

∗ Gi£ sû câ u0 : K0 −→ A thäa m¢n pu0 = 0 Lóc

â γpu0 = 0 = αu0 Do u = kerα n¶n tçn t¤i duynh§t c§u x¤ λ : K0 −→ K sao cho uλ = u0

Vªy u l  h¤t nh¥n cõa p

B i tªp 1.9 Ta gåi t½ch thî cõa mët hå c§u x¤ (βi :

Bi −→ B)i∈I) cõa ph¤m trò C l  t½ch cõa hå vªt (βi :

Bi −→ B)i∈I) trong ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B.Khi méi c§u x¤ βi l  ìn x¤ th¼ t½ch thî cõa hå (βi :

Bi −→ B)i∈I) cán ÷ñc gåi l  giao cõa hå c¡c vªt Bi, k½hi»u T

i∈I

Bi

H¢y chùng tä r¬ng n¸u ph¤m trò C câ vªt tªn còng B th¼

4 rã

ii) Gi£ sû (P, P pi

−→ Bi)i∈I l  t½ch cõa hå vªt (Bi)i∈I

trong ph¤m trò C Ta s³ chùng minh (P, P p i

−→ Bi)i∈I

Do P l  t½ch n¶n tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ γ : X −→ Psao cho piγ = αi, ∀i ∈ I.

Vªy P l  t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I

1 Gi£ sû α l  ìn x¤ Ta chùng minh α = ker(cokerα).V¼ α ìn x¤ n¶n kerα = 0XA Ta câ v = coker(kerα) =coker0XA = 1A Vªy α = u1A = ker(cokerα).

2 kerα = 0 =⇒ α ìn x¤

Thªt vªy, gi£ sû câ f, g : X −→ A sao cho αf = αghay uvf = uvg V¼ u l  ìn x¤ n¶n vf = vg haycoker(kerα)f = coker(kerα)g Suy ra 1Af = 1Ag,tùc l  f = g

B i tªp 1.11 Trong ph¤m trò cëng t½nh, chùng minh

1 α to n x¤ ⇐⇒ Cokerα = 0

2 Coequ(α, β) = Coker(α − β)

Líi gi£i Cho α : A −→ B, cokerα : B −→ Y

1 Ta chùng minh Cokerα = 0 =⇒ α to n x¤

Gi£ sû câ f, g : B −→ Y∗ sao cho fα = gα th¼

f α − gα = 0 hay (f − g)α = 0

A α //B Cokerα //

f −g B B B

γ

Y∗Lóc â tçn t¤i duy nh§t γ : B −→ Y∗ sao cho f −g =γcokerα = 0 Vªy f = g, tùc l  α l  to n x¤

2 Gi£ sû (C, h) = Coker(α − β) tçn t¤i 5

Ta chùng minh Coequ(α, β) = Coker(α − β) Ta câ

5 Khi Coequ(α, β) tçn t¤i th¼ ta chùng minh t÷ìng tü

c T÷ìng ùng

X −→ Yα 7−→ HomR(A, α)

trong â A l  mët R − mæun ph£i, R − mod l  ph¤mtrò c¡c R − mæun tr¡i.

Vªy HA l  mët h m tû hi»p bi¸n

2.2 Ph²p bi¸n êi tü nhi¶n

B i tªp 2.2 Cho α : A −→ B l  mët c§u x¤ cõa Mor(C),

ta x²t c¡c h m tû ph£n bi¸n HA v  HB Vîi X ∈ Ob(C),

X −→ Yα −→ Z −→ 0β

th nh d¢y khîp

F (X) F (α)−→ F (Y )−→ F (Z) −→ 0F (β)

Líi gi£i

1 (=⇒) Gi£ sû F bi¸n méi d¢y khîp

X −→ Yα −→ Z −→ 0βkhîp sinh ra d¢y khîp

F (X)−→ F (Y )F (α) −→ F (Z) −→ 0F (β)hay ImF (α) = KerF (β) v  F (β) l  to n x¤ VªyCokerF (α) = CoimF (β) = F (β)

2 (⇐=) Gi£ sû F khîp ph£i, tùc l  n¸u trong C câ d¢y

F (X)−→ F (Y )F (α) −→ F (Z)F (β)

CokerF (α) = CoimF (β) = F (β)Suy ra ImF (α) = KerF (β) v  F (β) l  to n x¤.6

[A, α](f +g) = α(f +g) = αf +αg = [A, α]f +[A, α]g

∗ HA l  khîp tr¡i, tùc l  n¸u trong C câ d¢y c§u x¤

X −→ Yα −→ Zβ vîi α = Kerβ th¼ trong Ab câd¢y c§u x¤

[A, X]C [A,α]−→ [A, Y ]C [A,β]−→ [A, Z]C

6 ??? Sai ð ¥u

L§y g ∈ KerF (β) ta câ F (β)(g) = 0 =⇒ βg =

0 V¼ α = kerβ n¶n tçn t¤i duy nh§t çng c§u

minh trong Ab câ d¢y c§u x¤

A ⊗R X −→ A ⊗1⊗α RY −→ A ⊗1⊗β RZvîi 1 ⊗ β = Coker(1 ⊗ α)

Thªt vªy, v¼ β = Cokerα = Y/Imα n¶n β l  to nx¤, do â β = Coimβ = Y/Kerβ =⇒ imα =kerβ

−→ Y −→ Z −→ Oβ khîp, tø â d¢y

A ⊗R X −→ A ⊗1⊗α R Y −→ A ⊗1⊗β R Z −→ 0khîp8

Suy ra im(1⊗α) = ker(1⊗β) v  1⊗β l  to nx¤ n¶n

0 −→ Z−→ Zj −→ Zp 2 −→ 0,trong â j(1) = 2, p(1) = ¯1 sinh ra d¢y khîp

0 −→ HomZ(Z2, Z) −→Homj? Z(Z2, Z) −→p?

HomZ(Z2, Z2) −→ 0th¼ d¢y sau khîp

Líi gi£i V¼ c¡c ph¤m trò R − Mod v  Ab l  c¡c ph¤mtrò abel n¶n ta s³ chùng minh P ⊗R− bi¸n d¢y khîp ng­n

ei⊗R xi trong â xi ∈ X v  hå (xi)I câ gi¡húu h¤n.11

1 N¸u P l  mæun x¤ £nh th¼ h m tû HomR(P, −)khîp

2 Cho Q l  mæun nëi x¤ th¼ h m tû HomR(−, Q)khîp.Líi gi£i

1 HomR(P, −) l  h m tû hi»p bi¸n khîp tr¡i n¶n ºchùng minh d¢y khîp ng­n 0 −→ A f

ta ch¿ cán chùng minh g? l  to n c§u Thªt vªy, v¼d¢y tr¶n khîp n¶n g l  to n c§u.

[1] Nguy¹n Xu¥n Tuy¸n, L¶ V«n Thuy¸t, Cì sð ¤i sèhi»n ¤i, NXB Gi¡o döc, 2001.

[2] Barry Mitchell, Lþ thuy¸t ph¤m trò, Academic Press,

1965 (B£n dàch ti¸ng Vi»t)

[3] Saunder MacLane, Categories for mathematicianworking, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag

[4] Barr, Michael Wells, Charles (2002), Toposes, Triplesand Theories, http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/ttt.pdf.[5] Ad¡mek, Jir½, Herrlich, Horst Strecker, George E.(1990), Abstract and Concrete Categories, JohnWiley Sons, ISBN 0-471-60922-6, http://katmat.math.uni- bremen.de/acc/acc.pdf

[6] Asperti, Andrea Longo, Giuseppe (1991),

ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf

S¡ch l  th¦y cõa c¡c th¦y

H¦u h¸t c¡c t i li»u tr¶n ·u câ t¤i àa ch¿

http://www.vnmath.com/2009/11/pham-tru-ham-tu.html